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1、 利用空间向量求空间角与距离利用空间向量求空间角与距离1.1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题夹角的计算问题. .2.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. .1.1.利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距离；离；2.2.本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算本节的重点是利用向量法
2、求空间角，难点是正确地进行计算3.3.高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想象能力、运算能力及数形结合思想. .1.1.夹角的计算夹角的计算(1)(1)直线间的夹角直线间的夹角两直线的夹角两直线的夹角当两条直线当两条直线l1 1与与l2 2共面时，我们把两条直线交角中共面时，我们把两条直线交角中, ,范围在范围在_内的角叫作两直线的夹角内的角叫作两直线的夹角. .0, 0, 异面直线的夹角异面直线的夹角当直线当直线l1 1与与l2 2是异面直线时，在直线是异面直线时，在直线l1 1上任取一点上任取一
3、点A A作作ABABl2 2，我，我们把们把_的夹角叫作异面直线的夹角叫作异面直线l1 1与与l2 2的夹角的夹角. .设设s1 1，s2 2分别是两异面直线分别是两异面直线l1 1，l2 2的方向向量，则的方向向量，则直线直线l1 1和直线和直线ABABl1 1与与l2 2的夹角的夹角范围范围求法求法关系关系(2)(2)直线与平面的夹角直线与平面的夹角平面外一条直线与它平面外一条直线与它_的夹角叫作该直线与此的夹角叫作该直线与此平面的夹角平面的夹角. .设直线设直线l的方向向量为的方向向量为s，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线，直线l与平面与平面的的夹角为夹角为,则则sin=sin=c
4、oscoss，n=_.=_.在该平面内的投影在该平面内的投影(3)(3)平面间的夹角平面间的夹角如图所示，平面如图所示，平面1 1与与2 2相交相交于直线于直线l，点，点R R为直线为直线l上任意上任意一点，过点一点，过点R R，在平面，在平面1 1上上作直线作直线l1 1l, ,在平面在平面2 2上作上作直线直线l2 2l，则，则l1 1l2 2=R.=R.我们把我们把_叫作平面叫作平面1 1与与2 2的夹角的夹角. .直线直线l1 1和和l2 2的夹角的夹角已知平面已知平面1 1和和2 2的法向量分别为的法向量分别为n1 1和和n2 2，当当00n1 1，n2 2 时，平面时，平面1 1与
5、与2 2的夹角等于的夹角等于_;_;当当 n1 1，n2 2时，平面时，平面1 1与与2 2的夹角等于的夹角等于_._.n1 1，n2 2-n1 1，n2 2(1)(1)长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1=2=2，AD=1AD=1，E E为为CCCC1 1的中点，的中点，则异面直线则异面直线BCBC1 1与与AEAE夹角的余弦值为夹角的余弦值为_._.2.2.距离的计算距离的计算(1)(1)点到直线的距离点到直线的距离空间一点空间一点A A到直线到直线l的距离的算法框图为：的距离的算法框图为：在直线在直线l上上任取一
6、点任取一点P P确定直线确定直线l的的方向向量方向向量s计算向量计算向量计算计算 在向量在向量 上的投影上的投影计算点计算点A A到直线到直线l的距离的距离d=d=(2)(2)平行直线间的距离平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求求平行直线间的距离通常转化为求_._.(3)(3)点到平面的距离点到平面的距离空间一点空间一点A A到平面到平面的距离的算法框图为：的距离的算法框图为：点到直线的距离点到直线的距离在平面在平面上上任取一点任取一点P P找到平面找到平面的法向量的法向量计算向量计算向量计算计算 在向量在向量 上的投影上的投影计算点计算点A A到平面到平面的距离的距离d=d=【即时
7、应用即时应用】(1)(1)思考：如何求线面距离与面面距离？思考：如何求线面距离与面面距离？提示：提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离. .(2)(2)思考：如何推导点到平面的距离公式？思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：提示：如图如图, ,点点A A到平面到平面的距离就是向的距离就是向量量 在平面在平面 的法向量的法向量n上投影的绝上投影的绝对值对值, ,即即d=| |sinABOd=| |sinABO= =| |cos| |cos , ,n= =利用该公式求点到平面的距离简便易行利用该公式求点到平面的距离简便易行. .(3)(3)已知
8、在长方体已知在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，底面是边长为中，底面是边长为2 2的正方形，的正方形，高为高为4 4，则点，则点A A1 1到截面到截面ABAB1 1D D1 1的距离是的距离是_._. 用空间向量求空间角用空间向量求空间角【方法点睛方法点睛】1.1.两异面直线夹角的求法两异面直线夹角的求法利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成向量的夹角向量的夹角. .2.2.利用向量求直线与平面夹角的方法利用向量求直线与平面夹角的方法(1)(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线
9、的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量, ,转化转化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角( (或其补角或其补角););(2)(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求, ,即求出斜线的方向向量与平面的法即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角向量所夹的锐角, ,取其余角就是斜线和平面的夹角取其余角就是斜线和平面的夹角. .3.3.求平面与平面夹角的常用方法求平面与平面夹角的常用方法(1)(1)分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小夹角得到平面与平面夹角的大小. .(2
