第三章应力与应变

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1、第三章第三章 应力与应变应力与应变3.1 3.1 力与应力的概念力与应力的概念力与应力的概念力与应力的概念3.2 3.2 主平面主平面主平面主平面, ,主轴主轴主轴主轴, ,主应力主应力主应力主应力3.3 3.3 应力张量的分解和应力偏张量应力张量的分解和应力偏张量应力张量的分解和应力偏张量应力张量的分解和应力偏张量3.4 3.4 八面体剪应力、应力强度和最大剪应力八面体剪应力、应力强度和最大剪应力八面体剪应力、应力强度和最大剪应力八面体剪应力、应力强度和最大剪应力3.5 3.5 平衡微分方程与静力边界条件平衡微分方程与静力边界条件平衡微分方程与静力边界条件平衡微分方程与静力边界条件3.6 3

2、.6 应变的概念应变的概念应变的概念应变的概念3.7 3.7 应变张量的性质应变张量的性质应变张量的性质应变张量的性质3.1 力和应力的概念力和应力的概念1、体积力（体力）、体积力（体力）作用在物体微元体积上的力（如重作用在物体微元体积上的力（如重力、惯性力、电磁力）力、惯性力、电磁力） ABOyzxA点的体积力，量纲 N/m32、面积力（面力）、面积力（面力）沿着物体表面的分布力（风力、液体沿着物体表面的分布力（风力、液体压力、两物体间的接触力）压力、两物体间的接触力）3、内力物体内部两部分之间因外力等因素产生相互作用力。B点的面积力，量纲 N/m24、应力当有外荷载作用时，物体内产生的内力

3、。n极限 定义为外法线为n的截面上M点处的应力。和截面方位及点的位置有关。(3.1）5、全应力矢量的分解，正应力和剪应力、全应力矢量的分解，正应力和剪应力若把应力矢量若把应力矢量 沿微分面的法线方向和切线方向沿微分面的法线方向和切线方向分解，则沿法线方向的应力分量分解，则沿法线方向的应力分量 称为正应力，称为正应力，沿切线方向的应力沿切线方向的应力 成为剪应力。用数学式子可成为剪应力。用数学式子可以表示为以表示为式中：式中：n和和s分别为微分面的法线和切线方向的单位分别为微分面的法线和切线方向的单位矢量。全应力和应力分量之间有矢量。全应力和应力分量之间有(3.2)(3.3)研究具体问题时，总是

4、在一个可以选定坐标系里进行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系方向进行分解。(3.4)6 应力张量应力张量 物体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的物体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。研究一点处的应力状态，需要研究各微分应力状态。研究一点处的应力状态，需要研究各微分面上的应力情况。面上的应力情况。现过物体内某一点现过物体内某一点M分别截取三个相互垂直的微分面，分别截取三个相互垂直的微分面，并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的方向一致。方向一致。MxyzonyxzOM若把三个微分面上的应力矢量若把三个微分面上的应

5、力矢量 沿三个坐标轴沿三个坐标轴分解，得分解，得应力分量的正负规定：正面正向为正，负面负向为正反之为负。(3.5)一点处互相垂直的三个微分面（正六面体的三对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整体组成了一个二阶张量，称为应力张量，而其中的每一个量，称为应力张量的分量。记应力张量为 ，并表示为后面的讨论将证明这后面的讨论将证明这9个量的各个分量在坐标旋转时，服个量的各个分量在坐标旋转时，服从二阶张量的坐标表换规律，因此为二阶张量。从二阶张量的坐标表换规律，因此为二阶张量。(3.6)7、一点处的应力状态的描绘应力张量 描绘了一点处的应力状态，即只要知道了一点的应力张量 ，就可以完全确定通过该点的

6、各微分面上的应力。证明：假想过物体内任意一点M作三个互相垂直的微分面，并在点M附近作一个与坐标轴倾斜的任意微分面，这四个微分面相交组成的四面体微元如图所示。nyxzABCM考察四面体平衡。记斜截面ABC的单位法向量n的方向余弦为,设体积力在三个坐标方向的分量为X 、Y、 Z,点M到斜截面的距离为 ，则由平衡条件有即有即有采用张量下标记法和爱因斯坦求和约定，有由微单元体MABC 的力矩平衡条件（ ）等，得(3.7)(3.8)(3.9)结论：结论：1）应力张量是一个对称张量，）应力张量是一个对称张量，9个应力分量中只有个应力分量中只有6个是个是独立的；独立的；2）式（）式（3.7)或（或（3.8)

