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1、 定积分应用定积分应用定积分的微元分析法定积分的微元分析法用定积分表示的量用定积分表示的量U U必须具备三个特征必须具备三个特征 : :一一 . . 能用定积分表示的量所必须具备的特征能用定积分表示的量所必须具备的特征(3) (3) 部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为二二 . .微元分析法微元分析法则则U U相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量; ;用定积分表示量用定积分表示量U U的基本步骤的基本步骤: :(1) U(1) U是与一个变量是与一个变量xx的变化区间的变化区间a,ba,b有关的量有关的量; ;(2) U (2) U 对于区间对于区间a,ba,b具有可加性具有可加
2、性. .即如果把区即如果把区a,b a,b 分成许多部分区间分成许多部分区间, ,(1)(1)根据问题的具体情况根据问题的具体情况, ,选取一个变量选取一个变量(2) (2) 在区间在区间a,ba,b内任取一个小区间内任取一个小区间 , ,求出相应于这个小区间的部分量求出相应于这个小区间的部分量 的近似值的近似值. .在在 处的值处的值 与与 的乘积的乘积, ,就把就把 称为量称为量U U的微元且记作的微元且记作 , ,即即如果如果 能近似地表示为能近似地表示为a,ba,b上的一个连续函数上的一个连续函数例如例如xx为积分变量为积分变量, ,并确定其变化区间并确定其变化区间a,b;a,b;(3
3、) (3) 以所求量以所求量U U的微元的微元 为被积表达式为被积表达式, ,在区间在区间a,ba,b上作定积分上作定积分, ,得得 平面图形的面积平面图形的面积一一 直角坐标情形直角坐标情形1 . 1 . 曲边梯形曲边梯形当当ff( (xx) )在在a,ba,b上连上连续时续时, , 由曲线由曲线yy= =ff( (xx) )和和xx=a,=a,xx=b=b及及xx轴轴所围成的曲边梯形面积就是所围成的曲边梯形面积就是2. 一般图形一般图形以及两条直线以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为之间的图形的面积微元为如果函数如果函数 在在a,b上连续上连续,且且 则介于两条曲线则介于两条曲
4、线 注意注意:根据具体的图形特点根据具体的图形特点,也也可以选择作为积分变量或者可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算利用图形的对称性简化计算.例例1 求椭圆的面积求椭圆的面积(如图如图).解解 由对称性由对称性,椭圆的面积椭圆的面积其中其中为椭圆在第一象限部分为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为则图形的面积为则则例例2 求由求由所围图形面积所围图形面积.解解 两抛物线的交点为两抛物线的交点为(0,0)及及(1,1).取取x为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为0,1.由前面讨论可知由前面讨论可知:(1,1)oyx例例3 求由求由所围图形面积所围图形
5、面积.解解 两曲线的交点为两曲线的交点为(2,-2)及及(8,4).根据此图形特点根据此图形特点,可以选择可以选择y作为积分变作为积分变量量,其变化区间为其变化区间为-2,4.yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为图形的面积微元为:从而可得图形面积从而可得图形面积二二. 极坐标情形极坐标情形1. 曲边扇形曲边扇形其中其中r( )在在 , 上连续上连续,且且r( ) 0.相应于相应于 , +d 的面积微元为的面积微元为则图形面积为则图形面积为o r=r()设图形由曲线设图形由曲线r=r( )及射线及射线 = , = 所围成所围成.取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 , ,2
6、. 一般图形一般图形及射线及射线 = , = 所围图形的面积微元所围图形的面积微元为为 则面积为则面积为o相应于相应于 从从 0到到2 的一段弧与极轴的一段弧与极轴所围图形的面积所围图形的面积. 解解 如图如图,可视为可视为 =0, = 2 及及r=a 围成的曲边扇形围成的曲边扇形.则其面积为则其面积为o 由曲线由曲线 例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a (a0)上上NoM例例5 求求r=1与与r=1+coscos 所围公共面积所围公共面积.解解 如图如图,曲线交点为曲线交点为由对称性由对称性则则而而三三. . 参数方程情形参数方程情形 当曲边梯形的曲边为参数方当曲边梯形的曲边为参数方x=x= (t),y=(t),y= (t) (t) , ,且且 ( ( )=a, )=a, ( ( )=b,)=b,在在 , , 上上 (t)(t)有连续导有连续导数数, , (t)(t)连续连续, ,则则曲边梯形面积面积为曲边梯形面积面积为在例在例1中中,若采用椭圆的参数方程若采用椭圆的参数方程则则
