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1、第三章第三章 随机变量与概率分布随机变量与概率分布l随机变量及其种类随机变量及其种类l概率分布概率分布l正态分布正态分布l二项分布二项分布随机变量及其种类随机变量及其种类l随机变量（随机变量（random variable）在一定范围内随机取值的变量在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量以一定的概率分布取值的变量l分类分类离散型离散型(discrete)随机变量随机变量：只取有限个可能值：只取有限个可能值（通常为整数）（通常为整数）例：发病个体数，产仔数例：发病个体数，产仔数连续型连续型(continuous)随机变量随机变量：在一定范围内可取：在一定范围内可取无限个可能值（实
2、数）无限个可能值（实数）例：产奶量，体长，日增重例：产奶量，体长，日增重概率分布概率分布l概率函数概率函数(probability function)随机变量取某一特定值的概率函数（离散型随机变量取某一特定值的概率函数（离散型随机变量）随机变量）l概率密度函数概率密度函数(probability density function) 随机变量取某一特定值的密度函数（连续型随机变量取某一特定值的密度函数（连续型随机变量）随机变量）l概率分布函数概率分布函数(probability distribution function)随机变量取值小于或等于某特定值的概率随机变量取值小于或等于某特定值的概率离
3、散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l概率函数概率函数X ：随机变量，随机变量，x：该随机变量的某一可能取值该随机变量的某一可能取值l概率分布函数概率分布函数离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l例例1：掷一次骰子所得点数的概率函数掷一次骰子所得点数的概率函数概率分布列概率分布列离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l例例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布掷二次骰子所得点数之和的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布概率分布图概率分布图离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l随机变量的期望随机变量的期望(expectation) -
4、 总体平总体平均数均数对于例对于例1：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l期望的性质期望的性质(a是常量)1.2.3.4.（当X和Y彼此独立）离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l随机变量的函数的期望随机变量的函数的期望设H(X)是随机变量X的某个函数例：例：对于例对于例1：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l随机变量的方差随机变量的方差(variance) - 总体方差总体方差对于例对于例1：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l方差的性质方差的性质1. Var(a) = 0 （a是常量）是常量）2. Var(aX ) = a2Var(X
5、)3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和和Y彼此独立）彼此独立）4. Var(XY ) = Var(X )Var(Y )/连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布l概率密度函数概率密度函数满足以下条件的函数满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机变称为连续性随机变量量X的概率密度函数的概率密度函数:(x是X的任一可能取值)连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布l概率分布函数概率分布函数l期望期望l方差方差连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布l正态分布（正态分布（normal distribution）具有如下概率密度函数的随
6、机变量称为正态具有如下概率密度函数的随机变量称为正态分布随机变量：分布随机变量： = 期望 2 = 方差（可以证明这个函数满足概率密度函数的可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）个条件）正态分布正态分布l正态分布概率密度函数的几何表示正态分布概率密度函数的几何表示正态曲线正态曲线f (x)x曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率正态分布正态分布l正态分布的特点正态分布的特点只有一个峰，峰值在只有一个峰，峰值在x = 处处曲线关于曲线关于x = 对称，对称，因而平均数因而平均数=众数众数=中中位数位数x轴为曲线向左、右延伸的渐进线轴
7、为曲线向左、右延伸的渐进线由两个参数决定：由两个参数决定： 平均数平均数 和和 标准差标准差 决定决定曲线在曲线在x 轴上的位置轴上的位置 决定曲线的形状决定曲线的形状正态分布正态分布平均数的影响平均数的影响标准差的影响标准差的影响正态分布正态分布l标准正态分布标准正态分布(standard normal distribution) 令令Z服从正态分布服从正态分布标准正态分布标准正态分布对于对于标准化标准化正态分布正态分布l标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数0正态分布正态分布l标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算 附表附表1 (p. 274)正态分布正态分布(1) P
8、( Z u) 或或 P(Z -u) (u 0)直接查表直接查表正态分布正态分布(2) P( Z -u) 或或 P(Z u) 查表查表正态分布正态分布(3) P( a Z b) 或或例：设 Z N(0, 1)，求 (1) P(Z 0.64) (2) P(Z 1.53) (3) P(-2.12 Z -0.53) (4) P(-0.54 Z 0.84) 正态分布正态分布正态分布正态分布P( -1 Z 1) = 68.26%P( -2 Z 2) = 95.45%P( -3 Z 3) = 99.73%P( -1.96 Z 1.96) = 95%P( -2.58 Z 2.58) = 99% 几个特殊的标准
9、正态分布概率几个特殊的标准正态分布概率 正态分布正态分布68.3%95.5%99.7%正态分布正态分布l对于给定的两尾概率对于给定的两尾概率 求标准正态分布在求标准正态分布在x轴上的分位点轴上的分位点附表附表2 （p. 276）/2/2正态分布正态分布用用2 查附表查附表2，可得一尾概率为，可得一尾概率为 时的分位点时的分位点ul对于给定的一尾概率对于给定的一尾概率 求标准正态分布在求标准正态分布在x轴上的分位点轴上的分位点正态分布正态分布l一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算转换为标准正态分布计算转换为标准正态分布计算例： 设 X N(30, 102)，求P(X 40)X N( ,
10、2)正态分布正态分布P( - X + ) = 68.26%P( - 2 X + 2 ) = 95.45%P( - 3 X + 3 ) = 99.73%P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95%P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99% 几个特殊的一般正态分布概率几个特殊的一般正态分布概率 正态分布正态分布-3 -2 - + +2 +3x68.3%95.5%99.7%偏度与峭度偏度与峭度l偏度（偏度（skewness） 度量一个分布的对称性的指标度量一个分布的对称性的指标l峭度（峭度（kurtosis） 度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标（总
11、体）（总体）（样本）（样本）（总体）（总体）（样本）（样本）离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l二项分布（二项分布（binomial distribution）假设：假设：1. 在相同条件下进行了在相同条件下进行了n次试验次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（每次试验只有两种可能结果（1或或0） 3. 结果为结果为1的概率为的概率为p，为为0的概率为的概率为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的各次试验彼此间是独立的 在在n次试验中，结果为次试验中，结果为1的次数（的次数（X = 0，1，2，n）服从二项分布，表示为服从二项分布，表示为离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l二项分布的概率函数二项分布的概率函数l二项分布的期望二项分布的期望l二项分布的方差二项分布的方差离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l例例3：一头母猪一窝产了一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其头仔猪，分别求其中有中有2头公猪和头公猪和6头公猪的概率。头公猪的概率。产公猪头数的期望值：产公猪头数的期望值：产公猪头数的方差：产公猪头数的方差：习题习题lP.362，3，5，6，7
