《浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考数学试题Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考数学试题Word版含解析（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考高三数学学科 试题考生须知：1本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质求出集合，再根据并集的定义计算可得.【详解】因为，又，所以.故选：A2. 的展开式的常数项为（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解
2、析】【分析】先求出展开式的通项，令指数等于0，求得，即可求解.【详解】通项为常数项，令可得，所以，故选：B3. 已知复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ）A. 2B. C. D. 5【答案】D【解析】【分析】先根据条件求出复数，从而可求出结果【详解】设，a，则则，所以，故选：D4. 已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为，为初始量则该塑料经自然降解，残留量不超过初始量的50%至少需要（ ）年（精确到年）（参考数据：）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意可得，求解可得，可得结论.【详解】若残留量不足初始量的50%，则，所以，两边取常用对数得，所以至少需
3、要7年故选：C5. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】当时，得；当时，得，所以“”是“”的充要条件，故选：C6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；【详解】，故选：A7. 定义函数集已知函数，若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
4、分析】首先根据奇偶性的知识找出符合条件的所有函数，然后在这些函数中找出存在单调递减区间的函数，得出答案.【详解】解析：集合A中的函数为奇函数的有，而有单调递减区间的函数有和，所以概率为.故选：A8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C连接，若O为坐标原点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及求解即可.【详解】设，由可得，由于与等高，所以， 又，又，在中，在中，化简可得，解得，故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出，其次需要根据
5、建立关系.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 已知a，有一组样本数据为，3，8，10，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ）A. 平均数不变B. 中位数不变C. 方差不变D. 极差不变【答案】AD【解析】【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令取特殊值，验证B的真假；利用方差的计算公式求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D的真假.【详解】对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；对于B选项，取，原数据的中位数为9，新数据
6、的中位数为8.5，错误；对于C选项，新数据的方差为，错误；对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据极差不变，正确故选：AD10. 已知平面，直线，若，与所成的角为，则下列结论中正确的有（ ）A. 内垂直a的直线必垂直于B. 内的任意直线必垂直于内的无数条直线C. b与所成的角为D. b与内的任意一条直线所成的角大于等于【答案】ABD【解析】【分析】由平面与平面垂直的性质定理可判断AB；线面位置关系可判断C；由最小角定理可判断D【详解】对于A选项，由平面与平面垂直的性质定理可知，内垂直a的直线必垂直于，A正确；对于B选项，在内作的垂线，则此垂线必垂直于，自然也就垂直内的任意直线，这种垂线可以作
7、无数条，所以B正确；对于C选项，b与所成的角为，但b与的位置关系不确定，不能确定b与所成的角，特殊情况下可以是，所以C错误；对于D选项，由最小角定理可知，线面角是线与面内的任意直线所成角中的最小的角，故D正确故选：ABD11. 利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明.【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立，对于选项A：令，则，可得，其中，所以，
8、A正确；对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立令，可得，整理可得，故，即，所以，故B正确；对于选项C：令，可得，即，这显然不成立，故C错误；对于选项D：等价于证明，将中的x替换为，其中，则，即，可得，当且仅当时，等号成立，则，所以，故D正确故选：ABD【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布若，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是_【答案】【解析】【分析】根据正态分布的对称性得出结果【详解
9、】由，X服从正态分布，故故答案为：.13. 已知函数为定义在上的奇函数，则_【答案】4051【解析】【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可.【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则,且函数关于中心对称，所以,故答案为：405114. 已知E，F是直角的外接圆上的两个动点，且，P为的边上的动点，若的最大值为48，则的面积的最大值为_【答案】25【解析】【分析】设直角的外接圆的圆心为，取弦的中点，可求得，结合圆的知识，当三点共线时，最大，进而求得圆的半径，进而求得的面积的最大值.【详解】设直角的外接圆的圆心为，取弦的中点，由，可得点的轨迹是以为圆心的圆，则， 因为的最大
10、值为48，所以，由圆的相关知识可知，当三点共线时，且在三点处时，最大，在中，所以圆的半径为,，所认的面积的最大值为25.故答案为：25.【点睛】本题考查：圆的内接三角形问题，向量的数量积的计算，数形结合法的运用，重要不等式的运用，综合性强.四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值【答案】（1）单调增区间：，单调减区间： （2）或【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析得出结论.【小问1详解】易知定义域为
11、R，所以，故单调增区间：，单调减区间：小问2详解】因为，所以曲线在点处的切线为把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解，即且，即解得或16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面底面，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点（1）当P是线段中点时，求点P到平面的距离；（2）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等体积变化的方法进行计算距离；（2）利用空间向量法计算距离；【小问1详解】作的中点D，连接，连接，因为点D，F分别为，的中点，所以，且，又由三棱柱定义，结合点E为的中点可知：，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所
12、以当P是线段的中点时，点P到平面的距离等于点E到平面的距离；因为，因为，所以，由平面平面，且平面平面，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以是三棱锥的高，所以，在等边三角形中，,因为，所以直角三角形中又，三角形是等腰三角形，设点E到平面的距离为d，则，解得即点P到平面的距离为【小问2详解】以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，所以，设，则，设平面的一个法向量，则有，即，所以，设平面的一个法向量，则有，即，所以，所以，解得或（舍去）所以，即的长为17. 已知等比数列和等差数列，满足，（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，数列的前项和为证明：【答案】（1）， （2）证明见解析【解
13、析】【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得.【小问1详解】等比数列满足，所以单调递增，设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得，解得或（舍去），所以，【小问2详解】由（1）可得，所以所以，故，又，即，所以18. 已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1（1）求双曲线的标准方程：（2）若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T（i）证明：射线是的角平分线；（ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）由题意可直接求出，从而可求出双曲线的方程；（2）（i）设，切线，代入双曲线方程化简，由判别式等于零可表示出，从而可表示出切线方程，表示出点的坐标，然后通过计算的值可得结论；（ii）过作，设，根据角平分线的性质和三角形中位线定理求出，再表示出面积可求出其范围.【小问1详解】因为实轴长为4 所以，即，因为右焦点到渐近线距离为1，所以，故双曲线的标准方程为【小问2详解】（i）设，切线，则，联立化简得由，解得：，所以直线，令，得，故，因为，所以，所以，即，故射线PT是的角平分线（ii）过作，设因为为的角平分线，所以所以
