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1、探索与研究复习研讨内江一中：胡亚玲内江一中：胡亚玲 探索与研究复习研讨一、探索与研究的重要意义和作用一、探索与研究的重要意义和作用二、探索与研究类问题的常见类型二、探索与研究类问题的常见类型三、探索与研究类问题的三、探索与研究类问题的教学心得教学心得一、探索与研究的重要意义和作用一、探索与研究的重要意义和作用 探索与研究在新课标中有着极其重要的作用。贯穿整个探索与研究在新课标中有着极其重要的作用。贯穿整个教材，同时探索、归纳也是获得新知、培养能力、促进创新教材，同时探索、归纳也是获得新知、培养能力、促进创新的有效途径。由于探索与研究非常有利于培养学生的创造性的有效途径。由于探索与研究非常有利于
2、培养学生的创造性思维，因此备受思维，因此备受 命题专家的青睐。命题专家的青睐。 【命题趋势】探究性数学问题在近几年的中考中频频出【命题趋势】探究性数学问题在近几年的中考中频频出现。现。 探探究究问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力,主要包括规律探主要包括规律探究究问题、动态探问题、动态探究究问题、结论探问题、结论探究究问题问题、存存在性探在性探究究问题问题和阅读探究问题和阅读探究问题.内江中考试卷中多以一至两小内江中考试卷中多以一至两小题和一个大题出现，分值约有题和一个大题出现，分值约有1020分；要求考生对问题进分；要求考生对问题进行观察、分析
3、、比较、概括；达到发现规律，或得出结论，行观察、分析、比较、概括；达到发现规律，或得出结论，并用结论解决相关问题。并用结论解决相关问题。二、探索与研究类问题的常见类型二、探索与研究类问题的常见类型（一）（一）规律探规律探究究问题问题（二）动态探究问题（二）动态探究问题（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题（四）存在性探究问题（四）存在性探究问题（五）阅读探究问题（五）阅读探究问题（一）（一）规律探规律探究究问题问题 规律探规律探究究问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，推理等一系列的数学思维过程
4、，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用用. . 【例【例1】(2010铁岭铁岭)有一组数：有一组数： ,请观请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n(n为正整数为正整数)个数为个数为_.（一）（一）规律探规律探究究问题问题1、数、代数式规律探究、数、代数式规律探究
5、 【例【例2】(2010湛江湛江)观察算式：观察算式：313，329，3327，3481，35243，36729，372 187，386 561， .通过观察，用你所发现的规律确通过观察，用你所发现的规律确定定32 002的个位数字是的个位数字是( ) (A)3 (B)9 (C)7 (D)1（一）（一）规律探规律探究究问题问题1、数、代数式规律探究、数、代数式规律探究【例【例3 3】(2011(2011成都成都) )设设 则则S=_(S=_(用含用含n n的代数式表示，其中的代数式表示，其中n n为正整为正整数数).).（一）（一）规律探规律探究究问题问题1、数、代数式规律探究、数、代数式规律
6、探究 【例【例1】（2012乐山）如图，乐山）如图，ACD是是ABC的外角，的外角，ABC的平分线与的平分线与ACD的平分线交于点的平分线交于点A1，A1BC的平的平分线与分线与A1CD的平分线交于点的平分线交于点A2，An1BC的平分线的平分线与与An1CD的平分线交于点的平分线交于点An设设A=则：则：（1）A1=；（2）An=（一）（一）规律探规律探究究问题问题2、图形规律探究、图形规律探究 【例【例2 2】(2011(2011山西山西) )如图是用相同长度的小棒摆成的一如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案组有规律的图案，图案(1)(1)需要需要4 4根棒，图案根棒，图案(
7、2)(2)需要需要1010根小棒根小棒，按此规律摆下去，第，按此规律摆下去，第n n个图案需要小棒个图案需要小棒_根根( (用含有用含有n n的代数式表示的代数式表示).).（一）（一）规律探规律探究究问题问题2、图形规律探究、图形规律探究【例【例1】 对于每个非零自然数对于每个非零自然数n，抛物线，抛物线y=x2 -与与x轴交于轴交于An、Bn两点，以两点，以AnBn表示这两点间的距离，则表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+AnBn的值是的值是 .（一）（一）规律探规律探究究问题问题3、函数规律探究、函数规律探究【例例2】（2012内江）已知反比例函数内江）已知反比例函数 的图象，当的
8、图象，当x取取1，2，3，n时，对应在反比例图象上的点分时，对应在反比例图象上的点分别为别为M1，M2，M3，Mn，则，则 = . （一）（一）规律探规律探究究问题问题3、函数规律探究、函数规律探究（二）动态探究问题（二）动态探究问题 动态探动态探究究问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元素的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、个元素的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、面积关系、函数关系等角度大小、面积关系、函数关系等. .在解决动态问题时，在解决动态问题时，要抓住不变的量，找出其中的规律要抓住不变的量，找出其中的规律, ,同时
9、还应该考虑到，同时还应该考虑到，当动态元素去某一位置时，当动态元素去某一位置时，“动动”则变为则变为“静静”，从而化，从而化动为静动为静. .（二）动态探究问题（二）动态探究问题 【例【例1】如图，在边长为如图，在边长为4的正方形的正方形ABCD中，点中，点P在在AB上从上从A向向B运动，连接运动，连接DP交交AC于点于点Q.（1）试证明：无论点）试证明：无论点P运动到运动到AB上何处时，都有上何处时，都有 ADQABQ；（2）当点）当点P在在AB上运动到什么位置时，上运动到什么位置时， ADQ的面积是正方形的面积是正方形ABCD面积的面积的 ；（3）若点）若点P从点从点A运动到点运动到点B，
10、再继续在，再继续在BC上运动到点上运动到点C，在整个运，在整个运动过程中，当点动过程中，当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时， ADQ恰为等腰三角形恰为等腰三角形.（二）动态探究问题（二）动态探究问题 【例【例2 2】(2010(2010泰安泰安) )如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，A=90A=90，点点P P、Q Q分别是分别是ABAB、ACAC上的一动点，且满足上的一动点，且满足BP=AQBP=AQ，D D是是BCBC的中点的中点. .(1)求证：求证： PDQ是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(2)当点当点P运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边
11、形APDQ是正方形，并说明理由是正方形，并说明理由.（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题 条件探究问题主要是提问满足怎样的条件，得到相关结论。通常条件探究问题主要是提问满足怎样的条件，得到相关结论。通常的解题方法是把结论当作条件，通过分析、论证，得到满足结果的条的解题方法是把结论当作条件，通过分析、论证，得到满足结果的条件。件。结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数学思结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数学思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试验、猜想、论想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试验、猜想、论证等方法求解证等方法求解.
