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1、章课时与教学进度第一章第一章 勾股定理勾股定理一、教学目标一、教学目标1、经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角、经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件过程形的条件过程,发展学生的合情推理能力，透形数发展学生的合情推理能力，透形数结合的思想方法。结合的思想方法。2、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。3、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。并能运用它解决一些实际问题。4、通过实例了解勾股定理历
2、史和应用，体会勾、通过实例了解勾股定理历史和应用，体会勾股定理的文化价值。股定理的文化价值。二、教材设计思路二、教材设计思路1、整体设计思路：内容展开的两个方面、整体设计思路：内容展开的两个方面 基础知识勾股定理和逆定理； 基本方法通过计算面积的方法探索勾股定理；用拼图的方法验证勾股定理。2、具体过程、具体过程（1）教材提供了为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的）教材提供了为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间素材和空间试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程。试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程。 利用方格纸计算图形的面积，归纳并检验（度量）得
3、到的猜想； 利用拼图验证勾股定理 ； 利用测量（让学生按已知数据做出三角形，并测量三角形三个内角的度数来）获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。（2）教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理）教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。及其逆定理的应用，体现其文化价值。 限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方完全平方数数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理（称为直角三角形的判别条件）的理解和应用，不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般认识，不追求复杂计算（学习无理数后，再解决涉及无理数的实际问题）。三、教学建议
4、三、教学建议1、注重使学生经历探索勾股定理等的过程、注重使学生经历探索勾股定理等的过程,发展学生的合发展学生的合情推理能力。情推理能力。 2、注重创设丰富的情景使学生体会勾股定理及其逆定理、注重创设丰富的情景使学生体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。的广泛应用。 教师应能创造性地使用教材。 3、尽可能地体现勾股定理的文化价值。、尽可能地体现勾股定理的文化价值。 鼓励学生阅读教科书提供的材料，并自己查阅更多的材料了解与勾股定理有关的历史。 4、注意渗透形数结合的思想方法。、注意渗透形数结合的思想方法。 鼓励学生从代数表示联想到有关几何图形（代数式的几何意义），由几何图形联想到有关的代数表示四、几个
5、具体问题四、几个具体问题 第一节探索勾股定理A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积99181、数方格的方法、数方格的方法 观察图并填写下表：A的面积 （单位面积）B的面积 （单位面积）C的面积 （单位面积）图6-3图6-416 9254913 议一议议一议（1）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（2）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？2、 利用议一议中的问题，体会数形结合的思想利用议一议中的问题，体会数形结合的思想 勾股定理勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边
6、分别为a、b,斜边为斜边为c，那么那么a2 +b2= c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。边的平方。勾股弦算一算86x513x想一想 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的荧幕后，发现荧幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？1、如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断前有多高？2、蚂蚁沿途中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表一厘米）。3、某人骑自行车从A地出发向南行20km到达B地，再向西行21km到达C地。求C
