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第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 重积分的应用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V . 解解: 曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D )在点例例1. 求曲面例例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且例例3. 计算双曲抛物面被柱面所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .
