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1、12.3.1 等腰三角形等腰三角形 学习 目标1.等腰三角形及其相关概念 。 2.等腰三角形的性质 。3.等腰三角形的概念及性质的应用 。 创设情境创设情境 创设情境创设情境下载图片 创设情境创设情境等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗?有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形。A AB BC C腰腰腰腰底边底边底角底角顶顶角角相等的两条边AB和AC叫做腰腰;另一条边BC叫做底边底边;两腰所夹的角BAC叫做顶角顶角;底边与腰的夹角ABC和ACB叫做底角底角.如图，ABC中,AB=AC，那么ABC就是等腰三角形。只有等腰三角形才有底角和底边只有等腰三角形才有底角和底边.ABCD如图如图:在三
2、角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？三角形？ABC（AB=AC），），ADB（AD=BD）若将若将条件改为条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？则有多少个等腰三角形？ABC（AB=AC）ADB（AD=BD）BDC （BD=BC）材料材料: 剪刀、一张矩形纸方法方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开。大胆猜测大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形纸片,它除了两腰相等以外,你还能发现什么?ABC 如果一个图形沿如果一个
3、图形沿一条直直线线折叠折叠,直线两旁的部分能够直线两旁的部分能够互相重合互相重合,我们就说我们就说这个图形这个图形关于这条直线对称关于这条直线对称,那么这个那么这个图形就叫图形就叫轴对称图形轴对称图形,这条直这条直线叫线叫对称轴对称轴.互相重合的点是互相重合的点是对应点对应点,叫做叫做对称点对称点.返回设问：你发现了什么现象，设问：你发现了什么现象， 猜想等腰猜想等腰ABC有哪些性质？有哪些性质？ 角角: B = C BAD=CDA ADC= ADB=900边边: BD = CD 两个底角相等两个底角相等 AD为顶角为顶角BAC的平分线的平分线 AD为底边为底边BC上的高上的高 AD为底边为底
4、边BC上的中线上的中线结论: 等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形性质等腰三角形性质性质性质1 等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等（简写成（简写成“等边对等角等边对等角”）；）；性质性质2 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中底边上的中线、底边上的高线、底边上的高互相重合。（可简记为互相重合。（可简记为“三线三线合一合一”）证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线AD. 在在BAD和和CAD中，中，AB=AC ( 已知已知 ), 1= 2 ( 辅助线作法辅助线作法 )，AD=AD (公共边公共边) , BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应
5、角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求证：求证： B= C.ABC1 2证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线作顶角的平分线D证明：证明： 作底边中线作底边中线AD. 在在BAD和和CAD中，中，AB=AC ( 已知已知 ),BD=CD ( 辅助线作法辅助线作法 )，AD=AD (公共边公共边) , BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求证：求证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作底
6、边中线作底边中线证明：证明： 作底边高线作底边高线AD. AB=AC ( 已知已知 ),AD=AD (公共边公共边) , Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求证：求证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线作底边的高线在在RtBAD和和RtCAD中，中，等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三（
7、等腰三角形三线合一）角形三线合一）例例1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC，且且B=80 ，则则C= _度，度，A=_度？度？AB=AC（已知）已知）B=C（等边对等角）等边对等角）B=80 （已知）已知）C=80又又A+B+C=180 （三角形内角和为三角形内角和为180 ）A=180 BCA=20BCA等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）操练操练操练操练1 1 在三角形在三角形ABC中，已知
8、中，已知AB=AC，且且 A=50 ，则则B=度，度，C=度？度？CBAAB=AC（已知）已知）B=C（等边对等角）等边对等角）又又A+B+C=180 （三角形内角和为三角形内角和为180 ）A=50 （已知）已知）B=65 C=65课堂练习课堂练习 练习练习3如图如图，ABC 中，中，AB = =AC，点，点D 在在AC 上，上， 且且BD = =BC = =AD求求ABC 各角的度数各角的度数ABCD 小结归纳小结归纳1 1等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂等腰三角形
9、顶角的平分线平分底边并且垂直于底边直于底边. 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中底边上的中线线、底边上的高底边上的高互相重合互相重合.“三线合一三线合一” 随堂练习随堂练习1.判断下列语句是否正确。判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（合。（ ）（2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60. （ ）（3）等腰三角形的底角都是锐角）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）3等腰三角形
10、一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A30 B150 C30或150 D1201ABC中，AB=AC，A=70，则B=_ 2等腰三角形一底角的外角为105，那么它的顶角为_度 C55 30 随堂练习随堂练习2. 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已知已知BD=2cm,求求DC=_cm, BC=_cm？CBDA12 AB=AC ,AD BC（已知）已知）BD=CD（等腰三角形的高与等腰三角形的高与底边上的中线重合）底边上的中线重合）即（等腰三角形三线合一）即（等腰三角形三线合一）BD=2cm（已知）已知）CD=2cm 随堂练习随堂练习3.已知
11、已知AD BC,试找出等腰三角形试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。中，存在相等关系的量。CBDA1 2B=C1=2BDA=CDA=90BD=CD1（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A 8 B 7 C 4 D 3 中考链接中考链接1 12 (2010宁波) 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 AB 当堂测试当堂测试等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7070, ,它的顶角为它的顶角为_._.等腰三
12、角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角为它的另外两个角为_._. 顶角顶角+2+2底角底角=180=180 顶角顶角=180=1802 2底角底角 底角底角= =（180180顶角）顶角）2 20 0顶角顶角18018000底角底角9090结论结论: :在等腰三角形中在等腰三角形中,40 35 ，35 70,40或或55,55 4. 4. 根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质, ,在在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC时，时， (1) (1) ADBC，_ = _，_
13、= _. (2) (2) AD是中线，是中线，_ _ ，_ =_._ =_.(3) (3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ ，_ =_.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD 当堂测试当堂测试5. 如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的的中点，中点，则点则点D到到AB，AC的距离相等。请说明理由。的距离相等。请说明理由。AEFB D C 当堂测试当堂测试解：相等，理由如下：解：相等，理由如下：连接连接AD在在ABC中，中，AB=AC，D为为C中点中点AD平分平分BACDEAB，DFACDE=DF 小结归纳小结归纳2 2通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？性质性质1：等边对等角：等边对等角性质性质2：“三线合一三线合一”常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线 等等 腰腰 三三 角角 形形
