1最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1） ，则满足条件的所有的点 P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则ABDBACDC．证明：ABDACDSBDSCD，ABDACDSABDEABSACDFAC，即ABDBACDC（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点D，则ABDBACDC． 2证明：在 BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC，连接 BD，则△ACD≌△AED（SAS） ，CD=ED 且 AD 平分∠BDE，则DBABDEAE，即ABDBACDC．接下来开始证明步骤：如图， PA： PB=k， 作∠APB 的角平分线交 AB 于 M 点， 根据角平分线定理，MAPAkMBPB，故 M 点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理，NAPAkNBPB，故 N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设 A（-m，0） ，则 B（m，0） ，设 P（x，y） ，PA=kPB，即： 222222222222222222222122102201xmykxmyxmykxmk ykxymk m xkmmk mxyxmk解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线． 3那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则12PAPB的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2，连接 PM，可得△CPA∽△CMP，故 PA：PM=2:1，即 PM=12PA．问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA？答：因为圆 C 半径为 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA． 4（2）如果问题设计为 PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点 A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上， 故所求 M 点在 AC 边上， 考虑到 PM： PA=1:2，不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM=12DA=1，即可确定 M 点位置．如果对这个结果不是很放心， 不妨再取个特殊的位置检验一下， 如下图， 此时 PM=3， PA=6，亦满足 PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求 M点位置，虽不够严谨，却很实用． 5【练习 1】如图，在ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式 2AD+3BD=233ADBD，故求23ADBD最小值即可．考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD，条件已经足够明显．当 D 点运动到 AC 边时，DA=3，此时段 CD 上取点 M 使得 DM=2，则在点 D 运动过程中，始终存在23DMDA．问题转化为 DM+DB 的最小值，直接连接 BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案． 6【练习 2】 如图， 已知正方 ABCD 的边长为 4， 圆 B 的半径为 2， 点 P 是圆 B 上的一个动点，则12PDPC的最大值为_______．【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造12PC，在 BC 上取 M使得此时 PM=1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM=12PC，从而将问题转化为求 PD-PM的最大值．连接 PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值． 。