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1、 概率论与数理统计B 主讲主讲 程世娟程世娟 概率论与数理统计简介概率论与数理统计简介 概率论与数理统计是一门专门研究和探索客观概率论与数理统计是一门专门研究和探索客观世界中随机现象的科学世界中随机现象的科学. . 它们它们以随机现象为研究对象以随机现象为研究对象以随机现象为研究对象以随机现象为研究对象, ,是数学的分支学科是数学的分支学科. . 在金融在金融, ,保险保险, ,经济与企业管理经济与企业管理, ,工农业生产工农业生产, ,军事军事, ,医学医学, ,地质学地质学, ,空间技术空间技术, ,气象与自然灾害预报气象与自然灾害预报以及许以及许多边缘学科与新兴学科，如信息论、排队论、生
2、物统多边缘学科与新兴学科，如信息论、排队论、生物统计、统计物理、人工智能、控制论等计、统计物理、人工智能、控制论等方面都起到非常方面都起到非常重要的作用重要的作用. . 概率论与数理统计知识成为现代科学家与工程师概率论与数理统计知识成为现代科学家与工程师的一门必需的专业基础理论课程的一门必需的专业基础理论课程. . 生活当中我们遇到的很多实际的问题都可以用概率统计的知识生活当中我们遇到的很多实际的问题都可以用概率统计的知识来解决来解决. .如:1把一根木棍随机折成3段,这3段能组成一个三角形的可能性是多少?2抽签问题, 彩票中奖问题,种子发芽率问题,新药的临床检验问题3在雅典奥运会上,美国选手
3、的射击实力明明比中国选手的强,但最后的金牌却属于中国选手,这一现象后所隐藏的统计规律是什么?4人体形态千差万别,服装设计师所设计的服装只有有限的几种型号(大号 中号 小号等)却几乎满足所有人的需要,那服装设计师设计服装时的依据是什么?5根据以往各课程的成绩,你估计期末你的概率及格,你这种估计的可信性是多少?6如过你是一个老板,你订的一大批货五到了,你怎样判断这批货物是否合格,或者说你根据怎样的规则做出接收或拒绝接收的决定本学期的教学任务本学期的教学任务:第一章 概率论的基本概念第二章 随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布第四章 随机变量的数字特征第五章 大数定律及中心极限定理第六章 样
4、本分布第七章 参数估计 第八章 假设检验 第一章 概率论的基本概念1.1 随机试验、随机事件及样本空间一、随机试验一、随机试验一、随机试验一、随机试验二、随机事件二、随机事件二、随机事件二、随机事件三、事件间的关系与事件的运算三、事件间的关系与事件的运算三、事件间的关系与事件的运算三、事件间的关系与事件的运算1 1、自然界现象的分类、自然界现象的分类、自然界现象的分类、自然界现象的分类(1)(1)确定性现象：确定性现象：确定性现象：确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。(2)(2)不确定现象：不确定现象：不确定现象：不确定现象：在一定条件下不一定发生的现象。在一定
5、条件下不一定发生的现象。 a a）个别现象；原则上不能在一定条件下重复发生的现象。个别现象；原则上不能在一定条件下重复发生的现象。 b b）随机现象随机现象：在相同条件下：在相同条件下 i) i)可以重复出现，可以重复出现， ii)ii)但但其结果无法确知其结果无法确知其结果无法确知其结果无法确知， iii)iii)并且在大量重复试验或观察中呈现出某种并且在大量重复试验或观察中呈现出某种统计规律性的现象。统计规律性的现象。 如：抛硬币、打靶、生育问题如：抛硬币、打靶、生育问题 一、随机试验：一、随机试验：2 2、随机试验、随机试验、随机试验、随机试验( (Experiment)(1)(1)、试
6、验：、试验：、试验：、试验：对自然现象的观察和进行一次科学实验。对自然现象的观察和进行一次科学实验。(2)(2)、随机试验的三个特点、随机试验的三个特点、随机试验的三个特点、随机试验的三个特点： a a）试验能在相同条件下重复进行；试验能在相同条件下重复进行； b b）每次试验的可能结果不止一个，且每次试验的可能结果不止一个，且 能事先明能事先明 确试验的所有可能结果；确试验的所有可能结果； c c）每一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；每一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3 3、随机试验举例、随机试验举例E1E1：抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H H，反面反面T T出现的情
