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1、根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接解直接解法，间接解法。法，间接解法。直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向索方向d，且以适当的步长且以适当的步长，沿，沿d方向进行搜索，得到一个使目标方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满
2、足收敛条件。复上述搜索过程，直至满足收敛条件。第第5章约束优化方法章约束优化方法l机机械械优优化化设设计计中中的的问问题题，大大多多数数属属于于约约束束优优化化设设计计问问题题，其其数学模型为数学模型为1步长步长可行搜索方向可行搜索方向可行搜索方向可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时，目标当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。函数值将下降，且不会越出可行域。间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将
3、原约束优化问题转化成为一个一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。2进行迭代计算进行迭代计算,迭代点既不超出可行域迭代点既不超出可行域,又使目标函数的值又使目标函数的值有所下降。在不断调整可行方向的过程中，使迭代点逐步逼近有所下降。在不断调整可行方向的过程中，使迭代点逐步逼近约束最优点。约束最优点。1.可行方向法的搜索策略可行方向法的搜索策略第一步迭代都是从可行的初始点第一步迭代都是从可行的初
4、始点出发，沿点的负梯度出发，沿点的负梯度方向，将初始点移动到某一个约束面（只有一个起作用的约束时）方向，将初始点移动到某一个约束面（只有一个起作用的约束时）上上,或约束面的交集（有几个起作用的约束时）上。或约束面的交集（有几个起作用的约束时）上。5.1可行方向法可行方向法l可可行行方方向向是是求求解解大大型型约约束束优优化化问问题题的的主主要要方方法法之之一一。这这种种方方法法的的基基本本原原理理是是在在可可行行域域内内选选择择一一个个初初始始点点，当当确确定定了了一一个个可行方向可行方向d和适当的步长后，按式和适当的步长后，按式:3然后根据约束函数和目标函数的不同性状，分然后根据约束函数和目
5、标函数的不同性状，分别采用以下几种策略继续搜索。别采用以下几种策略继续搜索。1新点在可行域内的情况新点在可行域内的情况42新点在可行域外的情况新点在可行域外的情况53沿线性约束面的搜索沿线性约束面的搜索64沿非线性约束面的搜索沿非线性约束面的搜索7可行方向是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点是可可行方向是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点是可行点，且目标函数值有所下降。行点，且目标函数值有所下降。可行方向应满足两个条件可行方向应满足两个条件:(1)可行可行;(2)下降。下降。1）可行条件）可行条件方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后，所
6、得到的新点为可行点。为可行点。l2.产产生生可可行行方方向向的的条条件件8方向的下降条件是指沿该方向作微小移动后，所得新方向的下降条件是指沿该方向作微小移动后，所得新点的目标函数值是下降的。点的目标函数值是下降的。2）下降条件）下降条件9位于约束曲面在位于约束曲面在点点xk的切线和目标函的切线和目标函数等值线在点数等值线在点xk的切的切线所围成的扇形区内，线所围成的扇形区内，该扇形区称为可行下该扇形区称为可行下降方向区。降方向区。l满足可行和下降条件，即式满足可行和下降条件，即式:l同时成立的方向称可行方向同时成立的方向称可行方向.10满足可行、下降条件的方向位于可行下降扇形区内，在扇形满足可
