数学欣赏-03数学的分类

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1、MathematicsMathematics AppreciationAppreciation数学欣赏数学欣赏数学欣赏C数学数学之旅之旅An Overview of Mathematics数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n庞加莱说 如果我们想要预见数学的将来， 适当的途径是研究这门学科的历史和现状.数数 学

2、学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n数学之旅数学之旅 穿越时空穿越时空数学，作为人类最早建立的科学，如今根粗杆数学，作为人类最早建立的科学，如今根粗杆壮，枝繁叶茂，已经形成一个庞大的学科体系壮，枝繁叶茂，已经形成一个庞大的学科体系. 数学研究领域不断扩大，数学研究方法不断创数学研究领域不断扩大，数学研究方法不断创新，

3、数学研究内容不断深入，数学应用领域不断拓新，数学研究内容不断深入，数学应用领域不断拓宽。宽。回顾数学发展史可以看到，数学发展史是新思回顾数学发展史可以看到，数学发展史是新思想、新方法、新工具被创造的历史，是问题被解决想、新方法、新工具被创造的历史，是问题被解决的历史，也是高级数学替代低级数学的历史的历史，也是高级数学替代低级数学的历史. 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A A

4、p pp pr re ec ci ia at ti io on n本章内容本章内容数学的分类数学的分类1数学分支发展概观数学分支发展概观2数学形成与发展的因素数学形成与发展的因素3从历史看数学1 1数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n8v 纵向发展：纵向发展： 初等数学和古代数学；初等数学和古代数学；变量数学

5、；变量数学；近代数学；近代数学；现代数学。现代数学。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n9初等数学和古代数学初等数学和古代数学：16世纪以前世纪以前古希腊时期建立的欧氏古希腊时期建立的欧氏几何学几何学；古古代代中中国国、古古印印度度和和古古巴巴比比伦伦时时期期建建立立的的算术算术；欧洲文艺复兴时期发展起来的欧

6、洲文艺复兴时期发展起来的代数方程代数方程等。等。 初等数学又叫初等数学又叫常数数学常数数学。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n10 变量数学变量数学：17-1917-19世纪初世纪初起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，可以研究运动。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th

7、 he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n11 近代数学：19世纪 主要特征：分析的严密化分析的严密化; ;代数的抽象化代数的抽象化; ;几何的非欧化。几何的非欧化。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MM

8、a at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n12 现代数学：现代数学：2020世纪世纪 起起点点：1900年年Hilbert提提出出的的23个数学问题；个数学问题；特特点点：学学科科分分支支增增多多，交交叉叉增增强强(如如：代代数数拓拓扑扑、微微分分拓拓扑扑、代代数数几何等）；几何等）；基础：基础：Cantor的集合论。的集合论。 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学

9、欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n13v现代数学三大趋势：交错发展、高度综合、逐步走向统一；交错发展、高度综合、逐步走向统一；边缘、综合、交叉学科与日俱增；边缘、综合、交叉学科与日俱增；数学表现形式、对象和方法日益抽象化。数学表现形式、对象和方法日益抽象化。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma

10、at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n14v现代数学六大特征：从单变量到多变量，从低维到高维；从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；从精确到模糊；计算机的应用。计算机的应用。从对象与方法看数学2 2数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏

11、MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n2024/9/216美是自然，是一切事物生存和发展的本质特征。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n18v 横向分类：横向分类： o基础数学（理论、纯粹数学）（三大分支：代数

12、、几何、分析）o应用数学o计算数学o概率统计o运筹与控制论 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n19数学分支： 精确数学；精确数学；随机数学；随机数学；模糊数学；模糊数学；可拓数学。可拓数学。自然社会现象： 确定现象；确定现象；随机现象；随机现象；模糊现象；模糊现象；可拓现象。可拓现象。几何学通论1 1 “几

13、何学”就是人类文明对空间本质的“认识论”；宇宙中的所有事物皆存在于空间之中、发生于空间之内，并永远受着空间本质的制约与蕴育；而空间既完美又简朴的本质则是蕴育着宇宙万物万象中至善至美、至精至简的根源。几何学人类第一科学数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n22研研究究对对象象: :诸诸如如“几几何何物物体体”和和

