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1、1.3 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开引入引入1一、定义一、定义n阶行列式阶行列式中，划去元素中，划去元素aij所在的所在的第第i行行和和第第j列列元素，余元素，余下的元素按原来顺序构成一个下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式，阶行列式，称为元素称为元素aij的的余子式余子式，记做，记做Mij。称称 为元素为元素aij的的代数余子式代数余子式。【注注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式个代数余子式. .2如如 四阶行列式四阶行列式 的余子式的余子式:代数余子式代数余子式:12)1(111111- -= =- -= =+ +
2、MA2110111111320121- - - -= =D21111111311- - -= =M=123四阶行列式四阶行列式 的余子式的余子式:代数余子式代数余子式:2110111111320121- - - -= =D321011102123- -= = =M3)1(233223= =- -= =+ +MA4定理定理: n阶行列式阶行列式D|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列) 各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或或二、行列式展开定理二、行列式展开定理按按第第i行行展开展开按按第第j列列展开展开5说明：说明：该定理可作为行列式的等价
3、定义。该定理可作为行列式的等价定义。按某行（列）展开，本质是对行列式按某行（列）展开，本质是对行列式降阶降阶，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。于某行（列）零元较多的情形。证明思路证明思路： (详细证明见教材) 1两边项数相同两边项数相同；2右边右边各项都是各项都是 D 中的项中的项；3右边右边各项的符号与在各项的符号与在 D 中的符号相同。中的符号相同。6例例1 1 利用行列式的展开计算行列式的值利用行列式的展开计算行列式的值 【评注】【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开一般应选取零元素最多的行或列进行展开;
4、;或者选取一行或列或者选取一行或列, ,利用行列式的性质利用行列式的性质5,5,将这一行或将这一行或列的元素尽可能多的化为零列的元素尽可能多的化为零, ,然后按这一行或列进行然后按这一行或列进行展开展开; ;这样方便计算。这样方便计算。7解解 将行列式按第将行列式按第1列展开列展开D= 2 -（-2）= - 488推论：推论： 行列式行列式D的任一行的任一行( (列列) )的元素与的元素与另一行另一行( (列列) )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.证明证明在在中，如果令第中，如果令第 i 行的元素行的元素等于另外一行，譬如第等于另外一行，譬如第 k 行
5、的元素，得行的元素，得D19第第i行行= 0.按第按第i行展开得行展开得 【注】【注】 Aij 既是既是D1中第中第i行第行第j列元素的代数余子式，列元素的代数余子式， 也是也是D 中第中第i行第行第j列元素的代数余子式。列元素的代数余子式。10综上，得综上，得公式公式11例例2 2：计算计算范德蒙范德蒙行列式行列式111131211221232221132111111- - - - - - - - -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= =nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD12 n-1-1阶阶范德蒙范德蒙行列式行列式1
6、3依此类推，可得：依此类推，可得：14例例3 3：计算行列式计算行列式2764812591642534251111=D解：解：）（）（）（）（）（）（432324535452-.-.-.-.-.-=D12=15例例4 计算计算【析】【析】 按第按第1行或第行或第1列展开列展开16三、拉普拉斯（三、拉普拉斯（Laplace）定理）定理定义定义 在在n阶行列式阶行列式D=|aij|中，任意中，任意选取选取k行行k列列, (1kn),位于这些行和列交叉处的位于这些行和列交叉处的k2个元素按原个元素按原来顺序组成的一个来顺序组成的一个k阶阶行列式行列式M，称为行列式，称为行列式D的一的一个个k阶子式阶
7、子式。 在在D中，中，划去这划去这k行行k列列后，余下的元素按原来后，余下的元素按原来顺序组成的一个顺序组成的一个n-k阶阶行列式行列式N ，称为，称为k阶子式阶子式M的的余子式。余子式。称为称为k阶子式阶子式M的的代数余子式。代数余子式。其中，其中， 是是k阶子式阶子式M在在D中中所在的所在的行号和列号。行号和列号。17定理：（拉普拉斯定理定理：（拉普拉斯定理）在在 n 阶行列式阶行列式 D中，中，任意选取任意选取 k 行行(1kn)，由这，由这 k 行元素组成行元素组成的所有的所有 k 阶子式与其对应的代数余子式乘积之阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式和等于行列式 D 的值，即的
8、值，即Mi 是是 D 的由选定的的由选定的 k 行生成的子式，行生成的子式，Ai 是是 Mi 的的代数余子式，代数余子式，i1，2，t.18例例5 5：计算：计算：计算：计算19例例6 6：计算计算2n阶行列式阶行列式第第n行行第第n+1行行20例例7 计算计算n+m阶行列式阶行列式按前按前n行展开行展开n阶阶m阶阶2122定义法定义法化三角形法：化三角形法：利用性质化为三角形行列式利用性质化为三角形行列式降阶法降阶法（展开定理）（展开定理）直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开展开间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行间接降阶：利用行列式性
9、质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开（列）具有较少的非零元，再按其展开.普遍法则普遍法则行列式的计算行列式的计算23常用技巧常用技巧拆分法拆分法：A=B+C数学归纳法（不讲）数学归纳法（不讲）递推法递推法行列式的计算行列式的计算提取因子法：提取因子法：行行(列列)和相等时，各行和相等时，各行(列列)加到第一行加到第一行(列列) ，提取公因子，再继续化简。，提取公因子，再继续化简。24特殊行列式计算特殊行列式计算行列式的计算行列式的计算箭头形（或爪形）行列式箭头形（或爪形）行列式, 范德蒙行列式范德蒙行列式等等，自己总结规律。等等，自己总结规律。25作业作业 习题一习题一 17(1)26
