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1、无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分小结小结5.4 反常积分反常积分improper integral第五章第五章 定积分定积分1 我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分数的积分. .在科学技术和工程中，往往需要计算在科学技术和工程中，往往需要计算无无穷区间上的积分穷区间上的积分或者计算或者计算不满足有界条件的函数的不满足有界条件的函数的积分积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分区间上的积分. .这就需要我们将定积分的概念及其这就需要我们将定积分的概念及其
2、计算方法进行推广计算方法进行推广. . 我们将运用我们将运用极限的方法极限的方法来完成这个工作来完成这个工作. .2正常积分正常积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界正常积分的极限正常积分的极限反常积分反常积分推推广广3无穷限的反常积分引例：无穷限的反常积分引例： 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 4 定义定义1 1 即即当当极限存在时极限存在时,称反常积分称反常积分当当极限不存在时极限不存在时,称反常积分称反常积分如果极限如果极限存在存在,则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(1)收敛
3、收敛; ;发散发散. .一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分5 即即当当极限存在时极限存在时,称反常积分称反常积分当当极限不存在时极限不存在时, 称反常积分称反常积分存在存在,如果极限如果极限则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(2)收敛收敛; ;发散发散. .6如果反常积分如果反常积分和和都都收敛收敛,则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数称反常积分称反常积分上的上的反常积分反常积分,即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称反常积分否则称反常积分(3)( xf,d)( + + - -xxf + + - -xxfd)( + + - -xxfd)(7例例解能否将这里
4、的书能否将这里的书写方式简化？写方式简化？8注注为了方便起见为了方便起见, 规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式, 这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.9例例 计算反常积分计算反常积分解解反常积分的积分反常积分的积分值值的的几何意义几何意义10例例 计算反常积分计算反常积分解解11证证因此因此收敛收敛,其值为其值为发散发散.例例 证明反常积分证明反常积分*121.计算计算解解2.位于曲线位于曲线下方下方, x轴轴上方的上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解133.解罗14无界函数的反常积分的引
5、例：无界函数的反常积分的引例：曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 15定义定义2 2即即当极限不存在当极限不存在时时,称称反常积分反常积分则称此则称此极限为极限为仍然记为仍然记为如极限如极限存在存在,也称也称反常积分反常积分函数函数二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分 ( (瑕积分瑕积分) )反常积分反常积分,收敛收敛; ;发散发散. .瑕点（无瑕点（无界间断点）界间断点）(1)上的上的在在,()(baxf16否则否则,则则定义定义如极限如极限存在存在,(2)瑕点瑕点, ,称称反常积分反常积分发散发散. .的的为为点点)( xfb17若等号右边
6、两个反常积分若等号右边两个反常积分如果如果则则定义定义否则否则,就称反常积分就称反常积分发散发散. .都收敛都收敛,(3)瑕点瑕点, ,反常积分反常积分注注如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,)(外连续外连续除除bcacx = =的的点为点为)( xfc- -ctlim18例例 计算反常积分计算反常积分解解为为瑕点瑕点, ,这个反常积分值的这个反常积分值的直线直线x = 0与与x = a位于曲线位于曲线x 轴轴之上之上,之间的图形面积之间的图形面积.几何意义几何意义之下之下, 19注注为了方便起见为了方便起见,
7、由由NL公式公式, 则则反常积分反常积分规定规定: ),()(xfxF= = )()(+ +- -aFbF- -= =)(bF)(limxFax+ += = b axxfd)()()(limaFxFbx- - -20例例 计算反常积分计算反常积分解解故原反常积分发散故原反常积分发散.21例例 求求正正确确的的解解法法发散发散.也发散也发散.问问这样的做法对吗？这样的做法对吗？= = xxd1 1 0Q 有问题没有？22 解解 例例23当当 q 1 时时, 此反常积分此反常积分收敛收敛;当当 q 1时时, 此反常积分此反常积分发发散散.综上所述综上所述,24证证反常积分收敛反常积分收敛,其值为其值为反常积分发散反常积分发散.例例 证明反常积分证明反常积分*25例例 解解试用分段函数表示试用分段函数表示 - -ttfd)(26思考题思考题解解：求的无穷间断点, 故 I 为反常积分.27无界函数的无界函数的反常反常积分积分(瑕积分瑕积分)无穷限的反常积分无穷限的反常积分注意注意 三、小结三、小结 1. 不要与常义积分混淆不要与常义积分混淆(形式相同形式相同); 2. 不能忽略内部的瑕点不能忽略内部的瑕点.28作作 业业(256页页):1. (2, 3, 6, 9, 10) 2.29