12、 .这类问题的解决特别强调数形结合思想的运用这类问题的解决特别强调数形结合思想的运用. .解题时，解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理论证，最后作出正确的首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理论证，最后作出正确的判断，切忌想当然的确定结论判断，切忌想当然的确定结论. . 【例【例1】(2010河南河南)如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，E是是BC的的中点，中点，AD=5，BC=12，CD= ， C=45，点，点P是是BC边上一动点，设边上一动点，设PB的长为的长为x.(1)当当x的值为的值为_时，以点时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；为顶点的四边形
13、为直角梯形；(2)当当x的值为的值为_时，以点时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；为顶点的四边形为平行四边形；(3)点点P在在BC边上运动的过程中，以边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由试说明理由.（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题1、条件探究问题、条件探究问题 【例【例2】(2012 初三期末）如图，已知初三期末）如图，已知 ABC是边长为是边长为6cm的等边的等边三角形，动点三角形，动点P、Q同时从同时从A、B两点出发，分别沿两点出发，分别沿AB、BC方向匀速方向匀速运动，其中点运动，其中点P运动的
14、速度是运动的速度是1cm/ s，点，点Q运动的速度是运动的速度是2cm/s，当，当点点Q到达点到达点C时，时，P、Q两点都停止运动。设运动时间为两点都停止运动。设运动时间为t(s)，解答下，解答下列问题：列问题：（1）当）当t为何值时，为何值时， BPQ为直角三为直角三角角形；形；（2）设）设 BPQ的面积为的面积为S(cm2)，求，求S与与t的函数关系式；的函数关系式；（3）作）作QR BA交交AC于点于点R，连结，连结PR，当，当t为何值时，为何值时， APRPRQ？（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题1、条件探究问题、条件探究问题 【例【例1 1】(2010(2010蚌埠蚌埠
15、) )已知如图已知如图1,O1,O过点过点D(3D(3，4),4),点点H H与点与点D D关于关于x x轴对称，过轴对称，过H H作作OO的切线交的切线交x x轴于点轴于点A.A.(1)(1)求求sinHAOsinHAO的值；的值；(2)如图如图2，设，设O与与x轴正半轴交点为轴正半轴交点为P，点，点E、F是线段是线段OP上的动点上的动点(与点与点P不重合不重合)，连接并延长连接并延长DE、DF交交O于点于点B、C，直线，直线BC交交x轴于点轴于点G，若，若 DEF是以是以EF为底的为底的等腰三角形，试探索等腰三角形，试探索sin CGO的大小怎样变化，请说明理由的大小怎样变化，请说明理由.