7、况；出现的情况；E2E2：将一硬币抛三次，观察出现正面的次数；将一硬币抛三次，观察出现正面的次数；E3E3：将一硬币抛三次，观察正面将一硬币抛三次，观察正面H H反面反面T T出现的情况；出现的情况；E4E4：抛一颗骰子，观察出现的点数；抛一颗骰子，观察出现的点数；E5E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数；记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数；E6E6：在一批灯泡中任意取一只，测试其寿命（以小在一批灯泡中任意取一只，测试其寿命（以小时计）；时计）；E7E7：记录某地一昼夜的最高温度记录某地一昼夜的最高温度t t2 2, ,最低温度最低温度t t1 1。 4 4、样本空间、样本空间：试验的
8、：试验的：试验的：试验的所有可能结果所有可能结果所有可能结果所有可能结果的集合，记为的集合，记为的集合，记为的集合，记为S S 。 ( (写出上例中的样本空间写出上例中的样本空间写出上例中的样本空间写出上例中的样本空间) )二、随机事件二、随机事件1. 1.样本点样本点样本点样本点 ：组成样本空间：组成样本空间 的元素的元素 , ,即试验的一个可能即试验的一个可能出现的结果出现的结果. .又称基本事件又称基本事件, ,记为记为e e 样本空间样本空间S S可记作可记作S=eS=e2. 2.随机事件随机事件随机事件随机事件 ：样本空间：样本空间S S的子集的子集, ,即部分样本点的集即部分样本点
9、的集合。通常用大写的合。通常用大写的A,B,CA,B,C来表示。来表示。 若事件中至少有一样本点发生时若事件中至少有一样本点发生时, ,称这一事件发生或出现称这一事件发生或出现. .3 3随机事件举例随机事件举例随机事件举例随机事件举例 4 4 (1) (1) 骰子骰子骰子骰子1. 1.(2) (2) 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。2. 2. 试写出下列事件包含的样本点试写出下列事件包含的样本点: :A=A=一分钟内至少接到两次呼唤信号一分钟内至少接到两次呼唤信号 B=B=一分钟
10、内接到的呼唤次数在一分钟内接到的呼唤次数在6 6到到1010之间之间 C=C=一分钟内接到的呼唤次数不多于一分钟内接到的呼唤次数不多于8 8次次 D=D=一分钟内接到的呼唤次数至少为一分钟内接到的呼唤次数至少为0 0次次 4 、必然事件S与不可能事件S S 包含试验的全部样本点，每次试验每次都发生包含试验的全部样本点，每次试验每次都发生包含试验的全部样本点，每次试验每次都发生包含试验的全部样本点，每次试验每次都发生, , 因此称为必然事件因此称为必然事件因此称为必然事件因此称为必然事件. . 不包括任何样本点，每次试验都不发生不包括任何样本点，每次试验都不发生不包括任何样本点，每次试验都不发生
11、不包括任何样本点，每次试验都不发生, , 因而称为不可能事件因而称为不可能事件因而称为不可能事件因而称为不可能事件1 1 包含关系包含关系包含关系包含关系：若事件：若事件A A发生导致发生导致 事件事件B B发生，则称发生，则称A A包含于包含于B B，或或事件事件B B包含事件包含事件A A，记为记为A A B B A B S三、事件间的关系与事件的运算三、事件间的关系与事件的运算三、事件间的关系与事件的运算三、事件间的关系与事件的运算 由于事件是样本点的集合，因此事件间的关系与事件由于事件是样本点的集合，因此事件间的关系与事件由于事件是样本点的集合，因此事件间的关系与事件由于事件是样本点的
12、集合，因此事件间的关系与事件的运算应该按集合间的关系与集合的运算的运算应该按集合间的关系与集合的运算的运算应该按集合间的关系与集合的运算的运算应该按集合间的关系与集合的运算. .2和事件和事件和事件和事件：A AB B=e|ee|e A A或或e e B B 3 3可推广到可推广到可推广到可推广到n n 个事件和无穷多个事件情形。个事件和无穷多个事件情形。个事件和无穷多个事件情形。个事件和无穷多个事件情形。SAB3积事件积事件：4 A A B=e|e B=e|e A A且且且且e e BB4 4 差事件差事件差事件差事件： A-B=e|eA-B=e|e A A且且e e B B SABASAB
