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1、点、直线与圆的位置关系，点、直线与圆的位置关系，圆的切线圆的切线本课内容本节内容3.23.2.3 三角形的内切圆三角形的内切圆 想在一块三角形硬纸板上剪下一个面想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？积最大的圆形纸板，应当怎样剪？探究探究 如图如图3-40，为了使圆形纸板的面积最，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近能贴近.图图3-40由此猜想：这个圆应当与三角形的三条由此猜想：这个圆应当与三角形的三条 边都相边都相 .切切与三角形的三条边都相切的圆存在吗？与三角形的三条边都相切的圆存在吗？如果存在，那么如何
2、画出这样的圆？如果存在，那么如何画出这样的圆？（1）如果与）如果与ABC的三条边都相切，那么的三条边都相切，那么 圆心圆心O到三条边的距离都等于到三条边的距离都等于 ， 从而这些距离相等从而这些距离相等.我们已经知道，到一个角的两边距离相我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心圆心O是是A的的 与与B的的 的的 点点.半径半径平分线平分线平分线平分线交交（2）如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如图如图3-41，已知，已知ABC.图图3-41作作A，B的平分线的平分线AD，BE， 它们相交于点
3、它们相交于点O；过点过点O作作AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为M；以点以点O为圆心，为圆心，OM为半径作圆为半径作圆.圆圆O就是所求的圆，如图就是所求的圆，如图3-41.*（3）上面所作的圆上面所作的圆O真的与真的与ABC的三条边的三条边 都相切吗？都相切吗？由于圆心由于圆心O到到AB的距离等于的距离等于OM的长，的长，即等于半径，因此即等于半径，因此AB与圆与圆O相相 ；由于圆心由于圆心O在在BAC的平分线上，因此的平分线上，因此圆心圆心O到到AC的距离与的距离与O到到AB的距离的距离 ，从而也等于从而也等于 ，所以，所以AC与圆与圆O相相 ；类似地，类似地，BC与圆与圆O相相 .切切相等相
4、等半径半径切切切切*（4）与与ABC的三条边都相切的圆有几个？的三条边都相切的圆有几个？ 根据第根据第( (1) )个问题的结论，与个问题的结论，与ABC的三条的三条边都相切的圆，其圆心是边都相切的圆，其圆心是A的平分线与的平分线与B 的平分线的交点的平分线的交点O，其半径等于，其半径等于O到到AB的距离，的距离，因此与因此与ABC的三条边都相切的圆只有一个的三条边都相切的圆只有一个.结论结论与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的圆心叫做
5、三角形的内心内心，这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的外切三角形外切三角形. 设点设点O是是ABC的内心的内心( (参看图参看图3-41) )，由于由于AB，BC，AC都与圆都与圆O相切，因此圆相切，因此圆心心O到到AB，BC，AC的距离都等于的距离都等于 ，从，从而圆心而圆心O在在ABC的每个内角的的每个内角的 上上.半径半径平分线平分线结论结论 三角形的内心是这个三角形的三条角三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点平分线的交点.例例6 设设ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r， ABC的周长为的周长为l，求，求ABC 的面积的面积S. 举举例例解解 如图如图3-42，ABC的三边
6、的三边AB，BC，CA 分别与圆分别与圆O相切于点相切于点D，E，F.连结连结OD，OE，OF，OA，OB，OC.据切线的性质定理得据切线的性质定理得 ODAB，OEBC，OFAC.因此因此ABC的面积的面积S为为从而从而OAB的面积为的面积为 ABOD= ABr，同理同理OBC，OCA的面积分别为的面积分别为 BCr，CAr，= r( (AB+BC+CA) )S = AB r + BC r + CA r= rl.D1. 画一个三角形，然后画它的内切圆画一个三角形，然后画它的内切圆.练习练习答：画一个三角形，然后分别作答：画一个三角形，然后分别作其中任意两个角的角平分线，其其中任意两个角的角平
7、分线，其相交于一点相交于一点O，过点，过点O作一条边的作一条边的垂线，垂直为垂线，垂直为D，如图如图. 以以O为圆心，以为圆心，以OD的长为半的长为半径作圆，则圆径作圆，则圆O就是所求的圆就是所求的圆.O2. 已知正三角形的边长为已知正三角形的边长为2，则它的内切圆，则它的内切圆 和外接圆组成的圆环面积为和外接圆组成的圆环面积为 （）.BA. B.B.C. 2 D. 33. 一个三角形的一个角的平分线与对边的一个三角形的一个角的平分线与对边的 交点是不是这条边与内切圆的切点？交点是不是这条边与内切圆的切点？答：不一定答：不一定. 当这个角是等边三角形的一个角当这个角是等边三角形的一个角 或等腰
8、三角形的顶角时，角平分或等腰三角形的顶角时，角平分 线与对边交点是这边与内切圆的线与对边交点是这边与内切圆的 切点，否则不是切点，否则不是.4. 等边三角形的一个角的平分线与对边的等边三角形的一个角的平分线与对边的 交点是不是这条边与内切圆的切点？为交点是不是这条边与内切圆的切点？为 什么？什么？答：是答：是. 因为等边三角形一个角的平分线因为等边三角形一个角的平分线 垂直于对边垂直于对边.5. 任意一个三角形的外接圆和内切圆是两任意一个三角形的外接圆和内切圆是两 个同心圆吗？说明你的理由个同心圆吗？说明你的理由.答：不一定答：不一定. 因为三角形的外接圆的圆心是三角形因为三角形的外接圆的圆心
9、是三角形 三条边的垂直平分线的交点，三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形 的内切圆的圆心是三角形三个内角平的内切圆的圆心是三角形三个内角平 分线的交点，过两个交点一般是不重分线的交点，过两个交点一般是不重 合的合的.中考中考 试题试题例例1 如图，如图， O内切于内切于ABC，切点分别为，切点分别为D、E、F.已已知知B=50，C=60，连结，连结OE、OF、DE、DF，那么，那么EDF等于等于 （ ） A.40 B.55 C.65 D.70B解析解析B=50，C=60， A=70.又又AB、BC、AC切切 O于点于点E、D、F，AEO=AFO=90.EOF=360- -90- -90- -70=110.EDF = EOF= 110=55，故选故选B. .D结结 束束