16、（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题2、结论探究问题、结论探究问题 【例【例2 2】.(2010.(2010青海青海) ) 观察探究，完成证明和填空观察探究，完成证明和填空. .如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F、G G、H H分别是边分别是边ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点，顺次连接的中点，顺次连接E E、F F、G G、H H，得，得到的四边形到的四边形EFGHEFGH叫中点四边形叫中点四边形. .(1)求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形；是平行四边形；(2)如图，当四边形如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形
17、是菱形，请你探究并填空：变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是变成平行四边形时，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是变成矩形时，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是变成菱形时，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是变成正方形时，它的中点四边形是_；(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的？根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的？（三）条件、结论探究问题（三
18、）条件、结论探究问题2、结论探究问题、结论探究问题 (四四)存在性探究问题存在性探究问题 存在性探存在性探究究问题是指满足某种条件的事物是否存在问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，这类题目的一般解题规律是：假设存在的问题，这类题目的一般解题规律是：假设存在推理论推理论证证得出结论得出结论. .若能推导出合理的结论，就作出若能推导出合理的结论，就作出“存在存在” 的判断，若推导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的判断，若推导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出的结论，则作出“不存在不存在”的判断的判断. . 【例【例1】（2012内江）如图，已知点内江）如图，已知点A（1，
19、0），），B（4，0），点），点C在在y轴的轴的正半轴上，且正半轴上，且 ACB=90，抛物线，抛物线y=ax2+bx+c经过经过A、B、C三点，其顶点为三点，其顶点为M（1）求抛物线）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；的解析式；（2）试判断直线）试判断直线CM与以与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点）在抛物线上是否存在点N，使得，使得S BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由？如果不存在，请说明理由(四四)存在性探究问题存在性探究问题【例【例2】（2011内江）内江）
20、如图抛物线如图抛物线y = x2mx + n与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C（0，1），且对称轴），且对称轴x=l（1）求出抛物线的解析式及）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；两点的坐标；（2）在）在x轴下方的抛物线上是否存在点轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形，使四边形ABDC的面积为的面积为3若存若存在，求出点在，求出点D的坐标；若不存在说明理由；的坐标；若不存在说明理由；（3）点）点Q在在y轴上，点轴上，点P在抛物线上，要使在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点行四边形，请求出所有满足条件的点
21、P的坐标的坐标。(四四)存在性探究问题存在性探究问题 【例【例3 3】(2010(2010内江）如图，抛物线内江）如图，抛物线y= y= 与与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于点轴交于点C C. .（1）请求出抛物线顶点）请求出抛物线顶点M的坐标（用含的坐标（用含m的代数式表示），的代数式表示），A、B两点的坐标；两点的坐标；（2）经探究可知，）经探究可知，BCM与与ABC的面积比不变，求出这个比值；的面积比不变，求出这个比值；（3）是否存在使）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由如果不存在
22、，请说明理由.(四四)存在性探究问题存在性探究问题（五）阅读（五）阅读探探究究问题问题 阅读探究型主要是有两种形式。第一种是通过阅读材阅读探究型主要是有两种形式。第一种是通过阅读材料，发现规律，归纳得到一般性结论并加以运用；第二种料，发现规律，归纳得到一般性结论并加以运用；第二种是通过阅读材料学习一个新的定理或新的解题方法，直接是通过阅读材料学习一个新的定理或新的解题方法，直接运用这一定理或方法解决问题。在这一类问题中，从特殊运用这一定理或方法解决问题。在这一类问题中，从特殊到一般、类比等数学思想和方法就显得尤为重要。到一般、类比等数学思想和方法就显得尤为重要。 （五）阅读（五）阅读探探究究问
23、题问题 【例【例1】（2011 内江）同学们，我们曾经研究过内江）同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为正方形的总数的表达式为12+22+3+n2但但n为为100时，应如何计算正方形的具体个数呢时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道？下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n-1) n= n(n+1)(n-1)时，我们可以这样做：时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：）观察并猜想：12+22=（1+0）1+（1+1）2=l+01+2+12