7、给出了物体内任意一点的给出了物体内任意一点的9个应力分个应力分量与过该点的任意斜截面上应力分量的关系。量与过该点的任意斜截面上应力分量的关系。3）任意微分面（斜截面）上的全应力及正应力和剪应力）任意微分面（斜截面）上的全应力及正应力和剪应力可通过下式来计算可通过下式来计算（3.10)其中第其中第2式式(3.11)8 应力分量的坐标变换规律应力分量的坐标变换规律应力张量是一个二阶张量，因此，在数学上，应力张量的各分量在坐标变换时，要服从二阶张量的坐标变换规律。容易证明，如果坐标系仅作平移变换，则同一点的各应力分量是不会发生变化的；只有在坐标系作旋转变换时，同一点的各应力分量才会改变。下面证明给出

8、坐标旋转时应力张量所服从的规律。设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得到新坐标系到新坐标系Oxyz,新旧坐标关系如下表：新旧坐标关系如下表：x xy yz zXXYYZZ在新坐标系在新坐标系Oxyz里，该点的应力张量表示为里，该点的应力张量表示为根据前面的定义，应力分量根据前面的定义，应力分量 表示过表示过M点点且外法线方向为且外法线方向为x的微分面的应力矢量的微分面的应力矢量 在三个新坐标在三个新坐标系的分量。设应力矢量系的分量。设应力矢量 在旧坐标系在旧坐标系Oxyz里的三个分里的三个分量

9、为量为 ，则，则（3.10)的第二式有的第二式有(3.12)将(3.7) 和(3.9)代人上式，则上式可以改写为同理可以写出其它应力分量，经整理后可简写为(3.13)上式就是应力张量各分量在坐标旋转变换时所服从的变换规律，它恰好符合二阶张量定义，剪应力互等表明它是对称张量。3.2 主应力与主应力空间主应力与主应力空间 在受力物体内一点任意方向的微分面上，一般都有正应力在受力物体内一点任意方向的微分面上，一般都有正应力分量和剪应力分量存在。由应力张量的坐标变换规律知，当通分量和剪应力分量存在。由应力张量的坐标变换规律知，当通过同一点的微分面发生转动时，其法线也发生改变，相应的正过同一点的微分面发

10、生转动时，其法线也发生改变，相应的正应力和剪应力数值也会变化。在微分面的不断转动过程中，将应力和剪应力数值也会变化。在微分面的不断转动过程中，将会出现这样的微分面，在该面上只有正应力而剪应力为零。只会出现这样的微分面，在该面上只有正应力而剪应力为零。只有正应力而没有剪应力的平面称有正应力而没有剪应力的平面称为主平面为主平面，其法线方向称为应，其法线方向称为应力主方向，简称力主方向，简称主方向主方向，其上的正应力称，其上的正应力称为主应力。为主应力。根据主平面的定义，若设根据主平面的定义，若设n为过物体内任意一点为过物体内任意一点M的主平面的主平面的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为的单

11、位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为则该主平面上的应力矢量则该主平面上的应力矢量 可表示为可表示为(3.14)3.2.1 主应力和主方向主应力和主方向或式中： 表示主应力将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得(3.15)(3.16)或简写为(3.17)方程组（3.17)可以用矩阵表达式给出(3.18)它表示数学上的矩阵特征值问题，主应力 为由应力张量的9个分量所组成的矩阵（称为应力矩阵）的特征值，要使主方向存在，也即要使方程组（要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（或（3 .18)有有非零解，则其系数行列式必须为零。非零解，则其系数行列式必须为零。(3.19a)方程组

12、(3.19)也可以写成(3.19b)式（3.19)展开后，得（3 .20）其中(3.21)方程（3.21)称为应力状态的特征方程。对受力物体内任一点而言，其应力张量显然是实对称张量，应力矩阵也是实对称矩阵。由线性代数理论可知，应力矩阵的特征值即主应力 必定存在，而且皆为实数。这也就是是说，方程必定有三个实根，记这三个根为 ，则它们分别代表该点处的三个主应力。把 分别代入方程组中，并利用(3.22)就可联立求解出分别与主应力对应的主方向。可以证明：若特征方程无重根，则它们相应的三个主方向必两两相互垂直；若特征方程有两个重根，如 ，则与 方向垂直的任何方向都是主方向；若特征方程有三个重根，则任何方

