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1、切线的性质和判定切线的性质和判定 下雨天下雨天转动雨雨伞时飞出的水，以及在砂出的水，以及在砂轮上打磨工件上打磨工件飞出的火星，出的火星，均沿着均沿着圆的切的切线的方向的方向飞出出 1 当你在下雨天快速当你在下雨天快速转动雨雨伞时水水飞出的方向是什出的方向是什么方向？么方向？22砂砂轮打磨零件打磨零件飞出火星的方向是什么方向？出火星的方向是什么方向？情景导入想一想过圆过圆0 0 0 0内一点作直内一点作直内一点作直内一点作直线线，这这条直条直条直条直线线与与与与圆圆有什么位置关系？有什么位置关系？有什么位置关系？有什么位置关系？过过半径半径半径半径OAOAOAOA上一点（上一点（上一点（上一点（
2、A A A A除除除除外）能作外）能作外）能作外）能作圆圆O O O O的切的切的切的切线吗线吗？过过点点点点A A A A呢？呢？呢？呢？OOr rl l A A经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。 条件：(1)经过半径的外端；圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径； OAllOA，且l 经过O上 的A A点直线l是O的切线符号语言表达说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理辨析判 断1. 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外
3、端的直线是圆的切线（ ）2. 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（ ）3. 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A1 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的切线；的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的到圆心的距离等于半径距离等于半径的直线是圆的的直线是圆的切线；切线；(3)(3)过半径外端点且和半径垂直的过半径外端点且和半径垂直的直线直线是圆的切线；是圆的切线；
4、(d=r)(d=r)归纳：例1 直线直线ABAB经过经过 OO上的点上的点C,C,并且并且OA=OB,CA=CB,OA=OB,CA=CB, 求证求证: :直线直线ABAB是是 OO的切线的切线. .证明: 连接OCOA=OB, CA=CBOA=OB, CA=CBOABOAB是等腰三角形是等腰三角形,OC,OC 是底边是底边ABAB上的中线上的中线OCOCABABABAB是是 OO的切线的切线OCBA这种种证明方法明方法简记为：“证切切线，连半径，半径，证垂垂直垂垂直”注意：使用此方法时必须已使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点。知直线与圆有一公共点。练习1、如图4，AB是O的直径，ABC=4
5、5，AC=AB，AC是O的切线吗？为什么？ BACO解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即ABAC AB是 O的直径 AC是 O的切线变式练习练习2、如图:线段AB经过圆心O，交 O于点A、C，BAD=B = 30，边BD交圆于点D。BD是 O的切线吗？为什么？ AOBCD解：BD是 O的切线连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即： ODDB BD是 O的切线变式练习证明：明：连结OPOP。ABAB为直径直径OB=OAOB=OA，BP=PCBP=PC，OPACOPAC。又又PEACPEAC， PEOPPEOP。PEPE为 0 0
6、的切的切线。练习3,ABC3,ABC中，以中，以ABAB为直径的直径的 O O，交，交边BCBC于于P P， BP=PC,PEACBP=PC,PEAC于于E E。 求求证:PE:PE是是 O O的切的切线。OOA AB BC CE EP P变式练习例2 2: : : :已知：已知：O O O O为为BACBACBACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODABODABODAB于于D,D,D,D,以以O O O O为圆心，为圆心，ODODODOD为为 半径作半径作O O O O。求证：求证：O O O O与与ACACACAC相切。相切。OOA AB BC CE ED D证明：明：过O O作
7、作OEACOEAC于于E E。AOAO平分平分BACBAC，ODABODABOEOEODODODOD是是 O O的半径的半径ACAC是是 O O的切的切线。小 结例例1 1与例与例2 2的的证法有何不同法有何不同? ?(1)(1)如果已知直如果已知直线经过圆上一点上一点, ,则连结这点和点和圆心心, ,得到得到辅助半助半径径, ,再再证所作半径与所作半径与这直直线垂直。垂直。简记为：连半径半径, ,证垂直垂直。(2)(2)如果已知条件中不知直如果已知条件中不知直线与与圆是否有公共点是否有公共点, ,则过圆心作直心作直线的垂的垂线段段为辅助助线, ,再再证垂垂线段段长等于半径等于半径长。简记为：