10、)(2)分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量, ,则这两个向量的夹角则这两个向量的夹角( (或其补角或其补角) )的大小就是平面与平面夹角的的大小就是平面与平面夹角的大小大小. .【例例1 1】(1)(2012(1)(2012合肥模拟合肥模拟) )已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，则直线，则直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1BDBD夹角的余弦值是夹角的余弦值是( )( )(A) (A) (B)(B)(C) (C) (D)(D)(2)(2012(2)(2012天津模拟
11、天津模拟) )如图，在五面如图，在五面体体ABCDEFABCDEF中，中，FAFA平面平面ABCD,ABCD, ADBCFE ADBCFE，ABADABAD，M M为为ECEC的中点，的中点，AF=AB=BC=FE= AF=AB=BC=FE= 求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE夹角的大小；夹角的大小；证明：平面证明：平面AMDAMD平面平面CDECDE；求平面求平面ABCDABCD与平面与平面CDECDE夹角的余弦值夹角的余弦值. .【反思反思感悟感悟】1.1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意思考它们的联系和区别；思考它们的联系和区别；2.2.
12、直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系系. . 用空间向量求空间距离用空间向量求空间距离【方法点睛方法点睛】求平面求平面外一点外一点P P到平面到平面的距离的步骤的距离的步骤(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n；(2)(2)在平面在平面内取一点内取一点A,A,确定向量确定向量 的坐标；的坐标；(3)(3)代入公式代入公式 求解求解. . 【例例2 2】(1)(1)在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABC
13、DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为为BBBB1 1的的中点，则点中点，则点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离是的距离是_._.(2)(2012(2)(2012衡水模拟衡水模拟) )已知四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD中中PAPA平面平面ABCDABCD，且，且PA=4PQ=4PA=4PQ=4，CDA=BAD=90CDA=BAD=90，AB=2AB=2，CD=1CD=1，AD= AD= ，M M，N N分分别是别是PDPD，PBPB的中点的中点. .求证：求证：MQMQ平面平面PCBPCB；求截面求截面MCNMCN与底面与底面ABCDA
14、BCD夹角的大小；夹角的大小；求点求点A A到平面到平面MCNMCN的距离的距离. .【反思反思感悟感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离等点到面的距离等. .其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解助于几何体的体积求解. . 用空间向量解决探索性问题用空间向量解决探索性问题【方法点睛方法点睛】探索性问题的类型及解题策略探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型
15、和位置判断型两种：探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：(1)(1)存在判断型存在判断型存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假设设. .(2)(2)位置判断型位置判断型与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决. .与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向与角有关的探
16、索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式量有关的问题后应用公式cos= (cos= (其中其中n1 1, ,n2 2是两平面是两平面的法向量或两直线的方向向量的法向量或两直线的方向向量) )即可解决即可解决. . 【例例3 3】(2011(2011浙江高考浙江高考) )如图，在三棱锥如图，在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为BCBC的中点，的中点，POPO平面平面ABCABC，垂足，垂足O O落在线段落在线段ADAD上，已知上，已知BC=8BC=8，PO=4PO=4，AO=3AO=3，OD=2.OD=2.(1)(1)证明：证明：APBCAP
17、BC；(2)(2)在线段在线段APAP上是否存在点上是否存在点M M，使得二面角使得二面角A-MC-BA-MC-B为直二面角？为直二面角？若存在，求出若存在，求出AMAM的长；的长；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由【反思反思感悟感悟】1.1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法题型，向量法是解此类问题的常用方法. .2.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若化为代数方程是否有解的问题，若有解