7、行、下降条件的方向位于可行下降扇形区内，在扇形区内寻找一个最有利的方向作为本次迭代的搜索方向。区内寻找一个最有利的方向作为本次迭代的搜索方向。（1）优选方向法）优选方向法由条件：由条件：求一个以搜索方向求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题为设计变量的约束优化问题s.t.各函数均为设计变量各函数均为设计变量d的线性函数，因此的线性函数，因此该式为一个（线性）规划问题。该式为一个（线性）规划问题。3.可行方向的产生方法可行方向的产生方法11xkdkg1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0g4(x)=0P投影算子，为投影算子，为nXn阶矩阵阶矩阵G 起作用约束起作用约束函数的梯度矩阵，函数的
8、梯度矩阵，nXJ阶矩阵；阶矩阵；l（2）梯度投影法）梯度投影法l当当xk点点目目标标函函数数的的负负梯梯度度方方向向不不满满足足可可行行条条件件时时，可可将将方方向向投投影影到到约约束束面面（或或约约束束面面的的交交集集）上上，得到投影向量得到投影向量dk。12确定的步长应使新的迭代点为可行点，且目标函数具确定的步长应使新的迭代点为可行点，且目标函数具有最大的下降量有最大的下降量。约束一维搜索约束一维搜索1）取最优步长）取最优步长从从xk点点出发，沿出发，沿dk方向进行一维最优化搜方向进行一维最优化搜索，取得最优步长，计算新点索，取得最优步长，计算新点x的值的值。4.步长的确定步长的确定13改
9、变步长，使改变步长，使新点新点x返回到约束面返回到约束面上来。使新点上来。使新点x恰好恰好位于约束面上的步位于约束面上的步长称为最大步长长称为最大步长。l取到约束边界的最大步长取到约束边界的最大步长l从从xk点点出出发发，沿沿dk方方向向进进行行一一维维最最优优化化搜搜索索，得得到到的的新点新点x为不可行点。为不可行点。140 0x1x2xkdkxk+1g2(x)=0g1(x)=0a* dkaMdkxl约束一维搜索：约束一维搜索：l与与以以前前所所讲讲过过的的一一维维搜搜索索相相比比，约约束束一一维维搜搜索索的的特特点点在在于于：确确定定初初始始区区间间时时，对对产产生生的的每每一一个个探探测
10、测点点都都进进行行可可行行性性判判断断，如如违违反反了了某某个个或或某某些些约约束束条条件件，就就必必须须减减少少步步长长因因子子，以以使使新新的的探探测测点点落落在在最最近近的的一一个个约约束束曲曲面上或约束曲面的一个容许的区间面上或约束曲面的一个容许的区间l内。内。15f(a1)f(a2)f(a1)f(a2)a1a1a2a0a0a2f(a3)f(a3)a3a3f(a3)f(a3)a3a3l如如得得到到的的相相邻邻三三个个探探测测点点都都是是可可行行点点，而而且且函函数数值值呈呈“大大小小大大”变变化化，则则与与前前面面一一维维搜搜索索相相同同，两两端端点点所所决决定的区间就是初始区间，接着
11、缩小区间的到一维最小点。定的区间就是初始区间，接着缩小区间的到一维最小点。l如如最最后后得得到到的的探探测测点点落落在在约约束束曲曲面面的的一一个个容容限限之之内内，而且函数值比前一点的小，则该点就是一维极小点。而且函数值比前一点的小，则该点就是一维极小点。16收敛条件收敛条件2）设计点）设计点xk满足库恩满足库恩-塔克条件塔克条件l1）设计点）设计点xk及约束允差满足及约束允差满足17解解:(1)取初始点取初始点，则取作用约束集，则取作用约束集:Jk=1例题例题5-1用可行方向法求约束优化问题用可行方向法求约束优化问题181d1d2用图解法：用图解法：最优方向：最优方向：l(2)寻找最优方向
12、，即解一个以可行方向为设计变量寻找最优方向，即解一个以可行方向为设计变量l的规划问题：的规划问题：19x1在约束边界在约束边界g3(x)=0上上:g3(x1)=0(4)第二次迭代，用梯度投影法确定可行方向第二次迭代，用梯度投影法确定可行方向,迭代点迭代点x的目标函数负梯度的目标函数负梯度不不满满足足方方向向的的可可行行条条件件，将将投投影影到到约约束束边边界界g3(x)=0上。上。投影算子：投影算子：由上式可由上式可求得：求得：(3)沿沿d0方向进行一维搜索方向进行一维搜索20本次本次迭代方向迭代方向D为沿为沿约束边界约束边界g3(x)=0的的方向，求最佳步长方向，求最佳步长求得：求得：21x
