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1、第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第二单元第二单元 方程（组）与不等方程（组）与不等式（组）式（组）第第7课时课时 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用中考考点清单中考考点清单考点考点1 一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法(高频考点高频考点)1.如果一个方程通过整理可以使右边为如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫一元二次方程方程叫一元二次方程,一般形式是一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数，是已知数，a0),其中其中a ,b ,c分别叫做二次项系数、分别叫做二
2、次项系数、一次项系数、常数项一次项系数、常数项.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二一元二次方程次方程判别式判别式根的情况根的情况ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac _0方程有两个不等方程有两个不等的实根的实根b2-4ac _0方程有两个相等方程有两个相等的实根的实根b2-4ac _0方程没有实根方程没有实根=如何利用判别式确定如何利用判别式确定实根的个数实根的个数用配方法解一元用配方法解一元二次方程二次方程3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法一般形式：一般形式：ax2+bx+c=0(a0)直接开直接开平方法平方法形如形如(x+m)2=n(n0)的方程，可直接开方的
3、方程，可直接开方求解求解.则则x1=-n-m,x2=n-m配方法配方法若若ax2+bx+c=0不易于分解因式，可考虑不易于分解因式，可考虑配方为配方为a(x+h)2=k,再直接开方求解再直接开方求解公式法公式法求根公式：求根公式：x= _(b2-4ac0)因式分因式分解法解法可化为可化为a(x+m)(x+n)=0的方程，用因式分的方程，用因式分解法求解解法求解.则则x1=-m,x2=-n4. 一元二次方程根与系数关系一元二次方程根与系数关系设方程设方程ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为的两根分别为x1,x2,则则x1+x2= _,x1x2= _.1.用一元二次方程解实际问题的一般步骤用一
4、元二次方程解实际问题的一般步骤考点考点2 一元二次方程的应用一元二次方程的应用2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考内容问题是常考内容.（1）增长率等量关系）增长率等量关系: A. 增长率增长率= 100; B. 设设a为原来量，为原来量，m为平均增长率为平均增长率, n为增长次为增长次数，数，b为增长后的量，则为增长后的量，则a(1+m)n=b;当当m为平均为平均下降率，下降率，n为下降次数，为下降次数，b为下降后的量时，则为下降后的量时，则有有a(1-m)n=b.常考类型剖析常考类型剖析典例精讲典例精讲类型一类型一 一元二次方程根的
5、判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系利用判别式求参利用判别式求参数的取值范围数的取值范围运用韦达定理求代运用韦达定理求代数式或参数的值数式或参数的值例例1（14包头）包头）关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x1, x2，且，且x1+x20, x1x20，则，则m的取值范围是的取值范围是( ) A. m B. m 且且m0 C. m1 D. m1且且m0【思路点拨思路点拨】直接运用一元二次方程根的判别式直接运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解及根与系数的关系进行求解. .B【解析解析】由题
