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1、一、主一、主 要要 内内 容容1 1、向量组的线性相关性，、向量组的线性相关性，向量组的秩向量组的秩及找一个最大无关组，及找一个最大无关组，并用该最大无关线性无关组表示向量并用该最大无关线性无关组表示向量组中的其余向量组中的其余向量第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量定定义义向量的定义向量的定义向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量负负向向量量向向量量加加法法向量的线性运算向量的线性运算数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和
2、数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量的的线线性性运运算算 ， 满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规规 则则 ：除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组定定义义线性组合线性组合定定义义线性表示线性表示定定理理定定义义定定义义定定理理线性相关线性相关定定理理定定义义向量组的秩向量组的秩等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量
3、组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B B 的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组定定义义设设 为为 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间
4、向量空间向量空间定定义义子空间子空间定定义义基与维数基与维数向向量量方方程程齐次线性方程组齐次线性方程组解解向向量量解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质定定义义定定理理定定义义向向量量方方程程非齐次线性方程组非齐次线性方程组解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质解解向向量量向向量量方方程程 的的解解就就是是方方程程组组 的的解解向向量量（）求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系线性方程组的解法线性方程组的解法第第一一步步：对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换，使使其其变变成成行行最最简简形形矩矩阵阵第第三三步步：将将其其余余 个个分分量量依依次次组组成成 阶阶单
5、单位位矩矩阵阵，于于是是得得齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系（）求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解将将上上述述矩矩阵阵中中最最后后一一列列的的前前 个个分分量量依依次次作作为为特特解解的的第第 个个分分量量，其其余余 个个分分量量全全部部取取零零，于于是是得得即即为为所所求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个特特解解一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、齐次方程组的三、齐次方程组的基础解系基础解系典型例题典型例题一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个
6、个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理理得得到到解解二二分分析析证证明明证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成最最大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系证证明明求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵
7、阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如如果果向向量量组组的的向向量量以以列列（行行）向向量量的的形形式式给给出出，把把向向量量作作为为矩矩阵阵的的列列（行行），对对矩矩阵阵作作初初等等行行（列列）变变换换，这这样样，不不仅仅可可以以求求出出向向量量组组的的秩秩，而而 且且 可可 以以 求求 出出 最最 大大 线线 性性 无无 关关 组组 若若矩矩阵阵 经经过过初初等等行行（列列）变变换换化化为为矩矩阵阵 ，则则 和和 中中任任何何对对应应的的列列（行行）向向量量组组都都有有相相同同的的线线性性相相关关性性二、求向量组的秩二、求向量组的秩解解基础解系的求解基础解系的
8、求解例：求齐次线性方程组 的基础解系方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系即即并给出通解.令令x3 = c1， x4 = c2， 得通解表达式得通解表达式因为因为方程组的任意一个解都可以表示为方程组的任意一个解都可以表示为x x1, , x x2 的线性组合的线性组合x x1, , x x2 的四个分量不成比例，所以的四个分量不成比例，所以 x x1, , x x2 线性无关线性无关所以所以x x1, , x x2 是原方程组的基础解系是原方程组的基础解系方法方法2：先求出基础解系，再写出通解先求出基础解系，再写出通解即即令令合起来便得到基础解系合起来便得到基础解系，得，得还能找出其还能找出其它基础解系它基础解系吗？吗？故原方程组的通解为故原方程组的通解为
