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1、王 培 荣 Monday, September 2, 2024教学要求1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌握单元体最大剪应力计算方法。2.掌握广义胡克定律及其应用。3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状改变比能和体积改变比能的一些主要结论和公式。75 三向应力状态 s szs sxs syt txyt tyx至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知s syt txyt tyxs sxs sz三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形s s1s s2s s3200503005030050*76位移与应变分量 自 学*77 平面应变分析 n当构件内某点处的变形均
2、平行于某一平面时，则称该点处于平面应变状态。一、任意方位的应变分析研究正应变研究剪应变二、应变圆Rc应力圆应变圆CR三、最大应变与主应变 四、通常采用测定一点处沿a、b、c三个方向的线应变的方法，来确定该点处的主应变l、2及其方向。a、b、cx、y、xy1、278 广义胡克定律 1 单向应力状态的虎克定律单向应力状态的虎克定律 轴向拉伸轴向拉伸或压缩时或压缩时 或或由于轴向变形还由于轴向变形还引起横向变形引起横向变形 2 2 纯剪切剪切应力状力状态的虎克定律的虎克定律 或或 一、广义胡克定律一般情况一般情况下，描述下，描述一点处的一点处的应力状态应力状态需要九个需要九个应力分量应力分量 3 3
3、复复杂应力状力状态的广的广义虎克定律虎克定律 在在小小变变形形及及线线弹弹性性范范围围内内，线线应应变变只与正应力有关，而与剪应力无关；只与正应力有关，而与剪应力无关；剪剪应应变变只只与与剪剪应应力力有有关关，而而与与正正应应力无关，满足应用叠加原理的条件。力无关，满足应用叠加原理的条件。所所以以，我我们们利利用用单单向向应应力力状状态态和和纯纯剪剪切切应应力力状状态态的的虎虎克克定定律律，分分别别求求出各应力分量相对应的应变，出各应力分量相对应的应变，然后，再进行叠加。然后，再进行叠加。 正应力分量在不同方向对应的应变正应力分量在不同方向对应的应变 得出得出 、 和和 方向的线应变表达式为方
4、向的线应变表达式为 根据剪切虎克定律，在根据剪切虎克定律，在 、 和和 三个面内的三个面内的 剪应变分别为剪应变分别为 三、三个弹性常数之间的关系三、三个弹性常数之间的关系4 4 主主单元体元体时的广的广义虎克定律虎克定律 当单元体为主单元体时，且使 、 和 的方向分别与 、 和 的方向一致。这时 二、体积应变及应力的关系 1体积应变体积应变 变形前单元体的体积为变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为变形后，三个棱边的长度变为 由于是单元体，变形后三个棱边仍互相由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为垂直，所以，变形后的体积为 于是，单元体单位体积的改变于是，单元
5、体单位体积的改变 2体积应变与应力的关系体积应变与应力的关系 称为体积弹性模量称为体积弹性模量体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为体积虎克定律。平均应力成正比，称为体积虎克定律。 是三个主应力的平均值是三个主应力的平均值 例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线成-45o方向正应变-45o，试求力偶矩m之值。材料的弹性常数E、均为已知。此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的大小，有
6、时采用实验方法。测得轴上某个方向的正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。n n 解题思路：寻找已知量-45o和未知量m间的联系。n1.本题已知正应变-45o,通过广义胡克定律可将正应变-45o和正应力-45o (45o)联系起来。n2.再通过应力状态分析，找到正应力-45o (45o)和横截面上的剪应力的关系。n3.而是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力偶矩m的大小。解:由此得由圆轴扭转应力公式:所以例例 边长为边长为10mm的铝质方块，紧密无隙的铝质方块，紧密无隙地嵌入一个深度和宽度都是地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽的钢槽中，如图所示。当铝块受到中，如图所示。当铝块受到P=60MPa
7、的作的作用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量E=70GPa，v=0.3.求铝块的三个主应力、求铝块的三个主应力、三个主应变。三个主应变。101010Pyxz 解解：（1）求主应力及主应变）求主应力及主应变 铝块在压力铝块在压力P作用下，上、下两个面及作用下，上、下两个面及y面面上受到压应力为上受到压应力为 铝块在前、后两个面不受约束，在铝块在前、后两个面不受约束，在P的的作用下，作用下，z方向的变形是自由的，所以方向的变形是自由的，所以 铝块在左、右两个面上，由于是刚体，所以铝块在左、右两个面上，由于是刚体，所以铝块在左、右两个面上，由于是刚体，所以铝块在左、右