24、=（1+2）+（01+12）12+22+32=（1+0）1+（1+1）2+（l+2）3=1+01+2+12+3+23=（1+2+3）+（01+12+23）12+22+32+42=（1+0）1+（1+1）2+（l+2）3+ _=1+01+2+12+3+23+ _=（1+2+3+4）+（_ _）（2）归纳结论：）归纳结论：12+22+32+n2=（1+0）1+（1+1）2+（1+2）3+1+（n-l）n=1+01+2+12+3+23+n+（n-1）n=（_）+ _= _+ _= _（3 ）实践应用：）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当通过以上探究过程，我们就可以算出当n为为100时，正方
25、形网格中正方形的总个数是时，正方形网格中正方形的总个数是_。【例【例2】阅读下面的文字，回答后面的问题。求的值。阅读下面的文字，回答后面的问题。求的值。解：令解：令S= 3+32+33+.+3100 将将式两边同乘以式两边同乘以3，得，得3S=32+33+.+3100+3101 由由减去减去式，得式，得S= 。(1)求求 2+22+23+.+2100 的值；的值；(2)求求4+12+36+.+4340 的值；的值；如图，设正方形如图，设正方形ABCD是边长为是边长为1 的正方形，以对角线的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形为边作第二个正方形ACEF，再以对角线，再以对角线AE为边作第三个正
26、方形为边作第三个正方形AEGH，这样下去，这样下去一直作图到一直作图到第第10个图形为止。已知正方形个图形为止。已知正方形ABCD的边长为的边长为1，求所有的正方形的所有边长，求所有的正方形的所有边长之和。之和。 （五）阅读（五）阅读探探究究问题问题【例【例3】如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC，求证：，求证： .小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点角形，于是过点B作作BE/AC交交AD的延长线于点的延长线于点E，构造，构造ACD EBD，则，则 .于是小明得出结论于是小明得
27、出结论：在在ABC中，中，AD平分平分BAC，则，则 .（1）请完成小明的证明过程。）请完成小明的证明过程。应用结论应用结论（2）如图，在如图，在RtABC中，中，B=90，AD平分平分BAC，BAD=a，sina=，AB=12.线段线段BD的长度为的长度为： 。 求线段求线段CD的长度和的长度和sin2a的值的值。 （五）阅读（五）阅读探探究究问题问题三、探索与研究类问题的三、探索与研究类问题的教学心得教学心得（一）注意数学思想和方法的渗透（二）挖掘教材，加强对课题学习的探究（三）注意初高中知识的衔接（四）注意题目的拓展和延伸三、探索与研究类问题的三、探索与研究类问题的教学心得教学心得（一）
28、注意数学思想和方法的渗透1、从特殊到一般从特殊到一般2、类比与推理类比与推理3、分类讨论分类讨论4、数形结合、数形结合【例【例1】（2009内江）内江）阅读材料：阅读材料：如图，如图，ABC中，中，AB=AC，P为底边为底边BC上任意一点，点上任意一点，点P到两腰到两腰的距离分别为的距离分别为r1,r2，腰上的高为，腰上的高为h，连接，连接AP，则，则SABp+sAcp=SABC即：即： （定值）（定值）（1）理解与应用）理解与应用如图，在边长为如图，在边长为3的正方形的正方形ABCD中，点中，点E为对角线为对角线BD上的一点，上的一点，且且BE=BC，F为为CE上一点，上一点，FM垂直垂直B
29、D于于M，FN垂直垂直BD于于N，试，试利用上述结论求出利用上述结论求出FM+FN的长的长（2）类比与推理）类比与推理如果把如果把“等腰三角形等腰三角形”改成改成“等边三角形等边三角形”，那么，那么P的位置可以由的位置可以由“在底边上任一点在底边上任一点”放宽为放宽为“在三角形内任一点在三角形内任一点”，即：，即：已知等边已知等边ABC内任意一点内任意一点P到各边的距离分别为到各边的距离分别为r1，r2,r3,等边等边ABC的高为的高为h，试证明，试证明r1+r2+r3=h（定值）（定值）（3）拓展与延伸）拓展与延伸若正若正n边形内部任意一点边形内部任意一点P到各边的距离为到各边的距离为r1，
30、r2,r3.rn，请问，请问r1+r2+r3+rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透1、从特殊到一般从特殊到一般（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透1、从特殊到一般从特殊到一般 【例【例2】（2011 内江）同学们，我们曾经研究过内江）同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为正方形的总数的表达式为12+22+3+n2但但n为为100时，应如何计算正方形的具体个数呢时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就
31、一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道？下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n-1) n= n(n+1)(n-1)时，我们可以这样做：时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：）观察并猜想：12+22=（1+0）1+（1+1）2=l+01+2+12=（1+2）+（01+12）12+22+32=（1+0）1+（1+1）2+（l+2）3=1+01+2+12+3+23=（1+2+3）+（01+12+23）12+22+32+42=（1+0）1+（1+1）2+（l+2）3+ _=1+01+2+12+3+23+ _=（1+2+3+4）+（_ _）（2）归
32、纳结论：）归纳结论：12+22+32+n2=（1+0）1+（1+1）2+（1+2）3+1+（n-l）n=1+01+2+12+3+23+n+（n-1）n=（_）+ _= _+ _= _（3 ）实践应用：）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当通过以上探究过程，我们就可以算出当n为为100时，正方形网格中正方形的总个数是时，正方形网格中正方形的总个数是_。【例例3】（2007内江）内江）（1）观察一列数）观察一列数2，4，8，16，32，发现从第二，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如；根据此规律，如果果
33、an（为正整数）表示这个数列的第（为正整数）表示这个数列的第n项，那么项，那么a18= ，an= ；（2）如果欲求）如果欲求1+3+32+33+.+320的值，可令的值，可令S=1+3+32+33+.+320将将式两边同乘以式两边同乘以3，得，得 3S= 由由减去减去式，得式，得 S= （3）用由特殊到一般的方法知：若数列）用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,.an，从第二项开始每一项，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为与前一项之比的常数为q，则，则an= （用含的代数式表示），如果这个常数（用含的代数式表示），如果这个常数 q不等于不等于1，那么，那么a1+a2+a3+.+a