13、SAB5 5 不相容性不相容性不相容性不相容性： 若若AB=AB= ，则称事件则称事件A A与与B B互不相容，或称为互斥，互不相容，或称为互斥， 即指事件即指事件A A与与B B不能同时发生不能同时发生. .SBA6 6 逆事件逆事件逆事件逆事件( (对立事件对立事件对立事件对立事件) )： 若若AB= AB= ，且，且A A B B =S =S，则则称事件称事件A A与事件与事件B B互为逆事件互为逆事件. .注注1 概率论中事件间的关系与集合论中集合之间的关系是一致的，详见表注注2 事件之 间的运算律与集合之间的运算规律一致 例例1、 设某射手对一目标接连进行三次射击设某射手对一目标接连
14、进行三次射击，1.2 事件发生的频率与概率一、事件一、事件A A发生的频率与概率发生的频率与概率 1 1、事件发生的频率及计算、事件发生的频率及计算 2 2、稳定中心、稳定中心 3 3、频率、频率f fn n(A)(A)的基本性质的基本性质二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义一、事件一、事件一、事件一、事件A A A A发生的频率与概率发生的频率与概率发生的频率与概率发生的频率与概率 1 1、事件发生的频率及计算、事件发生的频率及计算 定义定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A
15、 发生的频率，并记成 fn(A) 。、频率、频率、频率、频率f f f fn n n n(A)(A)(A)(A)的基本性质的基本性质的基本性质的基本性质1 1 非负性非负性： A A S,fS,fn n(A)(A) 0 02 2 规范性规范性：f fn n(S)=1(S)=13 3 可加性可加性：若：若AB=AB= , ,则则f fn n(A(AB)=B)=f fn n(A)+f(A)+fn n(B(B) ) 稳定性稳定性：一般地，当试验次数一般地，当试验次数n n逐渐增大时逐渐增大时, ,事件事件A A出出现的频率总是围绕在某个实常数现的频率总是围绕在某个实常数P(A)P(A)附近，这种性质
16、附近，这种性质称为频率的稳定性称为频率的稳定性, ,稳定值稳定值P(A)P(A)称为稳定中心。称为稳定中心。 实 验 者 德摩根 蒲 丰K 皮尔逊K 皮尔逊 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005稳定性举例:抛硬币频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义二、概率的公理化定义1 1、定义：、定义：设E为随机试验，S为其样本空间，对于E的每一事件A，赋予一实数实数P(A),若集函数 P(.)满足下列条件：1 非负性：AS
17、,P(A)02 规范性：P(S)=13 可列可加性：若A1,A2,为两两互不相容事件列，即ij, AiAj=,有则称P(A)为事件A的概率.2、概率的简单性质、概率的简单性质性质性质性质性质1 1：不可能事件发生的概率为零。即：不可能事件发生的概率为零。即：不可能事件发生的概率为零。即：不可能事件发生的概率为零。即P(P( )=0)=0 性质性质2 2：对于有限个互不相容事件对于有限个互不相容事件A A1 1, , A A2 2, , A An n的事件发生的事件发生的概率具有有限可加性。即的概率具有有限可加性。即性质性质3 3：如果事件：如果事件A A B B，则，则P(B)P(B) P(A
18、),P(A),且有概率的且有概率的减法公式：减法公式： P(B-A)= P(B)-P(A)P(B-A)= P(B)-P(A)性质性质4： 对于任何一个事件对于任何一个事件A，都有都有0 P(A) 1性质性质5：两对立事件的概率之和等于：两对立事件的概率之和等于1。即。即性质性质性质性质6 6 6 6： 对于任意两事件对于任意两事件对于任意两事件对于任意两事件A A A A、B B B B，都有都有都有都有P(AP(AP(AP(A B)B)B)B) P(A)+P(B)P(A)+P(B)P(A)+P(B)P(A)+P(B)且有概率的加法公式且有概率的加法公式且有概率的加法公式且有概率的加法公式P(AP(AP(AP(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB) 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)3、应用举例、应用举例 假设事件A、B发生的概率分别为 试在下列三种条件下分别求出 ABBABA
