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1、9.2点与直线、直线与直线的位置关系按Esc键退出返回目录按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测考点探究突破考点探究突破按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测构建能力大厦的奠基石构建能力大厦的奠基石按Esc键退出返回目录知识梳理1.两直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.(1)两直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.答案：k1=k2,且b1b2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10按Esc键退出返回目录(2)两直线垂直对于直
2、线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.答案：1A1A2+B1B2=0按Esc键退出返回目录2.两直线的交点设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则l1与l2,此解就是两直线交点的坐标;若方程组无解,则l1与l2;若方程组有无数个解,则l1与l2.答案：相交平行重合按Esc键退出返回目录3.有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=.(2)点到直线的
3、距离平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=.答案：(1)(2)按Esc键退出返回目录设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2),则l1与l2之间的距离d=.(3)两平行线间的距离已知l1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法:求一条直线上一点到另一条直线的距离;答案：按Esc键退出返回目录4.对称问题(1)中点坐标公式设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为.(2)中心对称若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得.答案：(1)(2)按Esc键退出返回目录可得到点P1关于l对称的点P2
4、的坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2).(3)轴对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组按Esc键退出返回目录2.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为().A.B.2C.D.21.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0基础自测答案：A答案：B按Esc键退出返回目录4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=
5、().A.-1B.-C.2D.答案：B3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=().A.2B.1C.0D.-1答案：D按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出返回目录返回目录返回目录5.求与直线x-y+2=0平行,且它们之间的距离为3的直线方程.解:设与直线x-y+2=0平行的直线方程为x-y+m=0,根据平行线间的距离公式,得=3|2-m|=6m=-4或m=8,即所求的直线方程为x-y-4=0,或x-y+8=0.按Esc键退出返回目录1.研究两直线的位置关系时,若直线方程的系数含有变量应注意什么?提示:在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时,若直线方程中y的系数含
6、有字母参数,则斜率可能有不存在的情况.此时,应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论.利用斜率相等研究两条直线平行时,要注意重合的情形.思维拓展按Esc键退出返回目录2.运用距离公式时应注意什么?提示:点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程,在运用该公式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用两平行线间的距离公式时,要注意先把两直线方程中x,y的系数化成相等的形式.按Esc键退出返回目录考点探究突破考点探究突破拓展升华思维的加油站拓展升华思维的加油站按Esc键退出返回目录一、两直线的平行【例1】直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平
7、行,则m的值为(). A.2B.-3 C.2或-3D.-2或-3答案：C按Esc键退出返回目录解析:解法一:当m=-1时,l1:2x+4=0,l2:-x+3y-2=0显然l1与l2不平行;当m-1时,因为l1l2,所以应满足-=-且-,解得m=2或m=-3.解法二:若l1l2,需23-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2.当m=-3或2时,-2(m+1)-120.m=-3或2为所求.按Esc键退出返回目录设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10.方法提炼1.判定两直线平行的方法:(1)判定两直线的斜率是否存在,
8、若存在,可先化成斜截式,若k1=k2,且b1b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合.(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(mC),这也是经常采用的解题技巧.请做针对训练1按Esc键退出返回目录二、两直线的垂直【例2】求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.解:解法一:直线2x+y-10=0的斜率不为0,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.直线l与直线2x+y-10=0垂直,k(-2)=-1.k=.又l经过点A(2,1),所求直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=
9、0.按Esc键退出返回目录解法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.直线l经过点A(2,1),2-21+m=0.m=0.所求直线l的方程为x-2y=0.按Esc键退出返回目录2.与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,这也是经常采用的解题技巧.请做针对训练2方法提炼1.判定两直线垂直的方法:(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,两直线也垂直.(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C
10、2=0,l1l2A1A2+B1B2=0.按Esc键退出返回目录三、距离公式的应用【例3-1】已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点P,且与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,求直线l的方程.解:解方程组得故交点P(-1,2).(1)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意得=,解得k=-,直线l方程为y-2=-(x+1)即x+3y-5=0.(2)当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-1,此时也符合题目要求.综合(1)(2)知,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.按Esc键退出返回目录【例3-2】已知直线l过点
11、P(3,1),且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.解：解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,由解得A.按Esc键退出返回目录由解得B.由两点间的距离公式,得+=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知,直线l的方程为x=3,或y=1.按Esc键退出返回目录解法二:因为两平行线间的距离d=,如图,直线l被两平行线截得的
12、线段长为5,按Esc键退出返回目录设直线l与两平行线的夹角为,则sin=,所以=45.因为两平行线的斜率是-1,故所求直线的斜率不存在,或为0.又因为直线l过点P(3,1),所以直线l的方程为x=3,或y=1.按Esc键退出返回目录方法提炼运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.请做针对训练3按Esc键退出返回目录四、对称问题【例4-1】已知直线l1:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l1的对称点A的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l1的对称直线l2的方程;(3)直线l
13、1关于点A对称的直线l3的方程.按Esc键退出返回目录解:(1)设A(x,y),由已知得解得故A.按Esc键退出返回目录(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M关于l1的对称点必在l2上.设对称点为M(a,b),则由得M.设m与l1的交点为N,由得N(4,3).又l2过N点,由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.按Esc键退出返回目录(3)解法一:在l1:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3).则M,N关于点A的对称点M,N均在直线l3上.易知M(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l3的方程为2x-3y-9=0.解法二:l1l3,可设l3的方程为
14、2x-3y+c=0(c1).点A到两直线的距离相等,由点到直线的距离公式得=,得c=-9,l3的方程为2x-3y-9=0.按Esc键退出返回目录解法三:设P(x,y)是l3上任一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y).P在直线l1上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.整理得2x-3y-9=0.按Esc键退出返回目录【例4-2】已知直线l1:2x+y-4=0,求l1关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线l2的方程.解:方法一:由得l1与l的交点为P(3,-2),显然P也在l2上.设l2的斜率为k,又l1的斜率为-2,l的斜率为-,则=,解得k=-.故l
15、2的直线方程为y+2=-(x-3),即2x+11y+16=0.按Esc键退出返回目录方法二:在直线l1上取一点A(2,0),又设点A关于直线l的对称点为B(x0,y0),则解得B.故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0.按Esc键退出返回目录方法提炼1.在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称.处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件,转化为代数关系列方程求解;线关于线的对称问题,可以转化为点关于直线的对称问题来解决;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理,结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法.2.求与距离有关的最值问题,一般是通过作图,转化为对称问题加以解决.请做针对训练4按Esc键退出返回目录本课结束本课结束谢谢观看谢谢观看