34、n= （用含（用含a1,q,n的代数式表示）的代数式表示）（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透1、从特殊到一般从特殊到一般（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透2、类比与类比与转化转化 【 例例1】类比、转化，从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，类比、转化，从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整如下是一个案例，请补充完整.原题：如图原题：如图1，在口，在口ABCD中，点中，点E是是BC边的中点，点边的中点，点F是线段是线段AE上一点，上一点，BF的延长线交射的延长线交射线线CD于点于点G.若若
35、 , 求求 的值的值.（1）尝试探究）尝试探究在图在图1中，过点中，过点E作作EH AB交交BG于点于点H，则，则AB和和EH的数量关系是的数量关系是 ，CG和和EH的数的数量关系是量关系是 ， 的值是的值是 .（2）类比延伸）类比延伸如图如图2，在原题的条件下，若，在原题的条件下，若 ( m0) ，则，则 的值是的值是 （用含的代数式表（用含的代数式表示），试写出解答过程示），试写出解答过程.（3）拓展迁移）拓展迁移如图如图3，梯形，梯形ABCD中，中，DC AB，点，点E是是BC的延长线上一点，的延长线上一点，AE和和BD相交于点相交于点F.若若 ， ，则，则 的值是的值是 （用含的代数式
36、表示）（用含的代数式表示） （一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透 2、类比与类比与转化转化【例【例2】（2012内江）已知内江）已知 ABC为等边三角形，点为等边三角形，点D为直线为直线BC上的上的一动点（点一动点（点D不与不与B、C重合），以重合），以AD为边作菱形为边作菱形ADEF（A、D、E、F按按逆时针排列），使逆时针排列），使 DAF=60，连接，连接CF（1）如图）如图1，当点，当点D在边在边BC上时，求证：上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图）如图2，当点，当点D在边在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论的延长线上且其他条件不变时，结论A
37、C=CF+CD是否成立？若不成立，请写出是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量之间存在的数量关系，并说明理由；关系，并说明理由；（3）如图）如图3，当点，当点D在边在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系之间存在的数量关系（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透3、分类讨论分类讨论【例【例1】如图，在边长为如图，在边长为4的正方形的正方形ABCD中，点中，点P在在AB上从上从A向向B运动，连接运动，连接DP交交AC于点于点Q.（1）试证明：无论点）试证明：无论
38、点P运动到运动到AB上何处时，都有上何处时，都有 ADQABQ；（2）当点）当点P在在AB上运动到什么位置时，上运动到什么位置时， ADQ的面积是正方形的面积是正方形ABCD面积的面积的 ；（3）若点）若点P从点从点A运动到点运动到点B，再继续在，再继续在BC上运动到点上运动到点C，在整个运动过程中，在整个运动过程中，当点当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时， ADQ恰为等腰三角形恰为等腰三角形. （一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透3、分类讨论分类讨论 【例【例2】如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与是坐标原点，直线与x轴、轴、
39、y轴分别轴分别交于交于B、C两点，抛物线经过两点，抛物线经过B、C两点，与两点，与x轴的另一个交点为点轴的另一个交点为点A，动点，动点P从点从点A出发沿出发沿AB以每秒以每秒3个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点B运动，运动时间为秒运动，运动时间为秒.（1）求抛物线的解析式及点）求抛物线的解析式及点A的坐标；的坐标；（2）以）以OC为直径的为直径的与与BC交于点交于点M,t为何值时，为何值时，PM与与相切？请说明理由相切？请说明理由.（3）在点）在点P从点从点A出发的同时，动点出发的同时，动点Q从点从点B出发沿出发沿BC以每秒以每秒3个单位长度的速个单位长度的速度向点度向点C运动，动点运动
40、，动点N从点从点C出发沿出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动运动，运动时间和点时间和点P相同相同.记记 BPQ的面积为的面积为S，当，当t为何值时，为何值时，S最大，最大值是多少？最大，最大值是多少？（4）是否存在是否存在 NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，值；若不存在，说明理由。说明理由。 （一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透 4、数形结合、数形结合【例【例1】（2006年内江）阅读并解答下面问题：年内江）阅读并解答下面问题：（1）如图所示，直线）如图所示，直线l的两
41、侧有的两侧有A、B两点，在两点，在l上求作一点上求作一点P，使，使AP+BP的值最的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离工厂至河堤的距离AC为为1km，B工厂到河堤的距离工厂到河堤的距离BD为为2km，经测量河堤上，经测量河堤上C、D两地间的距离为两地间的距离为6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距
42、管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若题：若 ，当，当x为何值时，为何值时，y的值最小，并求出这个最小值。的值最小，并求出这个最小值。ABC DAB 【例【例2】（2010内江）内江）阅读理解：阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点角坐标系中，任意两点 的对称中心的坐标为的对称中心的坐标为观察应用：观察应用：（1）如图，在
