级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数; 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限 3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法判别法: 若且则交错级数收敛 ,概念概念:且余项若收敛 , 称绝对收敛若发散 , 称条件收敛 例例1.1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则由题设收敛收敛收敛 例2. 判别下列级数的敛散性:提示提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散, 利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数因 n 充分大时∴原级数发散 . 用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛 .时发散.发散,收敛, 例3. 设正项级数和也收敛 .提示提示: 因存在 N > 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n >N 时 例4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取 例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;p≤0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .故 因单调递减, 且但所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛 ; 因所以原级数绝对收敛 . 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论• 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .例7. 求下列级数的敛散区间: 解解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛区间为 解解: 因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0, 级数发散; • 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和• 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等• 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内）• 数项级数 求和 例例1. 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为 法法2先求出收敛区间则设和函数为 例2.解解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x≠0求下列幂级数的和函数：级数发散, 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有x = 1 时, 级数也收敛 . 即得 例例3:解解: 原式=的和 .求级数 因此由和函数的连续性得:而及 例例8.解解: 设则 四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法• 直接展开法• 间接展开法例题例题:1. 将函数展开成 x 的幂级数.— 利用已知展式的函数及幂级数性质— 利用泰勒公式解解:1. 函数的幂级数展开法 2. 将在x = 0处展为幂级数.解解:因此 3. 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 )解解:于是并求级数 五、五、 函数的付式级数展开法函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法上的表达式为将其展为傅氏级数 .例题1. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示 思考思考: 如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示提示: 。