8、两个面上，由于是刚体，所以在在在在P P力作用下，力作用下，力作用下，力作用下，x x方向受到约束力不能变形，故方向受到约束力不能变形，故方向受到约束力不能变形，故方向受到约束力不能变形，故由由由由广义胡克定律及上述可得广义胡克定律及上述可得广义胡克定律及上述可得广义胡克定律及上述可得所以所以所以所以因此因此因此因此主应变由下式求出主应变由下式求出例例 壁厚壁厚t=10mm、外径外径D=60mm的圆筒，在的圆筒，在表面上表面上k点与其轴线成点与其轴线成45度角和度角和135度角，度角，x、y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外力矩力矩m的作用，发生扭转变
9、形，如图所示。已的作用，发生扭转变形，如图所示。已知圆筒材料的弹性模量为知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa，v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且若该圆筒的变形在弹性范围内，且k点横截面点横截面上的剪应力为上的剪应力为 =80MPa，试求圆筒试求圆筒k点处的点处的线应变线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。及变形后的筒壁厚度。解解: (1)求求 x、 y 取单元体如（取单元体如（b）所示。易知所示。易知k点处于纯剪切点处于纯剪切状态。对状态。对k点进行应力状态分析知，在点进行应力状态分析知，在45度和度和135度方向上分别作用着度方向上分别作用着 3和和 1 ，且，且 于是由广义胡克定律
10、知：于是由广义胡克定律知：（2）求变形后的筒壁厚度）求变形后的筒壁厚度由于由于k点处的径向方向即为点处的径向方向即为z方向，且方向，且 z= 2=0，所以所以薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点都处在纯剪切应力状态。用类似方法都处在纯剪切应力状态。用类似方法可推知筒壁中任一点处（该点到圆心可推知筒壁中任一点处（该点到圆心的距离为的距离为 ）的径向应变为）的径向应变为 因此，该薄壁圆筒变形后因此，该薄壁圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为的厚度并无变化，仍然为t=10mm.79 复杂应力状态的应变密度 1、微元应变能、微元应变能(Strain Energy)dydxdz变
11、形变形(应变应变)比能比能dW=2、应变比能、应变比能(Strain-Energy Density)3、体积改变比能与形状改变比能、体积改变比能与形状改变比能+: Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion: Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume作作 业业n719（a）、（b）n726n728 例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为刚性的立方孔（立方孔的宽度正好是10mm），若立方体的上表面受到均布压力 P=150 MPa。试求列各种情况时钢
12、质立方体中的三个主应力。设钢材的弹性模量E=200GPa,泊松比=0.3。解：一、横向变形与泊松比一、横向变形与泊松比对于各向同性材料对于各向同性材料-泊松比泊松比二、三向应力状态的广义胡克定律二、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法yzx三、三个弹性常数之间的关系三、三个弹性常数之间的关系第六节第六节 复杂应力状态的应变比能复杂应力状态的应变比能 在在轴轴向向拉拉伸伸或或压压缩缩时时，根根据据外外力力功功和和应应变变能能在在数数值值上上相相等等的的关关系系，导导出比能的计算公式为出比能的计算公式为 本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能 在此情
13、况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。 （1）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性
14、体内将增加能量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。 （2）应应变变能能的的计计算算不不能能采采用用叠叠加加原原理理 这这是是因因为为应应变变能能与与载载荷荷不不是是线线性性关关系系，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。一、应变比能一、应变比能假定应力按假定应力按 ： ： 的比例同时从零增加至最终值，的比例同时从零增加至最终值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按
15、计计算，于是，复杂应力状态下的比能是算，于是，复杂应力状态下的比能是 二、体积改变比能和形状改变比能二、体积改变比能和形状改变比能对对于于单单元元体体的的应应变变能能 也也可可认认为为是是由由以以下下两两部部分分组组成成：因因体体积积改改变变而而储储存存的的比比能能 。称称作作体体积积改改变变比比能能。体体积积不不变变，只只因因形形状改变而储存的比能状改变而储存的比能 。称作形状改变比能（或歪形能）。称作形状改变比能（或歪形能）对对于于图图所所示示的的应应力力状状态态（只只发发生生体体积积改改变变），将将平平均均应应力力 代代入入公式，得到单元体的体积改变比能为公式，得到单元体的体积改变比能为 根据根据 考虑特殊情况，在单向应力状态下（例如，考虑特殊情况，在单向应力状态下（例如， ， ），），单元体的形状改变比能为单元体的形状改变比能为