43、平面直角坐标系中，若点）如图，在平面直角坐标系中，若点 的对称中心是点的对称中心是点A，则点则点A的坐标为的坐标为_；（2）另取两点）另取两点 ，有一电子青蛙从点有一电子青蛙从点P1处开始依次关于处开始依次关于点点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点作循环对称跳动，即第一次跳到点p1关于点关于点A的对称点的对称点P2处，处，接着跳到点接着跳到点P2关于点关于点B的对称点的对称点P3处，第三次再跳到点处，第三次再跳到点P3关于点关于点C的对的对称点称点P4处，第四次再跳到点处，第四次再跳到点P4关于点关于点A的对称点处，的对称点处，则点则点P3、P8的坐的坐标分别为标分别为_、_.拓展延伸：
44、拓展延伸：（3）求出点）求出点P2012的坐标，并直接写出在的坐标，并直接写出在x轴轴上与点上与点P2012、点、点C构成等腰三角形的点的坐标构成等腰三角形的点的坐标.（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透4、数形结合、数形结合【例【例3】初一课题学习流水线上的机器人：初一课题学习流水线上的机器人：先阅读下面的材料，然后解答问题：（先阅读下面的材料，然后解答问题：（2006冲刺中考六套题）冲刺中考六套题）在一条直线上有依次排列的在一条直线上有依次排列的 n台机床在工作，我们要设置一个零件供应站台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 ，使这台机床到供应站使这台机床到供应站
45、的距离总和最小。要解决这个问题，先的距离总和最小。要解决这个问题，先“退退”到比较简单到比较简单的情形：如果直线上有的情形：如果直线上有2台机床时，很明显台机床时，很明显 设在两台机床之间的任何地方都设在两台机床之间的任何地方都行；如果直线上三台机床，则行；如果直线上三台机床，则 应设在中间一台机床最合适。应设在中间一台机床最合适。(1)由此，不难知道直线上有由此，不难知道直线上有4台机床，台机床， 应设在应设在 ；有；有5台机床，台机床， 应设在应设在 ；(2)有有n台机床时，台机床时， 应设在何处？应设在何处？(3)求求 的最小值。的最小值。（提示：根据以上讨论及差的绝对值的几何意义，赋予
46、该式一个相应的情景，（提示：根据以上讨论及差的绝对值的几何意义，赋予该式一个相应的情景，确定确定 的值再求值。）的值再求值。）（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗透4、数形结合、数形结合【例【例4】（2008乐山乐山）阅读下列材料：阅读下列材料：我们知道我们知道x的几何意义是在数轴上数的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即对应的点与原点的距离；即x=x-0，也就是说，也就是说，x表示在数轴上数与数对应点之间的距离；表示在数轴上数与数对应点之间的距离；这个结论可以推广为这个结论可以推广为x1-x2表示在数轴上数表示在数轴上数x1、x2对应点之间的距离；对应点之间的
47、距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：解方程解方程x=2容易得出，在数轴上与原点距离为容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为的点对应的数为 2，即，即该方程的该方程的x=2；解不等式解不等式x-12如图（如图（16）在数轴上找出）在数轴上找出x-1=2的解，即到的解，即到1的距离的距离为为2的点对应的数为的点对应的数为-1、3，则，则x-12的解为的解为x3；解方程解方程x-1+x+2=5由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和和-2的距离之和为的距离之和为5的点对应的的点对应的x的
48、值在数轴上，的值在数轴上，1和和-2的距离为的距离为3，满足，满足方程的对应点在方程的对应点在1的右边或的右边或-2的左边若对应点在的左边若对应点在1的右边，由图（的右边，由图（17）可以）可以看出看出x=2；同理，若对应点在；同理，若对应点在-2的左边的左边x=-3，可得故原方程的解是，可得故原方程的解是x=2或或x=-3参考阅读材料，解答下列问题：参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程）方程x+3=4的解为的解为 ；（2）解不等式）解不等式x-3+x+4 9；（3）若）若 对任意的对任意的x都都成立，求成立，求a的取值范围的取值范围（一）注意（一）注意数学思想和方法的渗透数学思想和方法的渗
49、透4、数形结合、数形结合【例【例1】流水线上的机器人流水线上的机器人：先阅读下面的材料，然后解答问题：（先阅读下面的材料，然后解答问题：（2006冲刺中考六套题）冲刺中考六套题）在一条直线上有依次排列的在一条直线上有依次排列的 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 ，使，使这台机床到供应站这台机床到供应站 的距离总和最小。要解决这个问题，先的距离总和最小。要解决这个问题，先“退退”到比较简单的到比较简单的情形：如果直线上有情形：如果直线上有2台机床时，很明显台机床时，很明显 设在两台机床之间的任何地方都行；设在两台机床之间的任何地方都行；如果直线上三台机
50、床，则如果直线上三台机床，则 应设在中间一台机床最合适。应设在中间一台机床最合适。(1)由此，不难知道直线上有由此，不难知道直线上有4台机床，台机床， 应设在应设在 ；有；有5台机床，台机床， 应设在应设在 ；(2)有有n台机床时，台机床时， 应设在何处？应设在何处？ (3)求求 的最小值。的最小值。（提示：根据以上讨论及差的绝对值的几何意义，赋予该式一个相应的情景，（提示：根据以上讨论及差的绝对值的几何意义，赋予该式一个相应的情景，确定确定 的值再求值。）的值再求值。）（二）挖掘教材，加强对课题学习的探究（二）挖掘教材，加强对课题学习的探究（二）挖掘教材，加强对课题学习的探究（二）挖掘教材，
51、加强对课题学习的探究【例【例2】中点四边形中点四边形（06内江）如图：四边形内江）如图：四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别为各分别为各边的中点，顺次连结边的中点，顺次连结E、F、G、H，把四边形，把四边形EFGH称为中点四边形。连结称为中点四边形。连结AC、BD，容易证明：中点四边形，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。一定是平行四边形。（1）如果改变原四边形）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足的对角线满足AC=BD时，四边形时，四边形E
