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1、第十节第十节 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学本节要点本节要点 本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶导函数的符号去讨论函数的极值情况导函数的符号去讨论函数的极值情况.一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、函数的最大值、最小值及其求法二、函数的最大值、最小值及其求法三、应用三、应用定义定义 设函数设函数 在点在点 的某个邻域的某个邻域 内有定内有定义，如果对任意的义，如果对任意的 有有 或或则称则称 是函数是函数 的一个的一个极大值（极大值（极小值极小值）, 点点 是是 的
2、一个的一个极大值点（极大值点（极小值点极小值点）；极大值和极极大值和极小值通称为小值通称为极值极值；极大值点和极小值点通称为极大值点和极小值点通称为极值点极值点.一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最大（小）值，或称为相对最大（小）值。大（小）值，或称为相对最大（小）值。极小值极小值极大值极大值 在本章的第五节中，费马定理指出在本章的第五节中，费马定理指出: 如果函数如果函数可导，并且点可导，并且点 是它的极值点，那么点是它的极值点，那么点 是它的驻是它的驻点，即点，即 ，但是函数的驻点未必是它的
3、极值点，但是函数的驻点未必是它的极值点.例如函数例如函数 但但 不是函数的极不是函数的极值点值点. 如果函数如果函数 在在 处不可导，则处不可导，则 也有可能是它也有可能是它的极值点，例如的极值点，例如 在在 处不可导，但处不可导，但 是极小值点。是极小值点。可见，函数的极值点是函数的驻点或不可导点，反之不然可见，函数的极值点是函数的驻点或不可导点，反之不然.函数的驻点和不可导点称为函数的驻点和不可导点称为可疑极值点可疑极值点。定理定理1（判断法一，第一充分条件判断法一，第一充分条件） 设函数设函数 在点在点 处连续，在处连续，在 处的某个去心邻域处的某个去心邻域 内可导；内可导；若若 时，时
4、， 而而 时时 则则 在点在点 处取处取极大值极大值；（左升右降）（左升右降）若若 时，时， 而而时时 则则 在点在点 处取处取极小值极小值；（左降右升）（左降右升）若在若在 的两侧，的两侧， 的是异号的，则的是异号的，则 是极值是极值，即，即 (3)若若 时，时， 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是的极值点的极值点.情形情形 1情形情形 2情形情形 3 根据上面的定理，若函数根据上面的定理，若函数 在定义域内连续，且在定义域内连续，且至多除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤至多除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤求出函数的极值求出函数的极值: 求出导函数求出导函数 进而求出进
5、而求出 的全部驻点和不的全部驻点和不可导点；可导点； 根据导数根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻在每个驻点和不可导点的左、右邻近近是否变号，确定该点是否为极值点是否变号，确定该点是否为极值点，如果是极值点，如果是极值点，进一步确定确定是极大值还是极小值进一步确定确定是极大值还是极小值. 在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值. 函数在函数在 处取极小值，极小值为处取极小值，极小值为例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解 所以函数在所以函数在 处取极大值，极大值为处取极大值，极大值为 例例2 求函数求函数 的极值。的极值。解解 在上节中，我们
6、知道函数在上节中，我们知道函数 在在 中连续，在中连续，在 中可导，且中可导，且no 可见可见 是函数的极大值；是函数的极大值； 是函数的极小值是函数的极小值.极小值极小值极大值极大值例例3 求函数求函数 的极值的极值.解解 函数在函数在 处取极小值，极小值为处取极小值，极小值为可见可见 不是极值点，不是极值点， 也不是极值点，也不是极值点，若若 ，则，则 在点在点 处取极大值；处取极大值；定理定理2（判断法二，第二充分条件判断法二，第二充分条件） 设函数设函数 在点在点 处二阶可导，且处二阶可导，且 .若若 ，则，则 在点在点 处取极小值处取极小值.仅证仅证 (1)由极限保号性，在由极限保号
7、性，在 的一个去心邻域的一个去心邻域 内，内， 即即由定理由定理1知，知， 在在 处取得极大值。处取得极大值。所以所以 是极小值点；是极小值点；例例 函数函数 ，将驻点将驻点 ，代入，代入 计算，得计算，得有驻点有驻点 ，不可导点，不可导点 .对于对于 只能用定理只能用定理1判别判别,经判别知经判别知 是极大值点是极大值点.二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题 在上一目中我们讨论了函数的极值及求法，在这一目在上一目中我们讨论了函数的极值及求法，在这一目中我们讨论函数在区间内的最大值和最小值及相应的求中我们讨论函数在区间内的最大值和最小值及相应的求法法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小