13、2g5(x)=068x1g4(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g1(x)=0x0d022由于由于Jk=3，5代入代入KT条件：条件：（4）收敛判断：）收敛判断：2324将有不等式约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。将有不等式约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前前提提：一一是是不不能能破破坏坏约约束束问问题题的的约约束束条条件件，二二是是使使它它归归结结到到原约束问题的同一最优解上去。原约束问题的同一最优解上去。构成一个新的目标函数，称为惩罚函数构成一个新的目标函数，称为惩罚函数求求解解该该新新目目标标函函数数的的无无约约束束极极小小值值，以以期期得得到到原原问问题题的的约约束
14、束最最优优解解。按按一一定定的的法法则则改改变变权权因因子子r1和和r2的的值值，求求得得一一序序列列的的无无约约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。5.2惩罚函数法惩罚函数法25惩罚项必须具有以下极限性质：惩罚项必须具有以下极限性质：根根据据惩惩罚罚项项得得不不同同构构成成形形式式，惩惩罚罚函函数数法法又又可可分分为为外点惩罚函数法，内点惩罚函数法和混合惩罚函数法。外点惩罚函数法，内点惩罚函数法和混合惩罚函数法。从而有从而有26对于只具有不等式约束的优化问题：对于只具有不等式约束的优化问题：转化后的惩罚函数形式为：转化后的惩罚函数形式为：或
15、：或：1. 1.内点法内点法内点法内点法1.这这种种方方法法将将新新目目标标函函数数定定义义于于可可行行域域内内，序序列列迭迭代代点点在在可可行行域域内内逐逐步步逼逼近近约约束束边边界界上上的的最最优优点点。内内点点法法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。只能用来求解具有不等式约束的优化问题。27rk是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0的正数列，即的正数列，即:由由于于内内点点法法的的迭迭代代过过程程在在可可行行域域内内进进行行，“障障碍碍项项”的的作作用用是是阻阻止止迭迭代代点点越越出出可可行行域域。由由“障障碍碍项项”的的函函数数形形式式可可知知，当
16、当迭迭代代点点靠靠近近某某一一约约束束边边界界时时，其其值值趋趋近近于于0，而而“障障碍碍项项”的的值值陡陡然然增增加加，并并趋趋近近于于无无穷穷大大，好好像像在在可可行行域域的的边边界界上上筑筑起起了了一一道道“高高墙墙”，使使迭迭代代点点始始终终不不能能越越出出可可行行域域。显显然然，只只有有当当惩惩罚罚因因子子时时，才才能能求求得得在约束边界上的最优解。在约束边界上的最优解。28例例5-2用内点法求用内点法求的约束最优解。的约束最优解。解解:用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:用解析法求函数的极小值，运用极值条件：用解析法求函数的极小值，
17、运用极值条件：联立求解得：联立求解得：29时不满足约束条件时不满足约束条件应舍去。应舍去。无约束极值点为无约束极值点为当当30使使用用内内点点法法时时，初初始始点点应应选选择择一一个个离离约约束束边边界界较较远远的的可可行行点点。如如太太靠靠近近某某一一约约束束边边界界，构构造造的的惩惩罚罚函函数数可可能能由由于于障障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.2）惩罚因子初值惩罚因子初值r0的选取的选取惩惩罚罚因因子子的的初初值值应应适适当当，否否则则会会影影响响迭迭代代计计算算的的正正常常进进行行。一一般般而而言言，太太大大，将
18、将增增加加迭迭代代次次数数；太太小小，会会使使惩惩罚罚函函数数的的性性态态变变坏坏，甚甚至至难难以以收收敛敛到到极极值值点点。无无一一般般性性的的有有效效方方法法。对对于于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当r03）惩罚因子的缩减系数惩罚因子的缩减系数c的选取的选取在在构构造造序序列列惩惩罚罚函函数数时时，惩惩罚罚因因子子r是是一一个个逐逐次次递递减减到到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为:1）初始点初始点x0的选取的选取31式式中中的的c称称为为惩惩罚罚因因子子的的缩缩减减系系数数，c为为小小