52、FGH为菱形；为菱形；当四边形当四边形ABCD的对角线满足的对角线满足_时，四边形时，四边形EFGH为矩形；为矩形；当四边形当四边形ABCD的对角线满足的对角线满足_时，四边形时，四边形EFGH为正方形。为正方形。（2）探索三角形）探索三角形AEH、三角形、三角形CFG与四边形与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明。出你发现的结论，并加以证明。（3）如果四边形）如果四边形ABCD的面积为的面积为2，那么中点四边形，那么中点四边形EFGH的面积是多的面积是多少？少？F AE B DCGH（二）挖掘教材，加强对课题学习的探究（二）挖掘教材，加
53、强对课题学习的探究【例【例3】硬币滚动中的数学硬币滚动中的数学（河北（河北2009）如图如图13-1至图至图13-5，O均作无滑动滚动，均作无滑动滚动，O1、O2、O3、O4均表示均表示O与与线段线段AB或或BC相切于端点时刻的位置，相切于端点时刻的位置，O的周长为的周长为c阅读理解：阅读理解：(1）如）如图13-1，O从从O1的位置出的位置出发，沿，沿AB滚动到到O2的位置，当的位置，当AB = c时，O恰好自恰好自转1周周（2）如图）如图13-2，ABC相相邻的的补角是角是n，O在在ABC外部沿外部沿A-B-C滚动，在点，在点B处，必，必须由由O1的位置旋的位置旋转到到O2的位置，的位置，
54、O绕点点B旋旋转的角的角O1BO2 = n，O在点在点B处自自转 周周实践应用：实践应用：（1）在）在阅读理解的（阅读理解的（1）中，若）中，若AB = 2c，则，则O自转自转 周；若周；若AB = l，则，则O自转自转 周在阅读理解的（周在阅读理解的（2）中，若）中，若 ABC = 120，则，则O在点在点B处自转处自转 周；若周；若 ABC = 60，则，则O在点在点B处自转处自转 周周（2）如图）如图13-3， ABC=90，AB=BC= cO从从O1的位置的位置出发，在出发，在 ABC外部沿外部沿A-B-C滚动到滚动到O4的位置，的位置，O自转自转 周周拓展联想：拓展联想：（1）如）如
55、图图13-4， ABC的周长为的周长为l，O从与从与AB相切于点相切于点D的位置的位置出发，在出发，在 ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切相切于点于点D的位置，的位置，O自转了多少周？请说明理由自转了多少周？请说明理由（2）如）如图图13-5，多边形的周长为，多边形的周长为l，O从与某边相切于点从与某边相切于点D的位的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写的位置，直接写出出O自转的周数自转的周数【例例1】（2007内江）
56、内江）（1）观察一列数）观察一列数2，4，8，16，32，发现从第二，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如；根据此规律，如果果an（为正整数）表示这个数列的第（为正整数）表示这个数列的第n项，那么项，那么a18= ，an= ；（2）如果欲求）如果欲求1+3+32+33+.+320的值，可令的值，可令S=1+3+32+33+.+320将将式两边同乘以式两边同乘以3，得，得 3S= 由由减去减去式，得式，得 S= （3）用由特殊到一般的方法知：若数列）用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,.an，从第
57、二项开始每一项，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为与前一项之比的常数为q，则，则an= （用含的代数式表示），如果这个常数（用含的代数式表示），如果这个常数 q不等于不等于1，那么，那么a1+a2+a3+.+an= （用含（用含a1,q,n的代数式表示）的代数式表示）（三）注意初高中知识的衔接（三）注意初高中知识的衔接（三）注意初高中知识的衔接（三）注意初高中知识的衔接 【 例例2】观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角在锐角 ABC中，中， A、 B、 C的对边分别是的对边分别是a、b、c，过，过A作作 AD BC于于D(如图如图1)，
58、则，则sinB= ，sinC= ，即，即AD=csinB，AD=bsinC，于是，于是csinB=bsinC，即，即 。同理有同理有 ， 所以所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题根据上述材料，完成下列各题.（1）如图）如图2， ABC中，中， B=450， C=750，BC=60，则，则 A= ；AC= ；（2）如
59、图）如图3，一货轮在，一货轮在C处测得灯塔处测得灯塔A在货轮的北偏西在货轮的北偏西30的方向上，随后货的方向上，随后货轮以轮以60海里时的速度按北偏东海里时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达的方向航行，半小时后到达B处，此时又处，此时又测得灯塔测得灯塔A在货轮的北偏西在货轮的北偏西75的方向上的方向上(如图如图3)，求此时货轮距灯塔，求此时货轮距灯塔A的距离的距离AB.（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸【例例1】（2007内江）内江）（1）观察一列数）观察一列数2，4，8，16，32，发现从第二，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是项开始，每一项
60、与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如；根据此规律，如果果an（为正整数）表示这个数列的第（为正整数）表示这个数列的第n项，那么项，那么a18= ，an= ；（2）如果欲求）如果欲求1+3+32+33+.+320的值，可令的值，可令S=1+3+32+33+.+320将将式两边同乘以式两边同乘以3，得，得 3S= 由由减去减去式，得式，得 S= （3）用由特殊到一般的方法知：若数列）用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,.an，从第二项开始每一项，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为与前一项之比的常数为q，则，则an= （用含的代数式表示），如果这个常数（用含的代数式表
61、示），如果这个常数 q不等于不等于1，那么，那么a1+a2+a3+.+an= （用含（用含a1,q,n的代数式表示）的代数式表示）（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸【变式与拓展】【变式与拓展】阅读下面的文字，回答后面的问题。求的值。阅读下面的文字，回答后面的问题。求的值。解：令解：令S= 3+32+33+.+3100 将将式两边同乘以式两边同乘以3，得，得3S=32+33+.+3100+3101 由由减去减去式，得式，得S= 。(1)求求 2+22+23+.+2100 的值；的值；(2)求求4+12+36+.+4340 的值；的值；如图，设正方形如图，设正方形ABCD是边长为