13、向均为主方向。3.2.2 主应力空间主应力空间若把这三个相互垂直的主方向取为坐标系的三个坐标轴若把这三个相互垂直的主方向取为坐标系的三个坐标轴方向方向,依次建立起来的几何空间依次建立起来的几何空间,称为称为主应力空间主应力空间,该空该空间中的三个坐标轴称为间中的三个坐标轴称为应力主轴应力主轴.在主应力空间里在主应力空间里,该点该点的应力张量的应力张量 可以表示为可以表示为(3.23)由于主应力的大小和坐标选择无关由于主应力的大小和坐标选择无关,分别称系数分别称系数 为第为第一、第二和第三不变量。一、第二和第三不变量。可以理解为可以理解为 ：（数学上）三个不变：（数学上）三个不变量反映了张量具有

14、不变性的特性；（物理上），应力张量的三量反映了张量具有不变性的特性；（物理上），应力张量的三个不变量反映了物体在特定的外部因素作用下，内个不变量反映了物体在特定的外部因素作用下，内部各点的应部各点的应力状态不随坐标的改变而改变。力状态不随坐标的改变而改变。在主应力空间，根据（在主应力空间，根据（3.7)和（和（3.10)，物体内某一点任意微，物体内某一点任意微分面上的总应力、正应力和剪应力为分面上的总应力、正应力和剪应力为(3.24)推论推论：1）通过同一点的所有微分面上的正应力中，最大和最）通过同一点的所有微分面上的正应力中，最大和最小的是主应力；小的是主应力；2）通过同一点的任意微分面上的

15、总应力，其）通过同一点的任意微分面上的总应力，其绝对值介于最大和最小主应力的绝对值之间。绝对值介于最大和最小主应力的绝对值之间。在主应力空间，可求出物体内任一点的最大剪应力（主剪应力）在主应力空间，可求出物体内任一点的最大剪应力（主剪应力）及其作用面的方向。剪应力的极值表及其作用面的方向。剪应力的极值表 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0最大剪应力所在的微分面与某一应力主轴平行，并且平分另外两个应力主轴，若主应力按代数值大小排队，则有（3.25）3.3 应力张量的分解应力张量的分解3.3.1 球形应力张量球形应力张量在主应力空间里，物体内一点任意微分面上的

16、应力矢量分量为在主应力空间里，物体内一点任意微分面上的应力矢量分量为它们满足如下的方程它们满足如下的方程（3 .26)在主应力空间里，这是一个椭球面方程。若物体内存在这在主应力空间里，这是一个椭球面方程。若物体内存在这样一个点，其相应的三个主应力均相等，则在该点的主应样一个点，其相应的三个主应力均相等，则在该点的主应力空间里，任意微分面上的应力矢量分量均满足如下的力空间里，任意微分面上的应力矢量分量均满足如下的球球面方程面方程（3.27)这里，设该点的应力张量因此称为该点的应力张量因此称为球形应力张量球形应力张量或或应力球张量应力球张量。记为。记为如果物体内一点处于球形应力状态下，则该点的各个

17、方如果物体内一点处于球形应力状态下，则该点的各个方向上都仅受相同的拉应力或压应力作用。在这种情况下，向上都仅受相同的拉应力或压应力作用。在这种情况下，通过该点的微分单元体只会均匀膨胀或压缩，因此只会通过该点的微分单元体只会均匀膨胀或压缩，因此只会产生微元体的体积变化而不会产生形状改变。产生微元体的体积变化而不会产生形状改变。3.3.2 偏斜应力张量偏斜应力张量 (3.28)3.3.2 偏斜应力张量偏斜应力张量 在一般情况下，物体内一点处的应力张量可以分解为两个部分在一般情况下，物体内一点处的应力张量可以分解为两个部分这里，这里， 称为平均应力或静水压力。上称为平均应力或静水压力。上式的第一部分