18、且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在有解但不满足题意或无解则不存在. .【满分指导满分指导】用空间向量解答立体几何问题的规范解答用空间向量解答立体几何问题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011福建高考福建高考) )如如图，四棱锥图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCD.ABCD.四边形四边形ABCDABCD中，中，ABADABAD，AB+AD=4AB+AD=4，CD= CD= ，CDA=45.CDA=45.(1)(1)求证：平面求证：平面PABPAB平面平面PADPAD；(2)(2)设设AB=AP.AB=AP.若直线若直线PBPB
19、与平面与平面PCDPCD所成的角为所成的角为3030，求线段，求线段ABAB的长；的长；在线段在线段ADAD上是否存在一个点上是否存在一个点G G，使得点，使得点G G到点到点P P，B B，C C，D D的距离都相的距离都相等？说明理由等？说明理由. .【解题指南解题指南】(1)(1)证明平面证明平面PABPAB中的直线中的直线ABAB平面平面PADPAD，从而可推，从而可推得平面得平面PABPAB平面平面PADPAD；(2)(2)以以A A为坐标原点，建立空间直角坐标为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究系，然后用空间向量法进行求解探究. .【规范解答规范解答】(1)
20、(1)因为因为PAPA平面平面ABCDABCD，ABAB 平面平面ABCDABCD，所以，所以PAABPAAB，又又ABAD,PAAD=AABAD,PAAD=A，所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.又又ABAB 平面平面PABPAB，所以平面所以平面PABPAB平面平面PAD.PAD.3 3分分(2)(2)以以A A为坐标原点，建立空间直角坐标系为坐标原点，建立空间直角坐标系( (如图如图).).在平面在平面ABCDABCD内，内，作作CEABCEAB交交ADAD于点于点E E，则，则CEAD.CEAD.在在RtCDERtCDE中，中，DE=CDDE=CDcos45cos45=1.=1.设
21、设AB=AP=tAB=AP=t，则，则B(t,0,0),P(0,0,t)B(t,0,0),P(0,0,t)，由由AB+ADAB+AD4 4得得AD=4-tAD=4-t，所以，所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0).t,0). 5 5分分设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),由由 , ,得得取取x=tx=t，得平面，得平面PCDPCD的一个法向量的一个法向量n=(t,t,4-t).=(t,t,4-t).6 6分分由题意得由题意得cos60cos60= =即即解得解得t
22、= t= 或或t=4(t=4(舍去，因为舍去，因为AD=4-t0)AD=4-t0)，所以所以AB= .AB= .8 8分分假设在线段假设在线段ADAD上存在一个点上存在一个点G(G(如图如图) )，使得点，使得点G G到点到点P P、B B、C C、D D的距离都相等，的距离都相等，设设G(0,m,0)(G(0,m,0)(其中其中0m4-t)0m4-t)，则，则 9 9分分由由得得1 12 2+(3-t-m)+(3-t-m)2 2=(4-t-m)=(4-t-m)2 2, ,即即t=3-m.t=3-m.由由 得得(4-m-t)(4-m-t)2 2=m=m2 2+t+t2 2.由由消去消去t t，
23、化简得，化简得m m2 2-3m+4=0.-3m+4=0.由于方程由于方程没有实数根，所以在线段没有实数根，所以在线段ADAD上不存在一个点上不存在一个点G G，使得，使得点点G G到点到点P P，B B，C C，D D的距离都相等的距离都相等. . 1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；(2)(2)
24、解答第解答第(2)(2)问时，不知根据条件将问题转化为方问时，不知根据条件将问题转化为方程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题备备考考建建议议解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整. .(2)(2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐. .(3)(3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相
25、应问题不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题. .(4)(4)计算失误导致结果不正确计算失误导致结果不正确. .另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题有利于快速正确地解题. .1.(20121.(2012西安模拟西安模拟) )如图，正方体如图，正方体ABCDABCD-A-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，O O是平面是平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中心，则的中心，则O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距离是的距离是( )( )(A) (B
26、)(A) (B)(C) (D)(C) (D)2.(20122.(2012鞍山模拟鞍山模拟) )如图，正方体如图，正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，M M，N N分别是分别是C C1 1D D1 1，CCCC1 1的中点，则直线的中点，则直线B B1 1N N与平面与平面BDMBDM夹角的正弦值夹角的正弦值为为_3.(20123.(2012福州模拟福州模拟) )如图，已知三如图，已知三棱锥棱锥OABCOABC的侧棱的侧棱OAOA，OBOB，OCOC两两两两垂直，且垂直，且OA=1OA=1，OB=OC=2OB=OC=2，E E是是OCOC的的中点中点. .(1)(1)求求O O点到平面点到平面ABCABC的距离；的距离；(2)(2)求异面直线求异面直线BEBE与与ACAC夹角的余弦值；夹角的余弦值；(3)(3)求平面求平面EABEAB与平面与平面ABCABC夹角的余弦值夹角的余弦值. .
