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1、2.3.1 平面向量数量积平面向量数量积 的物理背景及定义的物理背景及定义 向量数量积的物理背景与定义向量数量积的物理背景与定义问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？精确的给出数学中的定义？力做的功：力做的功：W = |F| |s|cos ， 是是F与与s的夹的夹角角 其中其中|F|cos就是就是F在物体位移方向上的分在物体位移方向上的分量的数量，也就是力量的数量，也就是力F在物体位移方向上正在物体位移方向上正射影的数量。射影的数量。力做的功：力做的功：W
2、= |F| |s|cos ， 以计算力做功为背景，我们引入向量的数以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的运算量积的运算. （1）两个向量的夹角；）两个向量的夹角；（2）向量在轴上的射影）向量在轴上的射影.两个向量的夹角两个向量的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a、b， =a， = b.则则AOB称作向量称作向量a和向量和向量b的夹角的夹角,记作记作.并规定并规定0 （1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（2）范围）范围0a ，b；（3）a ，b=b ，a；（4）a ，b
3、=0时时, a、b同向；同向； a ，b=时，时，a、b反向；反向； a ，b= 90时，时， a b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直意向量垂直. 向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影 （1）概念：）概念： 已知向量已知向量a和轴和轴l，作，作 =a，过点，过点O，A分别作轴分别作轴l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为O1，A1，则，则向量向量 叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的正射影上的正射影. （2）正射影的数量：）正射影的数量： 向量向量a的正射影在轴的正射影在轴l上的坐标，称作上的坐标，称作a在在轴轴l上的数量或在轴上的数量或在轴
4、l方向上的数量方向上的数量.记作：记作： al向量向量a的方向与轴的方向与轴l的正方向所成的角为的正方向所成的角为，则有则有 1. a在轴在轴l上的射影或在轴上的射影或在轴l方向上的数量是一方向上的数量是一个数量，不是向量个数量，不是向量.2. 当当 为锐角时，数量为正值；为锐角时，数量为正值；3. 当当 为钝角时，数量为负值；为钝角时，数量为负值；4. 当当 为直角时，数量为为直角时，数量为0；5. 当当 = 0 时，数量为时，数量为 |a|；6. 当当 = 180 时，数量为时，数量为 |a|. ，过点，过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则，则| b | cosOABab
5、OABab| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab向量的数量积（内积）向量的数量积（内积） 定义：定义： 叫做向量叫做向量a和和b的数量的数量积（或内积）积（或内积）记作：记作：ab .即即 ab = 1数量积数量积a b等于等于a的长度与的长度与b在在a方向上正方向上正投影的数量投影的数量|b|cos 的乘积的乘积.2两个向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个实数，符号由，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个的符号所决
6、定；而数乘向量是一个向量。向量。3两个向量的数量积的性质：两个向量的数量积的性质：设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是与是与b同向的单位同向的单位向量向量.1. e a = a e =|a|cos ;2. a b a b = 03. a a = |a|2或或4. cos = ；|a b| |a|.|b| . 判断正误，并简要说明理由判断正误，并简要说明理由: a00； 0a；0 ； |ab|a|b|； 若若a0，则对任一非零，则对任一非零b有有ab； ab，则，则a与与b中至少有一个为中至少有一个为0； 对任意向量对任意向量a，b，c都有都有(ab)ca(bc)； a与与b是两个单位
7、向量，则是两个单位向量，则a2=b2.例例1. 已知已知|a|=2，|b|=3，且分别满足下列条，且分别满足下列条件，求件，求ab. (1) =120 ;(2) ab; (3) a/b解解: (1)=120 ， 所以所以ab=23 (0.5)= 3.(2) ab, 所以所以 ab=0.(3) a/b, 所以所以 ab=6或或6.练习练习 1. 已知已知|a|，|b|，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求abab时，时， ab =18；ab时，时，ab=0； a与与b的夹角是的夹角是60时，时，ab=9.例例2. 已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，
8、求，求a在在b方向上的正射影的数量及方向上的正射影的数量及b在在a方向上的正射方向上的正射影的数量。影的数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是例例3、练习练习. 如图，如图，ABC为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且直角边直角边AB=1，求，求解：解： 又又练习：练习：6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= = 0 时成立时成立1 1若若a = =0，则对任一向量则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c7对任意向量对任意向量 a 有有