18、即为应力球张量；第二部分的各分量反映了一式的第一部分即为应力球张量；第二部分的各分量反映了一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，称偏斜应力张个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，称偏斜应力张量或应力偏量，记为量或应力偏量，记为(3.29)(3.30)应力张量分解式可以简写为应力张量分解式可以简写为(3.31)式中：式中： 表示单位张量，即表示单位张量，即与应力张量一样，应力偏量也是一个对称的二阶张量，它可与应力张量一样，应力偏量也是一个对称的二阶张量，它可以描绘一点处特殊的应力状态，且和材料的塑性密切相关。以描绘一点处特殊的应力状态，且和材料的塑性密切相关。(3.32)1、应力偏量的三个

19、主应力之和为零，即、应力偏量的三个主应力之和为零，即应力偏量的性质应力偏量的性质2、应力偏量可以分解为五个纯剪切应力状态的和，因此、应力偏量可以分解为五个纯剪切应力状态的和，因此它只和微元体的剪切变形有关。它只和微元体的剪切变形有关。(3.33)3 。三个不变量，有如下的表达式(3.34)在一般的应力空间， 可以表示为(3.35)在主应力空间，应力偏张量的三个不变量可表示为在主应力空间，应力偏张量的三个不变量可表示为式中：为应力偏量的三个主值。容易证明，其相应的主方向与应力张量的主方向一致。在主应力空间，第二不变量可以表示为也可以简写为（3.36)(3.37)(3.38)3.3.3 应力张量分

20、解的物理意义应力张量分解的物理意义球形应力张量代表一个各向均匀的应力状态。球形应力张量代表一个各向均匀的应力状态。Bridgeman通过实验证明，金属材料单元体处于这种通过实验证明，金属材料单元体处于这种应力状态时，单元体一般都仅表现为弹性的体积变化，应力状态时，单元体一般都仅表现为弹性的体积变化，而无形状的改变；换句话说，球形应力张量代表的应而无形状的改变；换句话说，球形应力张量代表的应力状态不会引起塑性变形或者说与塑性变形无关，因力状态不会引起塑性变形或者说与塑性变形无关，因而在应力张量中，可排除这部分对塑性变形的影响，而在应力张量中，可排除这部分对塑性变形的影响，认为塑性变形是偏斜应力张

21、量代表的应力状态引起的。认为塑性变形是偏斜应力张量代表的应力状态引起的。注意：以上结论只是对金属材料而言的，对混凝土、注意：以上结论只是对金属材料而言的，对混凝土、岩土等非金属材料则不成立。岩土等非金属材料则不成立。3.4 八面体应力与应力强度八面体应力与应力强度考察主应力空间内任意一点考察主应力空间内任意一点M的微分面，它的外法线方向的微分面，它的外法线方向与三个应力主轴呈等倾斜（这种平面称为等倾面）。有与三个应力主轴呈等倾斜（这种平面称为等倾面）。有这样的微分面共有8个，它们组成一个包含M点在内的无限小的正八面体，这些微分面上的应力称为八面体应力。由任意微分面上的正应力和剪应力的计算公式由

22、任意微分面上的正应力和剪应力的计算公式（3.24)有有（3.39）式（式（3.39)可以改写成可以改写成（3.40)应力强度与有效应力应力强度与有效应力八面体剪应力八面体剪应力 对于塑性理论具有重要意义对于塑性理论具有重要意义,为了使用方便为了使用方便,将它乘以将它乘以 ,并称之为并称之为应力强度应力强度,用符号用符号 来表示来表示,即即应力强度应力强度 的物理意义的物理意义:对单向应力状态对单向应力状态,有有 代入以上表达式即得代入以上表达式即得,由此可见由此可见,在某种意义上来说在某种意义上来说,应力强度是应力强度是将一个复杂的应力状态化作效应相同的单向应力状态将一个复杂的应力状态化作效应

23、相同的单向应力状态.所以所以,又又称称 为为有效应力有效应力.（）（）35 平衡微分方程与静力边界条件平衡微分方程与静力边界条件如果物体在外力作用下处于平衡状态，则将其分割成任意形如果物体在外力作用下处于平衡状态，则将其分割成任意形状后，每个单元体仍应处于平衡状态，反之也然假想穿过状后，每个单元体仍应处于平衡状态，反之也然假想穿过物体作三组与坐标轴垂直的剖面，内部分割无数个小的平行物体作三组与坐标轴垂直的剖面，内部分割无数个小的平行六面体，在靠近表面处，被分割成无数个小四面体可通过六面体，在靠近表面处，被分割成无数个小四面体可通过考虑微六面体平衡得到平衡微分方程，考察四面体平衡得到考虑微六面体