62、是边长为1 的正方形，以对角线的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形为边作第二个正方形ACEF，再以对角线，再以对角线AE为边作第三个正方形为边作第三个正方形AEGH，这样下去，这样下去一直作图到一直作图到第第10个图形为止。已知正方形个图形为止。已知正方形ABCD的边长为的边长为1，求所有的正方形的所有边长，求所有的正方形的所有边长之和。之和。 （四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸【例【例2】（2012凉山）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探凉山）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。究题。 如图（如图（1），要在燃气管道），要在燃气管道l上修建一
63、个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气泵站修在两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道道l看成一条直线（图（看成一条直线（图（2），问题就转化为，要在直线），问题就转化为，要在直线l上找一点上找一点P，使，使AP与与BP的和最小他的做法
64、是这样的：的和最小他的做法是这样的：作点作点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B连接连接AB交直线交直线l于点于点P，则点，则点P为所求为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在请你参考小华的做法解决下列问题如图在 ABC中，点中，点D、E分别是分别是AB、AC边的中点，边的中点，BC=6，BC边上的高为边上的高为4，请你在，请你在BC边上确定一点边上确定一点P，使，使 PDE得周得周长最小长最小（1）在图中作出点）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（保留作图痕迹，不写作法）（2）请直接写出）请直接写出 PDE周长的最小值：周长的最小值： （四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展
65、和延伸 【变式与拓展【变式与拓展1】阅读并解答下面问题：（阅读并解答下面问题：（2006内江）内江）（1）如图所示，直线）如图所示，直线l的两侧有的两侧有A、B两点，在两点，在l上求作一点上求作一点P，使，使AP+BP的值的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离工厂至河堤的距离AC为为1km，B工厂到河堤的距离工厂到河堤的距离BD为为2km，经测量河堤上，经测量河堤上C、D两地间的距离两地间的距离为为6km.现准备在河堤
66、边修建一个污水处理厂，为使现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题问题 :若若 ，当，当x为何值时，为何值时，y的值最小，并求出这个最小的值最小，并求出这个最小值。值。ABABC D、力问题和区【变式与拓展【变式与拓展2】（2009初二决赛）已知点初二决赛）已知点A（0,2），），B（4,0），点），点C、D分别在直线分别在直线
67、x=1和和x=2上，且上，且CD/x轴则轴则AC+CD+DB的最小值为的最小值为 （四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸【变式与拓展【变式与拓展3】（2008年年内江内江）如图，当四边形的周长最小时，如图，当四边形的周长最小时，a= （四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸【变式与拓展【变式与拓展4】（2009年内江）年内江）如图所示，已知点如图所示，已知点A(-1，0)，B（3,0），C（0，t），），且且t0，tanBAC=3，抛物线经过，抛物线经过A、B、C三点，点三点，点P(2,m）是抛物是抛物线与直线线与直
68、线l：y=k(x+1)的一个交点的一个交点（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）对于动点）对于动点Q(1,n)，求，求PQ+QB的最小值；的最小值；（3）若动点）若动点M在直线在直线l上方的抛物线上运动，求上方的抛物线上运动，求AMP的边的边AP上的高上的高h的最大值的最大值OACBxy【变式与拓展【变式与拓展5】（2012内江）已知内江）已知A（1，5），），B（3，1）两点，在）两点，在x轴上取一点轴上取一点M，使，使AMBM取得最大值时，取得最大值时，则则M的坐标为的坐标为_（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延伸（四）注意题目的拓展和延
69、伸【变换与拓展【变换与拓展6】(2010年蚌埠年蚌埠)已知二次函数已知二次函数y= 的图像的图像 过点过点A（4、0）.设点设点C（1、-3）请在该函数图像）请在该函数图像上的对称轴上确定一点上的对称轴上确定一点D，使，使 AD-CD 的值最大，则点的值最大，则点D的坐标为的坐标为 。小结：小结：小结小结 数学探究性问题既包含着问题又包含着求解，是数学数学探究性问题既包含着问题又包含着求解，是数学学科的典型问题；从以上分析我们可以看出，它不具有确学科的典型问题；从以上分析我们可以看出，它不具有确定方向的解题思路。解题时总要有合情合理、实事求是的定方向的解题思路。解题时总要有合情合理、实事求是的
70、分析，要把归纳和演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑分析，要把归纳和演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理结合起来，把数学能力与心理素质同时发挥出来。推理结合起来，把数学能力与心理素质同时发挥出来。 因此，通过探究性问题的求解活动，不禁可以促进数因此，通过探究性问题的求解活动，不禁可以促进数学知识和数学方法的巩固与掌握，而且更加有利于各方面学知识和数学方法的巩固与掌握，而且更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于加强学生能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于加强学生主体精神、探究态度、科学方法、创新才能的培养，这正主体精神、探究态度、科学方法、创新才能的培养，这正是当前在数学教学中积极引进探究性数学问题的意义。在是当前在数学教学中积极引进探究性数学问题的意义。在考试中引进这类问题，更具有全面的检测效果，也具有正考试中引进这类问题，更具有全面的检测效果，也具有正确教学导向的作用，故在中考试卷中，不仅出现频率高，确教学导向的作用，故在中考试卷中，不仅出现频率高，而且题型不断丰富，成为中考热点。而且题型不断丰富，成为中考热点。
