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1、复习回忆： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.MFl0e 1(2) 当e1时，是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)e1那么,当e e=1=1时，它又是什么曲线 ？FMl问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？探究？ 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.MFle=1几何画板观察抛物线及其标准方程MFle=1 在平面内,与一个定点F和
2、一条定直线l (不在直线上的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线d 为 M 到 l 的距离准线焦点d一、抛物线的定义:MFle=1二、标准方程的推导 思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?1.建系2.设点3.列式4.化简l解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F依题意得5.检验这就是所求的轨迹方程.y如图，假设以准线所在直线为y轴， 那么焦点F(P,0),准线L:x=0 由抛物线的定义，可导出抛物线方程为y2 = 2p(x- )(
3、p0p2三、标准方程 把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.且 p的几何意义是:右焦点是：左准线方程为: 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.lxKyoM(x,y)F焦 点 到 准 线 的 距 离yxoyxoyxoyxo 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程第一:一次项的变量为x(或y),那么x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系数的正负决定了开口方向. 不容易错的最好方法是看看x(或y)的取值范围即：焦点与一次项变量相即：焦点与一次项
4、变量相同；正负决定开口方向！同；正负决定开口方向！ 例1 1抛物线的标准方程是y2 = 6x，求焦点和准线方程；2抛物线的方程是y = 6x2,求焦点坐标和准线方程；3抛物线的焦点坐标是F0，-2,求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y232解：因为，故焦点坐标为（,）32准线方程为x=- .解:方程可化为: 故焦点坐标为 ,准线方程为 焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）5，0x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）580，-2y=2练习练习1 1求以下抛物线的焦点和准线方程求以下抛物线的焦点和准线方程1
5、1y2 = 20x y2 = 20x 2 2y=2x2y=2x23 32y2 +5x =0 2y2 +5x =0 4 4x2 +8y =0x2 +8y =0注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式练习练习2 2抛物线的顶点是坐标原点，根据以下条件，分抛物线的顶点是坐标原点，根据以下条件，分别写出抛物线的标准方程：别写出抛物线的标准方程：1焦点是F3，0；2准线方程是x = ；3焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y反思：抛物线的标准方程 求其焦点和准线方程先定位，后定量AOyx解:(1)当焦点在 y 轴正半轴上
6、时，把A(-3,2)代入x2 =2py，得p= (2)当焦点在 x 轴负半轴上时,把A(-3,2)代入y2 = -2px，得p= 抛物线标准方程为x2 = y 或 y2 = x 。练习练习3抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。 提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py例2.求顶点是坐标原点,且过A(-3,2)的抛物线的标准方程.4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1例3抛物线方程为x=ay2a0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：y2= x1a即2p=1 a当a0时, ,抛物线的开口向右p2=
7、14a 思考:M是抛物线y2 = 2pxp0上一点，假设点M 的横 坐标为x0，那么x0 + 2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p例4抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.y2=2px(p0)由抛物线的定义知3-(- )=6,即p=6.数形结合,用定义转化条件,解:因为是焦点在 x 轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为所求抛物线标准方程为y2 =12x变式：抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.OyxFMx0 ( )2p过抛物线的焦点F作
8、x轴的垂线交抛物线与、两点，且。34页作业9变式2平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆变式3点M与点F(2，0)的距离比它到直线l:x+4=0的距离小2, 求点M的轨迹方程?例5平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆变式1平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆OyxFM35页作业11第 2 课 时准线方程焦点坐标标准方程焦点位置 图 形不同位置的抛物线 x轴的正方向 x轴的负方向 y轴的正方向 y轴的负方向y2=2
9、pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-yxoyxoyxoyxoOyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p抛物线的焦半径公式例1抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的横坐标为-3的点M到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.y2=-8x变式：抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程，并求m的值.OyxFM x0 2p变式：在抛物线y2=-8x上，到焦点的距离等于5的点的坐标.35页作业1036页作业8(改)35页作业5改37页作业7改练习后备练习.抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1，8)，P为抛物线上一点，那么|PA|+|P
10、F|的最小值是( )(A)16 (B)6 (C)12 (D)9D第 3课时直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离:2、相切:3、相交:一个交点，两个交点一个交点没有交点(0,1)判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行 计 算 判 别 式0=00)的焦点的直线交抛物线于A,B两点那么|AB|=问题3能否把例2推广到一般性的命题呢？ 斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为 x1+x2+p|AB|= 即:( )y=2px 消 y 得: 由斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相
11、交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解： 设直线AB的方程 为 ( ) y=2px 消 y 得: 即: |AB|= 由此可得, 即通径. 问题(4):把上题中的斜率k换成直线的倾斜角 呢?(0 0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解： 设直线AB的方程 为 ( ) y=2px 消 y 得: 即: 命题:如果过抛物线 (p0)的焦点的一条直线和 此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=p2/4, y1y2= -p2第5课时xy问题(6):过抛物线 (p0) 焦点的一条直线与它相交于A,B两点,经过A和抛物线顶点的直线交准线于点C (20
12、01高考题作业本页第题)设抛物线 (p0)的焦点F, 经过F 的直线交抛物线A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴,证明:AC经过原点O. 那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢?(证KOC=KOA)BC平行于对称轴.( 的结论略证) 当 时 (x2,y2)(x1,y1)则直线OA的方程证明:设A ( ),B( ),C ( )问题(6): 有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论:Q(2)以Q为圆心,以AB为 直径的圆切AB 于F点. AQA与AQF全等问题(6): 有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论:Q(2)以Q为圆心,以为直 径的圆切A
13、B 于F点. P(3)以P为圆心以AB为直径的圆切AB于Q点 QP=1/2(AA+BB)AA+BB=AF+BF =ABQP=1/2ABMN问题(6): 有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论:Q(2)以Q为圆心,以为直 径的圆切AB 于F点. (3) AQBQ P(4)以P为圆心以AB为 直径的圆切于Q点 问题(7):Cyxo y2 = 8x练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_.2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.X=31、通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：P越大,开口越开阔2、焦半径：3、焦点弦：焦点弦公式：xOyFAB1M2P例2：斜率为1的直线经过抛物线 的焦点,与抛物 线相交于A,B,求线段AB的长。