14、图图形形的的几几何何量，是空间形式的抽象化量，是空间形式的抽象化; ;研究内容研究内容: :各种几何量的关系与相互位置各种几何量的关系与相互位置; ;研究方法研究方法: :实验方法、思辨方法、解析方法实验方法、思辨方法、解析方法. .数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n23欧几里得几何学欧几里得几何学在在承承

15、认认某某些些自自明明的的公公理理的的前前提提下下，按按照照严严密密的的演演绎绎推推理理方方法法，一一层层一一层层地地建建立立起起来来的的一一套套系系统统严严密密的的几几何何学学知知识识体体系。系。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n24解析几何解析几何1637年年，法法国国数数学学家家笛笛卡卡尔尔引引入入了了

16、坐坐标标的的观观念念，实实现现了了数数形形结结合合，创创立立了了解解析析几几何何，使使得得人人们们可可以以用用代代数数方方法法研研究究几几何何问问题题，实实现现了了数数学学的的两两大大分分支支代代数数与几何的联系。与几何的联系。两两个个重重要要观观念念：点点、数数联联系系的的坐坐标标观观念念，曲曲线线的的方方程程表表示观念。示观念。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap p

17、p pr re ec ci ia at ti io on n25向量几何向量几何也也叫叫向向量量代代数数，该该学学科科产产生生于于十十九九世世纪纪中中叶叶，是是由由德德国国数数学学家家哈哈密密尔尔顿顿（W. R. Hamilton ,18051865）和和格格拉拉斯斯曼曼（H. G. Grassmann，18091877）等等创创立立的的。向向量量几几何何是是不不依依赖赖于于坐坐标标系系的的解解析析几几何何，是是坐坐标标几几何何的的返返璞璞归归真真和和精精益益求求精精，它它使使得得几几何何和和代数结合得更加真切自然、直截了当。代数结合得更加真切自然、直截了当。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa a

18、t th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n26分形几何分形几何分分形形几几何何的的概概念念是是美美籍籍法法国国数数学学家家曼曼德德尔尔布布罗罗特特（B.B.Mandelbrot）在在1975年年首首先先提提出出的的，被被誉誉为为大大自自然然的的几几何何学学。这这是是现现代代数数学学的的一一个个新新分分支支，其其本本质质是一种新的世界观和方法论是一种

19、新的世界观和方法论。承承认认世世界界的的局局部部可可能能在在一一定定条条件件下下、一一定定过过程程中中、在在某某一一方方面面（形形态态，结结构构，信信息息，功功能能，时时间间，能能量量等等）表表现现出出与与整整体体的的相相似似性性；它它承承认认空空间间维维数数的的变变化化既既可以是离散的，也可以是连续的。可以是离散的，也可以是连续的。代数学大观2 2数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs

20、 s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n28代代数数学学是是研研究究数数的的科科学学，起起源源于于古古代代中中国国和和古古埃埃及及。早早期期的的代代数数学学其其实实是是研研究究数数的的运运算算的的，因因此此叫叫做做算算术术。“代代数数学学”一一词词源源自自于于拉拉丁丁文文algebra （公公元元12世世纪纪之之后后），但但它它又又是是从从阿阿拉拉伯伯文文“还还原原与与对对消消”（al-jaber walmuqabala）（公公元元820年年左左右右）或或“方程的科学方程的科学”变化而来。变化而来。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em m

21、a at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n29代数学的符号化代数学的符号化第第一一阶阶段段是是文文字字代代数数学学，其其主主要要标标志志是是，代代数数书书全部由文字表述。全部由文字表述。第第二二阶阶段段是是简简写写代代数数学学，其其主主要要标标志志是是，采采用用以以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。第第三三阶阶段段是是符符

22、号号代代数数学学。法法国国数数学学家家韦韦达达（Viete, Viete, Francois. Francois. 1540154016031603）对对代代数数学学符符号号化的发展作出了重要贡献。化的发展作出了重要贡献。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n30初等代数学初等代数学初初等等代代数数是是代代数数