7、、A两地之间的距离是多少？ABCD练一练9米12米3、拼图验证勾股定理的方法、拼图验证勾股定理的方法 做四个全等的直角三角形，看看做四个全等的直角三角形，看看能否得到一个含有以斜边为边长的正能否得到一个含有以斜边为边长的正方形？能利用拼出的图形验证勾股定方形？能利用拼出的图形验证勾股定理吗？理吗？（1 1）如图）如图1 1，学生用四个全等的等腰直角三，学生用四个全等的等腰直角三角形拼成了一个以斜边为边长的正方形，教角形拼成了一个以斜边为边长的正方形，教师引导学生观察、思考正方形与四个直角三师引导学生观察、思考正方形与四个直角三角形的关系，启发学生角形的关系，启发学生 用用“等等 积积”的方法的
8、方法得到：得到： a a c 图1 4s直角三角形直角三角形 = s大正方形大正方形 （2 2）将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边）将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边c c向外翻转得到图向外翻转得到图2 2，由于面积不变，故仍可直，由于面积不变，故仍可直接得出：接得出： s大正方形大正方形 = s小正方形小正方形4s直角三角形直角三角形 aaaaaaaacccc图2（3）学生用四个全等的非等腰直角三角形）学生用四个全等的非等腰直角三角形拼成如图所示的图形，教师引导学生观察、拼成如图所示的图形，教师引导学生观察、思考，仿上题方法利用面积关系可得到思考，仿上题方法利用面积关系可得到： aaaabb
9、bbcc c c图3 s大正方形大正方形 = s小正方形小正方形4s直角三角形直角三角形 （4）学学生生用用四四个个全全等等的的非非等等腰腰直直角角三三角角形形拼拼成成如如图图所所示示的的图图形形，仿仿上上题题方方法法利利用用面面积积关系可得到：关系可得到： s小正方形小正方形4s直角三角形直角三角形= s大正方形大正方形图4a c b4、锐角三角形、钝角三角形的三、锐角三角形、钝角三角形的三边是否也满足这一关系？边是否也满足这一关系？1 1、古埃及人做直角的方法 古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个
10、结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。这是为什么？ 2、直角三角形判别条件、直角三角形判别条件 3、推理格式、推理格式 4、例题的变式、例题的变式5、什么样的数是勾股数、什么样的数是勾股数1、数学上把满足数学上把满足a2 +b2= c2的三个正整的三个正整数，称为勾股数。数，称为勾股数。2、以、以3m，4m，5m为边长的数组只是勾为边长的数组只是勾股数的一类。股数的一类。3、勾股数的规律探索、勾股数的规律探索（1）三边长同时扩大相同的倍数）三边长同时扩大相同的倍数（2）用代数式规律以及推理验证）用代数式规律以及推理验证1、创设问题的方法、创设问题的方法实践性
11、，密切联系生活实际实践性，密切联系生活实际开放性，问题结论或条件的开放开放性，问题结论或条件的开放探究性，可连续深化探究性，可连续深化如：如：14页，页，15页，页，17页，页，18页页2、审题习惯的养成、审题习惯的养成1 1 知知识识目目标标：经经历历用用不不同同拼拼图图方方法法验验证证勾勾股股定定理理的的过过程程，体体会会数数形形结结合合的的思思想想以以及及数数学学知知识识之之间间的的内在联系；内在联系；2 2 能能力力目目标标：通通过过丰丰富富有有趣趣的的拼拼图图活活动动，探探究究勾勾股股定定理理的的证证明明过过程程，进进一一步步体体会会勾勾股股定定理理的的文文化化价价值值，增增强强学学
12、生生探探究究思思维维能能力力、逻逻辑辑推推理理能能力力，发发展展空间观念，发展探索精神和创新意识；空间观念，发展探索精神和创新意识；3 3 情情感感目目标标：培培养养学学生生的的自自主主意意识识和和反反思思能能力力，激激发发学学生生探探究究数数学学的的兴兴趣趣，发发扬扬合合作作学学习习的的精精神神，养养成成独独立立思思考考、严严谨谨科科学学的的学学习习习习惯惯；通通过过获获得得成成功功的的体体验验和和克克服服困困难难的的经经历历，增增进进学学生生学学习习数数学学的的信心。信心。1、教材设计思路、教材设计思路 勾股定理的证明方法有很多种，这些方法不仅证明了勾股定理，而且也丰富了研究问题的思想和方