8、值定理，我们由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，我们知道若函数在闭区间知道若函数在闭区间 上连续上连续, 则函数一定可以取到则函数一定可以取到最大值和最小值最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法但并没有给出具体的方法. 这里我们这里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法.在应用问题中在应用问题中, 如果归结为求如果归结为求 在区间在区间 上的最大值上的最大值或最小值或最小值, 则通常称则通常称 为为目标函数目标函数, 称称 为为约束集约束集. 设函数设函数 在区间在区间 上连续上连续, 至多除个别点外处处至多除个别点外处处可导可导,（1）求）
9、求 在在 内得驻点及不可导点；内得驻点及不可导点； （不需要讨论它们是否为极值点）（不需要讨论它们是否为极值点）（2）求出）求出驻点驻点、不可导点不可导点以及以及端点端点 处的函数值；处的函数值；（3）将上述函数值比较后得出最大值和最小值。）将上述函数值比较后得出最大值和最小值。求函数在区间求函数在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.情形情形 1例例4 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值和上的最大值和最小值。最小值。解解 显然函数显然函数 在所给区间上连续，可导。又在所给区间上连续，可导。又所以所以 即函数在区间有唯一的驻点。即函数在区间有唯一的驻点。且比较：且比较：故故 是最小值
10、，是最小值， 是最大值。是最大值。 情形情形 2 设函数设函数 在区间在区间 (开或闭开或闭, 有限或无限有限或无限)内可导内可导且在且在 内只有一个驻点内只有一个驻点 . (1) 若对若对 内的任意内的任意 , 当当 时时, ,而当而当 时时, , 则则 为为 在在 内的最大值内的最大值; (2) 若对若对 内的任意内的任意 , 当当 时时, ,而当而当 时时, , 则则 为为 在在 内的最小值内的最小值. 唯一驻点情形的图示唯一驻点情形的图示:“单峰单峰”: 成为成为 在整个在整个区间区间 上的最大值上的最大值.“单谷单谷”: 成为成为 在整个在整个区间区间 上的最小值上的最小值.例例6
11、设设 是两个正数，满足条件是两个正数，满足条件 （常数），（常数），求求 的最大值，其中的最大值，其中 解解 设设 由题意，需求由题意，需求 在开区间在开区间 中的最大值。中的最大值。可见可见 是函数是函数 在区间在区间 内唯一驻点。内唯一驻点。所以函数在点所以函数在点 处取得最大值。最大值为处取得最大值。最大值为(“单峰单峰”情形情形)NB 本题当本题当 m=n=1 时时, 即得大家熟知的结果即得大家熟知的结果:和为定数的两个正数和为定数的两个正数, 当它们相等时其乘积最大当它们相等时其乘积最大.*例例7 设抛物线设抛物线 上在点上在点 处的法线交该处的法线交该抛物线的另一点抛物线的另一点
12、，求线段，求线段 的最短距离的最短距离 。解解 设设 ，则，则 的斜率为的斜率为 ，因因 点的切线斜率为点的切线斜率为 ，故，故 点的法线斜率点的法线斜率 ，且线段且线段 的长度为的长度为设目标函数设目标函数且且故故 在在 处取得最小值，所以所求最短距离为处取得最小值，所以所求最短距离为情形情形 3 在很多实际问题中在很多实际问题中, 由问题的性质可以判断函数由问题的性质可以判断函数 在其定义域在其定义域 的内部确有最大值或最小值的内部确有最大值或最小值, 而而 在在 内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点 , 那么可不用判定那么可不用判定 是极大值点或极小值点是极大值点或极小值点, 就能断定就能断
13、定 必是所求必是所求 的最大值或最小值的最大值或最小值.例例8 将边长为将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如的正三角形剪去三个全等的四边形（如图所示）然后将其折起，做成一个无盖的正三棱柱盒图所示）然后将其折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的子，当图中的 取何值时，该盒子的容积最大？取何值时，该盒子的容积最大？解解 盒子的高为盒子的高为 底面面积为底面面积为故相应的体积为故相应的体积为求导后并令其为零，即求导后并令其为零，即当当 时，该盒子的容积最大。时，该盒子的容积最大。在在 内得唯一驻点内得唯一驻点 ， 又又, 由本问题的实际由本问题的实际意义可知意义可知, 盒子的最大容积是必然存在的盒子的最大容积是必然存在的, 且最大值点且最大值点必位于开区间必位于开区间 的内部的内部, 于是立即可得结论于是立即可得结论:自学例题自学例题例例10 在一块边长为在一块边长为a的正方形的正方形纸板上截去四角相等的小方板上截去四角相等的小方块， 然后折叠成一个无盖然后折叠成一个无盖纸盒，盒，问截去的小方截去的小方块的的边长为多少多少时，纸盒的容盒的容积最大？最大？自学例题自学例题解解 要使用料最省，即要圆桶的全面积最小圆桶的全面积为要使用料最省，即要圆桶的全面积最小圆桶的全面积为