19、于于1的的正正数数。一一般般的的看看法法是是，c值值的的大大小小在在迭迭代代过过程程中中不不起起决决定定性性作作用用，通常的取值范围在通常的取值范围在0.10.7之间。之间。4)收敛条件收敛条件32外点惩罚函数的形式为：外点惩罚函数的形式为：r是惩罚因子是惩罚因子,外外点点法法的的迭迭代代过过程程在在可可行行域域之之外外进进行行，惩惩罚罚项项的的作作用用是是迫迫使使迭迭代代点点逼逼近近约约束束边边界界或或等等式式约约束束曲曲面面。由由惩惩罚罚项项的的形式可知，当迭代点形式可知，当迭代点x不可行时，惩罚项的值大于不可行时，惩罚项的值大于0。2.2.外点法外点法外点法外点法l外外点点法法是是从从可
20、可行行域域的的外外部部构构造造一一个个点点序序列列去去逼逼近近原原约约束束问问题题的的最最优优解解。外外点点法法可可以以用用来来求求解解含含不不等等式式和和等等式式约约束束的优化问题。的优化问题。33解：惩罚函数为：解：惩罚函数为：=对上式求偏导，得对上式求偏导，得例例5-3用外点法求解下列有约束优化问题用外点法求解下列有约束优化问题34无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。35r0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.4596
21、9-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582108/38/336对于对于相对应的拉格朗日函数为：相对应的拉格朗日函数为：在在xk点作泰勒展开，取二次近似表达式点作泰勒展开，取二次近似表达式5.3序列二次规划法序列二次规划法l序序列列二二次次规规划划法法的的基基本本原原理理是是将将原原问问题题转转化化为为一一系系列列二二次规划子问题。次规划子问题。37令令,拉格朗日函数的一阶导数为拉格朗日函数的一阶导数为Hk用变尺度矩阵
22、用变尺度矩阵Bk来代替来代替将将等等式式约约束束函函数数在在xk作作泰泰勒勒展展开开，取取线线性性近近似似式式:38构成二次规划子问题构成二次规划子问题求求解解上上述述二二次次规规划划子子问问题题，得得到到的的d就就是是搜搜索索方方向向。沿沿搜搜索方向进行一维搜索确定步长索方向进行一维搜索确定步长，最终得到原问题的最优解。，最终得到原问题的最优解。对具有不等式约束的非线性规划问题：对具有不等式约束的非线性规划问题：构成二次规划子问题为构成二次规划子问题为:39求求解解时时，在在每每次次迭迭代代中中应应对对不不等等式式约约束束进进行行判判断断，保保留留其其中中的的起起作作用用约约束束，除除掉掉不
23、不起起作作用用的的约约束束，将将起起作作用用的的约约束束纳纳入入等等式式约约束束中中。这这样样，其其中中不不等等式式约约束束的的子子问问题题和和只具有等式约束的子问题保持了一致。只具有等式约束的子问题保持了一致。405.4圆柱齿轮减速器的优化设计圆柱齿轮减速器的优化设计41设计参数：设计参数：约束条件约束条件:（1）最小齿数要求；）最小齿数要求；（2）齿宽系数要求；齿宽系数要求；（3）齿轮模数要求；）齿轮模数要求；（4）小齿轮直径要求；）小齿轮直径要求；（5）齿轮轴直径取值要求；）齿轮轴直径取值要求；（6）轴的支承距离）轴的支承距离l满足条件；满足条件；l单单级级圆圆柱柱直直齿齿轮轮减减速速器器，以以体体积积最最小小为为设设计计目目标标，已已知知输输入入功功率率P58kw，转转速速n1000r/min,传传动动比比u5，齿齿轮轮的的许许用用接触应力为接触应力为550MPa，许用弯曲应力为许用弯曲应力为400MPa。42s.t.（7）大齿轮满足弯曲强度要求；）大齿轮满足弯曲强度要求；（8）小齿轮满足弯曲强度要求；）小齿轮满足弯曲强度要求；（9）齿轮副满足接触疲劳强度要求；）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（10）齿轮轴的最大挠度不大于许用值；）齿轮轴的最大挠度不大于许用值；（11）齿轮轴的弯曲应力不大于许用值。齿轮轴的弯曲应力不大于许用值。4344初始方案：初始方案：45