6、意得由题意得2(m-1)2-4m2-8m40, m . x1+x2=-2(m-1)0，x1x2=m20, m1,m0,m 且且m0.例例2（14江西）江西）若若,是方程是方程x2-2x-3=0的两个实数的两个实数根，则根，则2+2= _.【思路点拨思路点拨】将将2+ +2变式为（变式为（+ +）2- -2, ,再再利用根与系数关系求解利用根与系数关系求解.10【解析解析】因为因为，是方程是方程x2-2x-3=0的两个实数根，的两个实数根，所以所以+=2,=-3，又，又2+2=(+)2-2,将将+=2,-3代入即可求得代入即可求得2+2的值的值.【易错警示易错警示】对一元二次方程根的根与系数关系
7、对一元二次方程根的根与系数关系记忆不准，易出现符号错误，如出现记忆不准，易出现符号错误，如出现x1+x2= 的的错误错误. .拓展拓展1（14南充）南充）已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2 x+m=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根.（1）求实数）求实数m的最大整数值；的最大整数值；（2）在（）在（1）的条下，方程的实数根是）的条下，方程的实数根是x1,x2,求求代数式代数式x12+x22-x1x2的值的值.【思路分析思路分析】（1）一元二次方程）一元二次方程x2-2 x+m=0，有两个不相等的实数根的条件是有两个不相等的实数根的条件是(-2 )2-4m0，解之可求
8、得解之可求得m的取值范围，再在求得的取值范围，再在求得m的取值范围的取值范围内求内求m的最大整数值；（的最大整数值；（2）先求得）先求得x1+x2和和x1x2的的值，将值，将x12+x22-x1x2用含用含x1+x2和和x1x2的式子表示，的式子表示，再将再将x1+x2和和x1x2的值代入即可的值代入即可.解解：（：（1）由题意，得）由题意，得:b2-4ac0，即：，即：（-2 ）2-4m0，解得，解得m2，m的最大整数值为的最大整数值为m=1. (2)把把 m=1代入关于代入关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2 x+1=0,根据根与系数的关系得根据根与系数的关系得x1+x2=2 , x
9、1x2=1,x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2 =(2 )2-31=5类型二类型二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法例例3 解方程：解方程：x2-2x=2x+1.【思路分析思路分析】解解：原方程可化为原方程可化为x2-4x-1=0，所以，所以a=1,b=-4，c=-1,b2-4ac=(-4)2-41(-1)=20，x= =2 ,x1=2+ , x2=2- .【一题多解一题多解】本题也可采用配方法求解本题也可采用配方法求解.原方程原方程可化为（可化为（x-2）2-5=0，则有，则有(x-2)2=5 x-2= ，解得，解得x1=2+ , x2=2- .拓展拓展2(1414云
10、南云南)一元二次方程一元二次方程x2-x-2=0的解是（的解是（ ）A. x1=1,x2=2 B. x1=1,x2=-2C. x1=-1,x2=-2 D. x1=-1,x2=2D【解析解析】x2-x-2=0可化简为可化简为(x-2)(x+1)=0,x-2=0或或x+1=0,x1=-1 , x2=2.类型三类型三 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用例例4（14天津）天津） 要组织一次排球邀请赛，参赛的要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条根据场地和时间等条件，赛程计划安排件，赛程计划安排7天，每天安排天，每天安排4场比赛，设比场
11、比赛，设比赛组织者应邀请赛组织者应邀请x个队参赛，则个队参赛，则x满足的关系式为满足的关系式为( ) A. x(x+1)=28 B. x(x-1)=28 C. x(x+1)=28 D. x(x-1)=28.B【思路点拨思路点拨】首先表示出应邀的首先表示出应邀的x个参赛队中一个参赛队中一个队要与其他（个队要与其他（x-1）个队进行比赛，再根据比）个队进行比赛，再根据比赛总数不变列出等量关系式即可，但要注意每赛总数不变列出等量关系式即可，但要注意每两队只进行一场比赛。两队只进行一场比赛。【解析解析】本题考查列方程解决实际问题本题考查列方程解决实际问题.因为每因为每两个队之间都要进行一场比赛两个队之
