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1、及其标准方程及其标准方程 高二数学组高二数学组 刘珂璐刘珂璐定义定义 ：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆标准方程的推导已知定点.动点.定长为r由两点间的距离公式可知即AP(x,y)圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。那么又是什么图形呢？与两定点的距离之和为一定长的点的集合固定两个点固定两个点现在我们来做一个实验。在一个木棍上用两个钉子现在我们来做一个实验。在一个木棍上用两个钉子取一条定长取一条定长L的细绳的细绳,使它的两端固定使它的两端固定在在上，用铅笔绷住细绳使它慢慢移动，它得到上，用铅笔绷住细绳使它慢
2、慢移动，它得到的图形，我们叫它定义为椭圆。的图形，我们叫它定义为椭圆。15646.gsp由上述的实验过程可知椭圆是与 的距离的和等于定长的点的集合oxy汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆.把一个圆压扁了把一个圆压扁了, ,也像椭圆也像椭圆思考怎样判定它们就是椭圆呢?1.根据椭圆的定义2.根据椭圆的方程一一 椭圆的椭圆的 定义定义 平面内到两定点的距平面内到两定点的距离等于常数离等于常数(|F1F2|）的点的轨）的点的轨迹称为椭圆两定点迹称为椭圆两定点称焦点，称焦点，|F1F2|称焦称焦距距 思考思考： (1)在椭圆的定义里，在椭圆的定义里，为什么我们要要求常为什么我们要要求常数数 大于大
3、于 |F1F2|？ （2）椭圆定义还可以）椭圆定义还可以用集合语言如何表示用集合语言如何表示？ 取过焦点取过焦点F1,F2的直线为的直线为x轴轴,线段线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系.（如图）（如图） 把坐标代入方程把坐标代入方程 :|MF1 |+|MF2|=2a 得：得： 则椭圆就是集合：则椭圆就是集合： P=M| |MF1 |+|MF2|=2a 设设M (x,y)为为椭圆上任意一点椭圆上任意一点,椭圆焦距为椭圆焦距为2c(c0),M到到 F1和到和到F2的距离之和等于正数的距离之和等于正数2a, F1,F2的坐标分别为（的坐标分别为（-c,0），
4、），（c,0）二二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程移项，两边平方得移项，两边平方得两边再平方得两边再平方得:整理得整理得由椭圆定义可知由椭圆定义可知:2a2c,即即ac,所以所以 它所表示的椭圆焦点在它所表示的椭圆焦点在x轴上轴上,分别为分别为:F1(-c,0),F2(c,0)椭圆标准方程椭圆标准方程焦点焦点F1(-c,0),F2(c,0)在在x轴轴上上注：若椭圆焦点注：若椭圆焦点F1(0,-c),F2(0,c)在在y轴上，轴上， 因为这时因为这时x轴与轴与y轴交轴交换换,所以只要把方程中的所以只要把方程中的x,y互换互换即可得方程即可得方程:焦点焦点F1(0,-c),F2(0,c)在在y轴上轴
5、上其中其中: a2-c2=b2n n思考： 观察上图，你能从中找到表示a,c,b的线段吗？1.1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？判断它的焦点在哪个坐标轴上？判断它的焦点在哪个坐标轴上？判断它的焦点在哪个坐标轴上？、椭圆椭圆上一点到上一点到两两焦点距离的和等于焦点距离的和等于10；变变式一式一:将将上上题题焦点改焦点改为为(0，-4)、(0，4)， 结结果果如何？如何？变变式二：式二：将将上上题题改改为为两个两个焦点的距离焦点的距离为为8，椭圆椭圆上一点上一点P到
6、到两两焦点的距离和等于焦点的距离和等于10，结结果如何？果如何？2.写写出适合下列出适合下列条条件的件的椭圆椭圆的的标标准方程准方程两个两个焦点的坐焦点的坐标标分分别别是是(-4,0)(4,0)(-4,0)(4,0)、 例例1： 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程1)两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；2)两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且经过点并且经过点 ；例例2：已知：已知B，C是两个是两个定点，定点，|BC|=6，且三角形且三角形AB
7、C的周长为的周长为16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程解：1)建立直角坐标系： 使x轴经过点B、C，使原点O与 B、C重合 B（-3，0），C（3，0） 2)设A点的坐标为（x，y） 由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10 BC（用（用轨迹法）轨迹法）O化简可得方程：A当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形所以A 点的轨迹方程为：（y0）xy例例3: 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，它的焦距为个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点，外轮廓线上的点到
8、两个焦点距离的和为距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程解：解：以两焦点以两焦点F1、F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准，则这个椭圆的标准方程可设为方程可设为根据题意有根据题意有即即因此，这个椭圆的标准方程为因此，这个椭圆的标准方程为 xyOF1F2分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系小结：根据所学知识完成下表小结：根据所学知识完成下表xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POa2-c2=b2思考题思考题已知定圆已知定圆Q:xQ:x2 2+y+y2 2-6x-6x-55=0,55=0,动圆动圆M M和已知定圆内和已知定圆内切于点切于点A A且过点且过点P(-3,0),P(-3,0),求圆求圆心心M M的轨迹及其方程的轨迹及其方程