24、平衡得到平衡微分方程，考察四面体平衡得到静力边界条件（边界平衡）静力边界条件（边界平衡）5平衡微分方程平衡微分方程Oxzy设微平行六面体三棱边的长分设微平行六面体三棱边的长分别为别为dx,dy,dz,且三条棱边与坐且三条棱边与坐标轴重合（也可不重合）物标轴重合（也可不重合）物体内各点的应力分量应是坐标体内各点的应力分量应是坐标的连续函数，即的连续函数，即若假设在若假设在x=0的微分面上的应力分量为，则的微分面上的应力分量为，则由连续函数的泰勒展开公式，可把由连续函数的泰勒展开公式，可把x=dx的微分面上的应力的微分面上的应力表示为表示为(忽略二阶以上微量）忽略二阶以上微量）六面体无限小，可认为

25、各微分面上的应力均匀分布，设体六面体无限小，可认为各微分面上的应力均匀分布，设体积力为（积力为（X,Y,Z),则通过平衡条件，得则通过平衡条件，得可简化为同理，由平衡条件，得其它两个方程，写在一起得同理，由平衡条件，得其它两个方程，写在一起得（3.42)（3.42)方程（）建立了物体处于平衡状态时内部各点的应力和体力之间的关系，称为平衡微分方程，也称为Navier方程若考虑物体运动情况，右边不为零，应等于括号里面的项，相应地方程称为运动微分方程它可以简写为利用力矩平衡条件可得到剪应力互等定理（.）3.5.2 静力边界条件静力边界条件考察物体表面处任意一个微四面体的平衡条件，当微分四面考察物体表

26、面处任意一个微四面体的平衡条件，当微分四面体趋于无限小时，它表示物体表面任一点的平衡条件体趋于无限小时，它表示物体表面任一点的平衡条件xyzn(3.44)(3.45)3.6 应变的概念应变的概念在外荷载的作用下在外荷载的作用下,物体会发生形状和体积的变化，该变化称物体会发生形状和体积的变化，该变化称为变形。与应力一样，需要一个应变张量描述某点的变形。为变形。与应力一样，需要一个应变张量描述某点的变形。定义应变张量为定义应变张量为 ，它也是一个对称张量，由，它也是一个对称张量，由9个分量组成，个分量组成，具体形式为具体形式为在直角坐标系中，设物体内某点沿x轴，y轴和z轴的位移分别为u、v、w，则

27、上述各应变分量与位移分量的关系为(3.36)(3.37)从上式可知，从上式可知，9个应变分量中只有个应变分量中只有6个是独立的。个是独立的。注：上式所定义的剪应变与材料力学中定义的应变不一注：上式所定义的剪应变与材料力学中定义的应变不一样，材料力学中定义的应变通常称为工程应变，它们之样，材料力学中定义的应变通常称为工程应变，它们之间的关系是两倍的关系，如间的关系是两倍的关系，如3.6.1 dxdyOAB如图取OA=dx,OB=dy,变形后点O移至O,A至A,B至B,在小变形情况下,oA 的伸长长度为 定义 所以所以 表示沿表示沿x轴单位长度的伸长量或缩短量轴单位长度的伸长量或缩短量.同样可知同

28、样可知 分别是沿分别是沿y向向z 向单位长度的伸长量或缩短量向单位长度的伸长量或缩短量,即是线应变即是线应变3.6.2 剪应变的物理意义剪应变的物理意义在在xy平面内沿平面内沿x轴、轴、y轴各取一微小段轴各取一微小段OA、OB,变形后，点变形后，点O移至点移至点O,A点移至点移至A，B点移至点移至B。设。设O点点沿沿x、y方向的位移分别为方向的位移分别为u,v,则则A点水平和竖向位移分别点水平和竖向位移分别为为B点的水平位移和竖向位移分别为点的水平位移和竖向位移分别为设 分别为OA轴与x轴， OB与y轴的夹角。考虑到在荷载作用下只发生微小变形，所以它们分别为所以所以为变形后直线之间的夹角，变形