12、间都要进行一场比赛,共有共有x个队个队,所以所以其中的一个队要与其它的其中的一个队要与其它的(x-1)个队进行比赛个队进行比赛,而而每两个队只进行一场比赛每两个队只进行一场比赛,所以方程为所以方程为 x(x-1)=28.【易错提示易错提示】本题的易错点在于对本题的易错点在于对“每两个队每两个队只进行一场比赛只进行一场比赛”这句话的理解上，如果不理这句话的理解上，如果不理解这句话的意思，就会列方程出错解这句话的意思，就会列方程出错.拓展拓展3（14巴中）巴中）某商店准备进一批季节性小家某商店准备进一批季节性小家电，单价电，单价40元元.经市场预测，销售定价为经市场预测，销售定价为52元时，元时，
13、可售出可售出180个个.定价每增加定价每增加1元，销售量净减少元，销售量净减少10个；个；定价每减少定价每减少1元，销售量净增加元，销售量净增加10个个.因受库存的因受库存的影响，每批次进货个数不得超过影响，每批次进货个数不得超过180个个.商店若准商店若准备获利备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元元，则应进货多少个？定价为多少元？【信息梳理信息梳理】原题信息原题信息整理后的信息整理后的信息一一销售定价为销售定价为52元时，元时，可售出可售出180个个.定价每定价每增加增加1元，销售量净元，销售量净减少减少10个个设定价为设定价为x元，当元，当x52元时，销售量为元时，销售量为180
14、-10(x-52)个个二二定价每减少定价每减少1元，销元，销售量净增加售量净增加10个个当当x52元时，销售量元时，销售量为为180+10(52-x)个个三三每批次进货个数不得每批次进货个数不得超过超过180个，商店若个，商店若准备获利准备获利2000元元销售量不超过销售量不超过180个，个，则则x52元，销售量为元，销售量为180-10(x-52)个，个，总利润为：总利润为：180-10(x-52)(x-40)=2000解解：设定价为：设定价为x（x52）元，由题中知单价为）元，由题中知单价为40元，则定价为元，则定价为x元时，每个小家电获利（元时，每个小家电获利（x-40）元，）元，又题中
15、已知销售定价为又题中已知销售定价为52元时，售出元时，售出180个，定个，定价每增加价每增加1元，销量减元，销量减10个，个，当定价当定价x元时，销量为元时，销量为180-10（x-52），），因为商店每批次进货个数不得超过因为商店每批次进货个数不得超过180个，且准个，且准备盈利备盈利2000元得：元得：180-10（x-52)(x-40)=2000，解得解得x=60或或x=50(舍去舍去)，当定价为当定价为60元时，销量为元时，销量为180-10(x-52)；将将60代入式中得：代入式中得：180-10（60-52）100（个）（个）.答：应进货答：应进货100个，定价为个，定价为60元元
16、.失分点失分点7 一元二次方程中求解一元二次方程中求解关于关于x的方程的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则有实数根，则a满满足足( )A. a1 B. a1且且a 5C. a1且且a5 D. a5字母取值范围时考虑不全字母取值范围时考虑不全解解：关于关于x的方程的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，有实数根， 第一步第一步 16+4(a-5)0 a-50, 第二步第二步a1且且a5，故选，故选C.第三步第三步上述解法是从第上述解法是从第_步开始出现错误的，应步开始出现错误的，应改改_ ,此题的最终结果此题的最终结果_.二二当当a-50时，时，16+4（a-5）0,存在实根存在实
17、根当当a-5=0时，时，x=14存在实根存在实根【名师提醒名师提醒】题中未指明是一元二次方程，还题中未指明是一元二次方程，还有可能是一元一次方程有可能是一元一次方程. .【解法提示解法提示】当当a-50时，时，16+4（a-5）0存在存在实根，当实根，当a-5时，时，x=- 存在实根存在实根.失分点失分点8 解一元二次方程解一元二次方程“丢根丢根”问题问题 求方程求方程3x2-8x=0的根的根解：方程两边同时除以解：方程两边同时除以x得得 3x-8=0 .第一步第一步 3x=8 . 第二步第二步 x= .第三步第三步方程的根为方程的根为上述解法是从第上述解法是从第_步开始出现错误的，应步开始出现错误的，应改为改为_，此题最终结果是，此题最终结果是_.x(3x-8)=0一一x=0或或【名师提醒名师提醒】解一元二次方程时，若方程中不含解一元二次方程时，若方程中不含常数项，切记未知数不能约掉常数项，切记未知数不能约掉. .【解法提示解法提示】x(3x-8)=0，即，即x=0或或 3x-8=0x=0，或，或 .
