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1、 函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳逼近多项式的问题. 3.1.0 最佳逼近最佳逼近 若 (次数不超过n次多项式),使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式最佳逼近多项式. .若 则称相应的 为最佳逼近函数. 通常将范数 取为 或1 若取 ，即（1.18）则称 是 在 上的最优一致逼近多项式最优一致逼近多项式. . 求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.2 若取 ，即则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式. .（1.19） 若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使则称 为 的最小二乘拟合最小二乘拟合. .（1.20）3 定义定义5 5（2.1）则称 与 在 上带权 正交
2、正交. 若上的权函数且满足为4 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族正交函数族. . 若 ，则称之为标准正交函数族标准正交函数族. （2.2） 三角函数族 就是在区间 上的正交函数族. 5利用上述递推公式就可推出勒让德多项式勒让德多项式 P59-616切比雪夫多项式切比雪夫多项式 P61-64P61-64 当权函数 ，区间为 时，由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫切比雪夫( (Chebyshev) )多项式多项式. . 它可表示为 （2.10）若令 ，则7 3.3.1 最佳平方逼近及其计算最佳平方逼近及其计算 对 及 中的一个子集若存在 ，使（3.1）则称 是 在子集 中
3、的最佳平方逼近最佳平方逼近函数函数. 8 由（3.1）可知该问题等价于等价于求多元函数 （3.2）的最小值. 是关于 的多元函数，即 利用多元函数求极值的必要条件 （3.1）9于是有 （3.3）(3.3)式是关于 的线性方程组,称为法方程法方程. . 由于 线性无关，故于是方程组（3.3）有唯一解从而得到10此时 若取中求 次最佳平方逼近多项式则要在11 记（3.7）的解 即为所求. 则 若用 表示 对应的矩阵， （3.6）称为希尔伯特希尔伯特( (Hilbert) )矩阵矩阵. . 12 例例 6 6 设 解解得方程组 求 上的一次最佳平方逼近多项式.利用（3.7），得（3.7）13解之 故 平方误差 最大误差 14 3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近用正交函数族作最佳平方逼近 设 若 是满足条件(2.2)的正交函数族， 而 故法方程（3.3）的系数矩阵 则（3.3）（2.2）15 用 做基,求最佳平方逼近多项式,当n很大时,系数矩阵(3.6)是高度病态,因此直接求解法解方程是相当困难的,通常采用正交多项式做基. 用正交函数组去平方逼近函数f(x). 16 求 在 上用Legendre多项式作f(x)的三次最佳平方逼近多项式. 例例7 7 解解先计算17由(3.14) 得 代入(3.13) 得三次最佳平方逼近多项式 （3.14）（3.13）18最大误差 19练习：练习：20