29、前为设 为x轴与 y轴夹角的变化，则可见可见剪应变的物理意义为原互相垂直的线段直角改变量的剪应变的物理意义为原互相垂直的线段直角改变量的一半。一半。线应变与剪应变可用下标记法表示为线应变与剪应变可用下标记法表示为可以验证，可以验证， 为对称的二阶张量，具有与应力张量相为对称的二阶张量，具有与应力张量相似的性质似的性质3.7 应变张量的性质应变张量的性质3.7.1 应变张量的主轴，主应变及应变不变量应变张量的主轴，主应变及应变不变量 物体内每一点都存在着应变。这种状态用应变张量物体内每一点都存在着应变。这种状态用应变张量 表示。应变张量是对称的二阶张量，所以也一定存在三个表示。应变张量是对称的二

30、阶张量，所以也一定存在三个主轴，对应于三个主轴有主值。将三个主值分别定义为主轴，对应于三个主轴有主值。将三个主值分别定义为 主主应变应变 。在以主轴为法线的平面上只有线应变，。在以主轴为法线的平面上只有线应变，没有剪应变，且线应变分别是没有剪应变，且线应变分别是 。现以三个主轴为坐标轴建立主坐标系。在主坐标系中，应变张量应变张量的三个不变量为在主坐标中，三个不变量在主坐标中，三个不变量可以证明，3.7.2 应变张量的分解应变张量的分解与应力张量类似，应变张量可分解为应变球张量与应变与应力张量类似，应变张量可分解为应变球张量与应变偏张量。各分量的关系为。偏张量。各分量的关系为。其中其中应变偏张量

31、为对称的二阶张量，存在三个主轴及相应的三个主应变偏张量为对称的二阶张量，存在三个主轴及相应的三个主值值可以证明应变偏量的主轴与应变张量的主轴一致，且它的主值可以证明应变偏量的主轴与应变张量的主轴一致，且它的主值与应变张量的主应变间存在以下关系与应变张量的主应变间存在以下关系应变偏张量也存在三个不变量，在此设为3.7.3 八面体剪应变，应变强度八面体剪应变，应变强度采用求八面体上的正应力及剪应力类似的过程，可求得八面采用求八面体上的正应力及剪应力类似的过程，可求得八面体的线应变体的线应变称为等效应变或应变强度，物理意义与应力强度一样，称为等效应变或应变强度，物理意义与应力强度一样，代表物体内某处

32、的变形程度。代表物体内某处的变形程度。3-8 Plane strain analysis 平面应变状态应变分析 Strains at arbitrary direction Strains at arbitrary direction 任意方位的应变任意方位的应变任意方位的应变任意方位的应变 Mohrs circle for plane strainMohrs circle for plane strain 应变圆应变圆应变圆应变圆 Maximum & principal strainMaximum & principal strain 最大应变与主应变最大应变与主应变最大应变与主应变最大应变

33、与主应变 ExamplesExamples 例题例题例题例题 Strains at arbitrary direction任意方位的应变For a state of plane strain(平面应变状态平面应变状态), we assume微体内各点的位移均平行于某一平面微体内各点的位移均平行于某一平面For a state of plane stress, we assume: 平面应变状态任意方位应变平面应变状态任意方位应变问题：问题：已知应变已知应变 e ex , e ey与与 g gxy，求求 a a 方位的应变方位的应变 e ea a 与与 g ga a 使左下直角增大之使左下直角增

34、大之 g g 为为正正规定：规定： 方位角方位角 a 以以 x 轴为始边轴为始边，为正为正分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析分析综合综合 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关结论结论 任一方位应变：任一方位应变： 垂直方位切应变：垂直方位切应变：互垂方位的切应变数互垂方位的切应变数值相等，符号相反值相等，符号相反 Mohrs circle for plane strain应变圆 Maximum & principal strain最大应变与主应变切应变为零方位的正应变切应变为零方位的正应变主应变主应变主应变位于互垂方位主应变位于互垂方位主应变表示：主应变表示：e e1 1 e e2 2 e e3 3 例题例例 图示应变花，由实验测得图示应变花，由实验测得0, 45与与 90方位的应变分别方位的应变分别为为e e0 0 , , e e45 45 与与e e90 90 ，求求 e ex , , e ey 与与 g gxy解：解：