分段低次插值

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1、第二章 插值与拟合2.2 分段低次插值分段低次插值2.2.3 分段三次分段三次Hermite插值插值2.2.2 分段线性插值分段线性插值2.2.1 多项式插值的问题多项式插值的问题第二章 插值与拟合2.2 分段低次插值分段低次插值学习目标：学习目标： 掌握分段低次插值的意义及方法。掌握分段低次插值的意义及方法。第二章 插值与拟合用插值多项式近似被插函数时，并不是插值多项式的次数越多越好。用插值多项式近似被插函数时，并不是插值多项式的次数越多越好。下面是说明这种现象的一个典型例子。下面是说明这种现象的一个典型例子。当当n=10时，时，10次插值多项式次插值多项式以及函数以及函数的的图形如图图形如

2、图2-1。由。由此可见，此可见，在在区间区间-5，5的两端的两端的的截断误差截断误差取取等距插值节点等距插值节点构造构造n次次Lagrange插值插值例例2.7 给定函数给定函数2.2.1 多项式插值的问题多项式插值的问题第二章 插值与拟合非常大。例如，非常大。例如， 而而 。这种现象称。这种现象称Runge 现象现象。不管不管n取多大，取多大，Runge 现象依然存在。现象依然存在。yx-550实线实线虚线虚线图图2-11第二章 插值与拟合因此因此，对函数作插值多项式时，必须小心处理，不能认为插值节点取，对函数作插值多项式时，必须小心处理，不能认为插值节点取得越多，插值余项就越小。得越多，插

3、值余项就越小。此外，当节点增多时，舍入误差的影响不此外，当节点增多时，舍入误差的影响不能低估。为了克服高次插值的不足，采用分段插值理论将是理论和实能低估。为了克服高次插值的不足，采用分段插值理论将是理论和实际应用的一个良好的插值方法。际应用的一个良好的插值方法。 分段线性插值就是通过相邻两个插值点作线性插值来构成的。分段线性插值就是通过相邻两个插值点作线性插值来构成的。设已知节点设已知节点2.2.2 分段线性插值分段线性插值上的上的插值函数值插值函数值记记若若函数函数满足条件：满足条件：（3）在每个小区间）在每个小区间上，上，是是线性多项式。线性多项式。则称则称为为分段线性插值函数。第二章 插

4、值与拟合分段线性插值函数分段线性插值函数的的几何意义是通过几何意义是通过n+1个点个点的的折线折线.在每个小区间在每个小区间上上,的的表示式为表示式为(2.2.1)上上,的表示式为的表示式为(2.2.2)若用插值基函数表示若用插值基函数表示,则在整个区间则在整个区间插值基函数插值基函数的的形式为形式为(2.2.3)第二章 插值与拟合定理定理2.3 如果如果记记则对则对任意任意分段线性分段线性 插值函数插值函数有余项估计有余项估计 （2.2.4）其中其中,当当时时,没有第一式没有第一式,当当时时,没有第二式没有第二式.显显然然,分段线性插值基函分段线性插值基函数数只在只在的的附近不为零附近不为零

5、,在其他地在其他地方方分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的余项来分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的余项来估计估计.均为零均为零,这种性质称为局部非零性这种性质称为局部非零性.证明证明 根据（根据（2.1.10），在每个小区间），在每个小区间上有上有第二章 插值与拟合 因此，在整个区间因此，在整个区间 上有上有该定理也说明分段线性插值函数该定理也说明分段线性插值函数 具有一致收敛性。具有一致收敛性。 例例2.8 对平方根表作线性插值，已知对平方根表作线性插值，已知 ，步，步长长 。试给出按插值方法求出的。试给出按插值方法求出的 的误差界，并估计有的误差界，并估计有效数字的位

6、数，假定表上给出的函数值足够精确。效数字的位数，假定表上给出的函数值足够精确。（1）当）当 时，时，分两段讨论分两段讨论 。解解 令令 则由（则由（2.2.4）知）知截断误差截断误差第二章 插值与拟合由于由于 故故 可以具有可以具有3位有效数字。位有效数字。由于由于 ， 故故 可以具有可以具有6位有效数字。位有效数字。（2）当）当 时，时， 2.2.3 分段三次分段三次Hermite插值插值分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光滑分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光滑的，它在节点处的左右导数不相等。为了克服这个缺陷，一个的，它在节点处的左右导数不相等。为了克服这个缺陷，一

7、个自然的想法是添加一阶导数的插值条件。自然的想法是添加一阶导数的插值条件。第二章 插值与拟合 设已给节点设已给节点 上的函数值和导数值上的函数值和导数值记记 如果函数如果函数 满足条件：满足条件： (3)在每个小区间在每个小区间 上，上， 是三次多项式。是三次多项式。 则称则称 为为分段三次分段三次Hermite插值函数插值函数。 显然，在每个小区间显然，在每个小区间 上，上， 的的表示式为（表示式为（2.1.38）。可以直接用它进行数值计算。）。可以直接用它进行数值计算。若用插值基函数表示，则在整个区间若用插值基函数表示，则在整个区间 上，上， 的表示式的表示式为为 插值基函数插值基函数 和

8、和 的形式分别为的形式分别为(2.2.5)第二章 插值与拟合(2.2.6)(2.2.7)其中，当其中，当 i=0时，上述两个分段函数没有第一式，当时，上述两个分段函数没有第一式，当i=n时上述时上述两个分段函数没有第二式。显然，（两个分段函数没有第二式。显然，（2.2.6）和（）和（2.2.7）具有局部非）具有局部非零性质，这种性质使得（零性质，这种性质使得（2.2.5）也可写成分段表示式（）也可写成分段表示式（2.1.38）的）的形式。形式。第二章 插值与拟合分段三次分段三次Hermite插值函数的余项可以通过前面三次插值函数的余项可以通过前面三次Hermite插值多项式的余项来估计。插值多项式的余项来估计。定理定理2.4 如果如果记记则对任意则对任意分段三次分段三次Hermite插值函数插值函数 有余项估计有余项估计（2.2.8）证明证明 根据（根据（2.1.39），在每个小区间），在每个小区间上有上有 因此，在整个区间因此，在整个区间 上有（上有（2.2.8）。）。 该定理除了可以用于误差估计外，还说明分段三次该定理除了可以用于误差估计外，还说明分段三次Hermite插值函插值函数具有一致收敛性。数具有一致收敛性。