23、学学的的古古典典部部分分，它它是是随随着着解解方方程程与与方方程程组组而而产产生生并并发发展展起起来来的的，是是研研究究数数字字和和文文字字的的代代数数运运算算理理论论和和方方法法的的科科学学，更更确确切切的的说说，是是研研究究实实数数和和复复数数，以以及及以以它它们们为为系系数数的的多多项项式式的的代代数运算理论和方法的数学分支学科。数运算理论和方法的数学分支学科。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at

24、 ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n31初初等等代代数数的的中中心心问问题题是是研研究究方方程程或或方方程程组组的的解解的的存存在在性性、解解的的个个数数、解解的的结结构构问问题题，因因而而长长期期以以来来都都把把代代数数学学理理解解成成方程的科学。方程的科学。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr r

25、e ec ci ia at ti io on n32初等代数运算十条规则：初等代数运算十条规则：五五条条基基本本运运算算律律（加加法法交交换换律律、加加法法结结合合律律、乘乘法交换律、乘法结合律、分配律）；法交换律、乘法结合律、分配律）；两两条条等等式式基基本本性性质质（等等式式两两边边同同时时加加上上一一个个数数，等等式式不不变变；等等式式两两边边同同时时乘乘以以一一个个非非零零的的数数，等等式不变）；式不变）；三三条条指指数数律律（同同底底数数幂幂相相乘乘，底底数数不不变变指指数数相相加加；指指数数的的乘乘方方等等于于底底数数不不变变指指数数相相乘乘；积积的的乘乘方方等等于乘方的积）。于乘

26、方的积）。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n33高等代数学高等代数学高高等等代代数数是是代代数数学学发发展展到到高高级级阶阶段段的的总总称称，现现在在大大学学里里开开设设的的高高等等代代数数，一一般般包包括括两两部分：部分：线性代数、多项式代数。线性代数、多项式代数。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at t

27、h he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n34线线性性代代数数的的研研究究对对象象是是线线性性方方程程组组，研研究究内内容容是是线线性性方方程程组组解解的的存存在在性性、解解的的个个数数、解解的的结结构构问问题题，研研究究工工具具包包括括矩矩阵阵、行行列列式式等等。围围绕绕线线性性方方程程组组的的这这些些核核心心问问题题，线线性性代代数数不不仅仅要要研研

28、究究数数，数数的的运运算算，还还有有矩矩阵阵、向向量量、向向量量空空间间的的运运算以及变换等。算以及变换等。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n35多多项项式式理理论论是是以以代代数数方方程程的的根根的的计计算算和和分分布布作作为为中中心心问问题题的的，也也叫叫做做方方程程论论。研研究究多多项项式式理理论论，

29、主主要要在在于于探探讨讨代代数数方方程程的的性性质质，从从而而寻寻找找简简易易的的解解方方程程的方法。的方法。微积分大意3 3数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n37分分析析学学是是指指以以微微积积分分学学为为基基本本内内容容的的数数学学分分支支的的全全称称，包包括括微微积积分分学学、微微分分方方程程、复复变

30、变函函数数、实实变变函函数数、泛泛函函分分析析等等。这这里里我我们们只只介介绍绍微微积积分分等几个基础分支学。等几个基础分支学。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n微积分学微积分学 简简单单地地来来说说，微微积积分分学学是是微微分分学学和和积积分分学学的总称，其的总称，其研究对象研究对象是函数；是函数；研究工

31、具研究工具是极限；是极限；研研究究内内容容包包括括函函数数的的微微分分、积积分分，以以及及联联系系微微分分与与积积分分的的桥桥梁梁微微积分基本定理。积分基本定理。随机数学一瞥4 4数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n40在在自自然然界界和和现现实实生生活活中中，一一些些事事物物都都是是相相互互联联系系和和不不

32、断断发发展展的的。在在它它们们彼彼此此间间的的联联系系和和发发展展中中，根根据据它它们们是是否否有有必必然然的的因因果果联联系系，可可以以分分成成截截然然不不同同的的两两大大类类：一一类类是是确确定定性性现现象象，另另一一类类是是不不确确定定性性的的现现象象，这这类类现现象象是是在在一一定定条条件件下下，它它的的结结果果是是不不确确定定的的。这这种种现现象象叫叫做做偶偶然然现现象象，或或者者叫叫做做随机现象随机现象。 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣

33、欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n41从从表表面面上上看看，随随机机现现象象似似乎乎是是杂杂乱乱无无章章、没没有有什什么么规规律律的的现现象象。但但实实践践证证明明，如如果果同同类类的的随随机机现现象象大大量量重重复复出出现现，它它的的总总体体就就呈呈现现出出一一定定的的规规律律性性，叫叫做做统统计计规规律律性性。概概率率论论和和数数理理统统计计就就是是研研究究大大量量同同类类随随机机现现象象的的统统计计规规律律性性的的数数学学学学科科，统统称称为为随随机数学机数学。模糊数学概览5

34、 5数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n43现现实实生生活活中中有有许许多多模模糊糊现现象象，比比如如，秃秃子子、年年轻轻、高高个个子子、胖胖子子、干干净净，好好、漂漂亮亮、善善、热热、远远等等。模模糊糊数数学学就就是是研研究究如如何何处处理理与与把把握握这这些些模模糊糊现现象象的的科科学学，其其基基础础是是

35、1965年年美美国国 控控 制制 论论 专专 家家 、 数数 学学 家家 查查 德德 （ Zadeh, L.A.1921）引引入入了了模模糊糊集集合合的的概概念念。模模糊糊集合描述事物集合描述事物“是是”与与“非非”的程度。的程度。可拓学中国人创立6 6数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n45可拓学可拓学中国

36、人自己创立的新学科中国人自己创立的新学科全全世世界界有有2000多多门门学学科科，而而中中国国人人自自己己创创立立的的则则很很少少。以以研研究究解解决决矛矛盾盾问问题题的的规规律律和和方方法法为为内内容容的的新新兴兴学学科科可可拓拓学学，是是由由广广东东工工业业大大学学蔡蔡文文研研究究员员创创立立的的。蔡蔡文文先先生生引引进进的的物物元元是是包包括括事事物物的的名名称称N、特特征征C和和关关于于此此特特征征的的量量值值V的的有有序序的的三三元元组组R=（N，C，V）。）。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec

37、ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n46可可拓拓学学有有两两个个理理论论支支柱柱，一一个个是是研研究究物物元元及及其其变变化化的的物物元元理理论论，一一个个是是建建立立在在可可拓拓集集合合基基础础上的上的可拓数学可拓数学。物物元元理理论论着着重重研研究究物物元元的的可可拓拓性性，物物元元的的可可变变性性，借借以以探探索索事事物物变变化化的的过过程程，寻寻求求解解决决问问题题的的方方法法。所所谓谓物物元元的的可可拓拓性性，即即可可开

38、开拓拓性性，是是指指事事物物变变化化的的多多种种可可能能性性，包包括括发发散散性性、可可扩扩性性、共共轭轭性性和和相相关关性性。所所谓谓物物元元的的可可变变性性，即即可可变变换换性性，是是指指在在一一定定条条件件下下，物物元元的的要要素素（事物、特征和量值）的变换或分解。（事物、特征和量值）的变换或分解。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci

39、ia at ti io on n47可可拓拓数数学学是是对对应应用用数数学学的的发发展展，它它是是建建立立在在可可拓拓集集合合的的基基础础上上的的。在在现现实实世世界界中中，事事物物是是可可变变的的，事事物物具具有有某某种种性性质质的的程程度度也也是是可可变变的的，因因此此，“是是”与与“非非”及及其其程程度度都都是是可可以以转转换换的的。蔡蔡文文先先生生在在1983年年引引入入的的可可拓拓集集合合概概念念，兼兼顾顾了了这这些些因因素素。在在此此基基础础上上，建建立立了了可可拓拓数数学学，从从经经典典数数学学对对数数量量关关系系和和空空间间形形式式的的研研究究发发展展到到对对物物元元关关系系和

40、和物物元元空空间间形形式式的的研研究究，以以矛矛盾盾问问题题的的转转化化为为研研究究对对象象，成成为为可可拓拓学学的的一一大大理理论论支支柱柱。应应用用可可拓拓数数学学，使使人人们们能能够够定定量量研研究究自自然然科科学学、社社会会科科学和工程技术中的各种矛盾问题。学和工程技术中的各种矛盾问题。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at

41、 ti io on n49v数学的形成与发展的因素数学的形成与发展的因素 o实用实用o科学科学o哲学哲学o美学美学数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n50v第第一一动动力力：解解决决因因社社会会需需要要而而直直接接提提出出的的问问题题。这这为为人人类类认认识识与与改改造造自自然然提提供供了了工工具与方法。具与

42、方法。 初初等等数数学学的的欧欧几几里里得得几几何何学学、代代数数方方程程以以及及高高等等数数学学的的概概率率论论、运运筹筹学学等等，都都是是为为解决实际问题而产生与发展的。解决实际问题而产生与发展的。 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n51v第二动力第二动力：提供自然现象的合理结构。提供自然现象的合理结构

43、。 数数学学的的概概念念、方方法法和和结结论论都都是是物物理理学学的的基基础础。这这些些学学科科的的成成就就的的大大小小取取决决于于它它们们与与数学结合的程度。数学结合的程度。 图图论论、拓拓扑扑学学、微微分分几几何何、复复变变函函数数等等都都是因此而产生的。是因此而产生的。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on

44、n52v第第三三动动力力：智智力力方方面面的的好好奇奇心心和和对对纯纯思思维维的强烈兴趣。的强烈兴趣。 数数论论、非非欧欧几几何何、射射影影几几何何等等都都在在很很大大程程度上受这一动力的影响。度上受这一动力的影响。 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n53v第四动力第四动力：对美的追求。对美的追求。 数数学

45、学除除了了其其完完美美的的结结构构美美以以外外，在在证证明明和和得得出出结结论论的的过过程程中中，所所运运用用的的想想象象和和直直觉觉也也为为创创造造者者提提供供了了高高度度的的美美学上的满足。学上的满足。 数数学学美美几几乎乎体体现现在在数数学学的的每每一一个个分分支支中。中。 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io

46、on n54v 数学发展的轨迹数学发展的轨迹v数学发展的基本模式是： 具体具体抽象抽象具体具体 从从具具体体事事物物、现现象象（具具体体）出出发发，提提炼炼出出能能够够反反映映其其本本质质的的结结构构（抽抽象象）进进行行研研究究，研研究究的的结结果果再再返返回回到到（更更多多、更更广广泛泛的）具体事物、对象（的）具体事物、对象（具体具体）中。）中。 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs

47、 s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n55v 数学发展的轨迹数学发展的轨迹v数学发展的两大基本支柱是：猜想猜想证明证明数学结论的孕育有赖于猜想，数学结论的孕育有赖于猜想，数学结论的确立离不开证明。数学结论的确立离不开证明。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n56v 数学

48、发展的轨迹数学发展的轨迹v数学发展的五大基本思路是：o特殊的东西，加以推广，以便适用更广；特殊的东西，加以推广，以便适用更广；o一般的东西，给予特殊化，以求更好结果；一般的东西，给予特殊化，以求更好结果；o复杂的东西，加以分解，以求各个击破；复杂的东西，加以分解，以求各个击破；o零散的东西，加以组合，以求全貌；零散的东西，加以组合，以求全貌；o陌生的东西，类比熟知，通过已知研究未知。陌生的东西，类比熟知，通过已知研究未知。数数 学学 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n 数数 学学

49、 欣欣 赏赏 MMa at th he em ma at ti ic cs s A Ap pp pr re ec ci ia at ti io on n57v数学发展的启示数学发展的启示：龚升教授在他的龚升教授在他的微积分五讲微积分五讲中强调中强调: 数数学学中中每每一一步步真真正正的的进进展展都都与与更更有有力力的的工工具具和和更更简简单单的的方方法法的的发发现现密密切切联联系系着着。这这些些工工具具和和方方法法同同时时会会有有助助于于理理解解已已有有的的理理论论并并把把陈陈旧旧的的、复复杂杂的的东东西西抛抛到到一一边边。数数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。学科学发展的这种特点是根深蒂固的。