13、法，促进了数学的发展. 对勾股定理的证明过程具有一定的挑战性、活动性，方法也具有一定的综合性。 教材设计了丰富的拼图活动，数学家、艺术家、总统，通过了解中外证明勾股定理的不同方法，开阔视野，丰富学生的想象。感受解决同一问题的不同方法。2、教学建议、教学建议 学生独立思考、自主探究、合作交流是学生独立思考、自主探究、合作交流是进行进行“课题学习课题学习”的主要学习方式。所以的主要学习方式。所以把把学习的主动权尽可能地放给学生，给自己学习的主动权尽可能地放给学生，给自己定好位定好位组织者、引导者、合作者组织者、引导者、合作者 几几何何学学里里有有一一个个非非常常重重要要的的定定理理，在在我我国国叫
14、叫 “勾勾股股定定理理”或或“商商高高定定理理”，在在国国外外叫叫“毕毕达达哥哥拉拉斯斯定定理理”。相相传传毕毕达达哥哥拉拉斯斯发发现现这这个个定定理理后后欣欣喜喜若若狂狂，宰宰了了100100头头牛牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫“百牛定理百牛定理”。 勾勾股股定定理理不不仅仅是是最最古古老老的的数数学学定定理理之之一一，也也是是数数学学中中证证法法最最多多的的一一个个定定理理。几几千千年年来来，人人们们已已经经发发现现了了500500多多种种不不同同的的证证明明方方法法，足足以以编编成成厚厚厚厚的的一一本本书书。实实际际上上，国国外外确确实实有有一一本
15、本这这样样的的书书，书书中中收收集集370370多多种种不不同同的的证证法法。在在为为数数众众多多的的证证题题者者中中，不不仅仅有有著著名名的的数数学学家家，也也有有许许多多数数学学爱爱好好者者，美美国国第第2020任任总总统统伽伽菲菲尔尔德德，就就曾曾发发现现过过一一种种巧妙的证法。巧妙的证法。 本节课我们主要通过拼图的形式，再现勾股定理的几本节课我们主要通过拼图的形式，再现勾股定理的几种著名的证法。种著名的证法。 ICM-2002 ICM-2002 August 20-28 2002 BeijingInternational Congress of Mathematicians 方法一：中
16、国古代方法（弦方法一：中国古代方法（弦图）与世界数学家大会图）与世界数学家大会 1.1.教师引导学生动手做一副五巧板（如图所示）教师引导学生动手做一副五巧板（如图所示） 12 34 5 abc方法二：用五巧板拼图验证方法二：用五巧板拼图验证 2 2、关关键键：把把斜斜边边上上的的正正方方形形拆拆成成直直角角边边上上的的两两个个正正方方形形用用两两副副五五巧巧板板，将将其其中中的的一一副副拼拼成成一一个个以以c c为为边边长长的的正正方方形形；将将另另一一副副拼拼成成两两个个边边长长分分别别为为a a、b b的的正正方方形形。你拼出来了吗？你能验证勾股定理了吗？你拼出来了吗？你能验证勾股定理了吗
17、？ 1 12233 44 55图6acb3用上面的两副五巧板，还可以拼出如下所示的图形：用上面的两副五巧板，还可以拼出如下所示的图形： 12233 4 455图7acb方法三：刘辉与方法三：刘辉与“青朱出入图青朱出入图” 把把两两直直角角边边上上的的正正方方形形割割补补后后，拼拼成成斜斜边边上上的的正正方方形形。用用上上面面的的五五巧巧板板，还还可可以以拼拼出出“青青朱朱出出入入图图”。刘刘徽徽在在他他的的九九章章算算术术中中给给出出了了注注解解，大大意意是是：三三角角形形ABCABC为为直直角角三三角角形形，以以勾勾为为边边的的正正方方形形为为朱朱方方，以以股股为为边边的的正正方方形形为为青
18、青方方；以以盈盈补补虚虚，将将朱朱、青青二二方方并并成成弦弦方方，依依其其面面积积关关系系有有 ，由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。青方朱出朱方青入青出青出青入abcA BC图8朱入 1.1.在一张长方形的纸板上画两个边长分别为在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a a、b b的的正方形，并连结正方形，并连结BCBC、EF,EF,如图所示；如图所示； O C A BEF b a方法四：意大利文艺复兴时代的著名画家达方法四：意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇的芬奇的拼图验证法拼图验证法 O C A BEF b a图1 A B
19、C D E F 图2图32 2沿沿ABCDEFAABCDEFA剪剪下下，得得到到两两个个大大小小相相同同的的纸纸板板、如如图图2 2所示；所示；3 3将纸板将纸板翻转后与翻转后与拼成如图拼成如图3 3所示的图形；所示的图形；4. 4. 比较图比较图1 1、图、图2 2中两个多边形中两个多边形ABCDEFABCDEF和和ABCDEFABCDEF的面积，的面积，你能验证勾股定理吗？你能验证勾股定理吗？让学生相互交流、讨论、合作，利用面积关系可得到：让学生相互交流、讨论、合作，利用面积关系可得到：S SABCDEF = ABCDEF = SA ABCDEFBCDEF O C A BEF b a图1 A B C D E F 图2图3方法五：方法五：美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法利用本节所学习的知识，你能想象出总统是如何验证勾股利用本节所学习的知识，你能想象出总统是如何验证勾股定理的吗？定理的吗？ a ab b c cAB CDE