8、作垂直作垂直, ,证半径半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED D.OOA AL L 如图：如果直线如图：如果直线L L是是 OO的切的切线线, ,切点为切点为A,A,那么半径那么半径OAOA与直与直线线L L是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢? ?一定垂直一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径直直线L是是 O的切的切线，A是切点。是切点。 LOA于于A点点简记为：简记为：“知切线，连半径，得垂直知切线，连半径，得垂直”探索切线性质探索切线性质假设假设ABAB与与CDCD不垂直不垂直, ,过点过点O O作一条直径垂直于作一条直径垂直于CD,CD,垂足为垂足为M,M
9、,则则OMOA,OMOA,即圆心到直线即圆心到直线CDCD的距离的距离小于小于O O的半径的半径, ,因此因此,CD,CD与与O O相相交交. .这与已知条件这与已知条件“直线与直线与O O相相切切”相矛盾相矛盾. .CDBOA所以所以ABAB与与CDCD垂直垂直. .M例3如图，AB是 O的直径, C为 O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分 DABAODCB证明：连接OCCD 是 O的切线，OCCD.又ADCD , OC/AD.ACO CAD .又OC=OD, CAO ACO CAD CAO ,故AC平分DAB1， 如图：AC是 O的切线，B=600。求CAD=B
10、ACODAOCB 2，如图：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。 已知如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， O与腰AB相切于点D。AC与 O相切吗？为什么?E解：AC与 O相切 连接OD,作OEAC OEC=900 AB是 O的切线ODAB, ODB=900=OEC AB=AC B=C O是BC的中点OB=OC OBDOCE OD=OE AC与 O相切课堂小结1. 1. 判定切线的方法有哪些？直直线l 与与圆有唯一公共点有唯一公共点与与圆心的距离等于心的距离等于圆的半径的半径经过半径外端且垂直半径外端且垂直这条半径条半径l是是圆的切的切线2.
11、 2. 常用的添辅助线方法？直直线与与圆的公共点已知的公共点已知时，作出，作出过公共点的半径，公共点的半径，再再证半径垂直于半径垂直于该直直线。（。（连半径，半径，证垂直垂直）直直线与与圆的公共点不确定的公共点不确定时，过圆心作直心作直线的垂的垂线段，再段，再证明明这条垂条垂线段等于段等于圆的半径。（的半径。（作垂直，作垂直，证半径半径）l是是圆的切的切线l是是圆的切的切线3. 3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。1.切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3
12、.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质、可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.总结： 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 210x + 16 = 0 的两根，求 E 的半径 r .F解解：连接EFx 210x + 16 = 0(X-2)(X-8)=0X1=2 X2=8BC=8 AD=2AB是O的切线EFABABBCEF/BC/ADE是DC的中点 EF是梯形ABCD的中位线
13、EF= (AD+BC)=5切线的性质定理的应用切线的性质定理的应用例例. .已知已知RtABCRtABC的斜边的斜边AB=8cm,AB=8cm,直角边直角边AC=4cm.AC=4cm.以点以点C C为圆心作圆为圆心作圆, ,当半径为多长当半径为多长时时,AB,AB与与C C相切相切解解:(1):(1)过点过点C C作作CDABCDAB于于D.D.AB=8cm,AC=4cm.AB=8cm,AC=4cm.A=60A=60因此因此, ,当半径长为当半径长为 cmcm时时,AB,AB与与C C相切相切. .BACB=30B=30D 练一练练一练1.AB1.AB1.AB1.AB是是是是 O O O O的
14、弦的弦的弦的弦,C,C,C,C是是是是 O O O O外一点外一点外一点外一点,BC,BC,BC,BC是是是是 O O O O的切的切的切的切线线,AB,AB,AB,AB交交交交过过C C C C点的点的点的点的直径于点直径于点直径于点直径于点D,OACD,D,OACD,D,OACD,D,OACD,试试判断判断判断判断BCDBCDBCDBCD的形状的形状的形状的形状, , , ,并并并并说说明你的理由明你的理由明你的理由明你的理由. . . .巩固练习2、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）A、0条 B、 1条 C、 2条 D、 3条D3 3、已知如、已知如图ABCABC内接于内接于 O，过点点A A作直作直线EFEF，ABAB为直直径径, ,还需添加的条件是需添加的条件是. .使得使得EFEF是是 O的切的切线。FECOBAO P1、已知：P为 O外一点，以OP为直径作圆交 O于A、B两点，连接PA、PB那么PA、PB是 O的切线吗？AB你你一一定定能能行行3.AB3.AB是是 O O的直径的直径,AE,AE平分平分BACBAC交交 O O于点于点E,E,过点点E E作作 O O的切的切线交交ACAC的延的延长线于点于点D,D,试判断判断AEDAED的的形状形状, ,并并说明理由明理由. .
