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1、2 测量误差的分析与处理测量误差的分析与处理2.1 误差的基本概念误差的基本概念2.1.1 真值与误差真值与误差(1) 真值真值真真值值是是某某个个物物理理量量在在某某一一时时刻刻和和某某一一位位置置的的客客观观存存在在的的真真实实值值。实实际际上上，真真值值不不能能确确定定，使使用用的的是是约约定定真真值值。例例如如使使用用更更高高一一级级精精度度仪仪表表的测量值的测量值， 有时用算术平均值代替。有时用算术平均值代替。(2) 误差的表示误差的表示 绝对误差绝对误差是测量值与真值之差。是测量值与真值之差。 有时把测量值与有限次测量的平均值之差称为有时把测量值与有限次测量的平均值之差称为离差离差
2、，即，即 相对误差相对误差是绝对误差与被测真值之比值，即是绝对误差与被测真值之比值，即 引用误差引用误差为绝对误差与仪表的测量上限或量程为绝对误差与仪表的测量上限或量程A之比，即之比，即正确选择仪表的量程正确选择仪表的量程例如例如满量程满量程 精度等级精度等级 被测量被测量 绝对误差绝对误差 相对误差相对误差 50V 0.1 5V 0.05V 0.01 5V 0.5 5V 0.025V 0.005显然，由于引用误差，高精度仪表的测量误差显然，由于引用误差，高精度仪表的测量误差较大。较大。一般使被测量为量程的一般使被测量为量程的0.7。2.1.2 误差的分类误差的分类(1) 系统误差系统误差在一
3、定测试条件下，按一定规律变化的误差。在一定测试条件下，按一定规律变化的误差。如果无法避免，应对测量数据进行修正。如果无法避免，应对测量数据进行修正。 (2) 随机误差随机误差由未被发现和无法控制的因素所引起的误差。由未被发现和无法控制的因素所引起的误差。多次重复测量，减小随机误差。多次重复测量，减小随机误差。(3) 过失误差过失误差显然与事实不符的误差。显然与事实不符的误差。2.1.3 精度精度 准准确确度度（bias error） 测测量量值值与与真真值值的的接接近近程程度。反映系统误差，误差越小，准确度越高。度。反映系统误差，误差越小，准确度越高。 精精密密度度（precision） 相相
4、同同条条件件下下，同同一一被被测测量量多多次次重重复复测测量量，重重复复程程度度。反反映映随随机机误误差差，误差越小，精密度越高。误差越小，精密度越高。 精精确确度度（accuracy） 准准确确度度和和精精密密度度的的综综合合反反映映。在在消消除除系系统统误误差差的的情情况况下下，与与精精密密度度一一致，统称精度。致，统称精度。(a) 准确度和精密度高 (b) 准确度低和精密度高 (c) 准确度和精密度低测量精度的评价和描述2.2 随机误差随机误差2.2.1 随机误差的分布规律随机误差的分布规律(1) 正态分布正态分布随机误差的正态分布 对对称称性性 绝绝对对值值相相等等的的正正负误差出现的
5、概率相等；负误差出现的概率相等； 有有界界性性 在在一一定定条条件件下下，绝对值不超过一定范围；绝对值不超过一定范围； 单单峰峰性性 绝绝对对值值小小的的随随机机误误差差比比绝绝对对值值大大的的出出现现的的机会多；机会多； 补补偿偿性性 当当测测量量次次数数增增加加到到无无限限多多时时，随随机机误误差差的算术平均值趋于零。的算术平均值趋于零。标准正态分布：标准正态分布：随机误差的标准差：随机误差的标准差：置信系数置信系数 置信限置信限 置信区间置信区间正态分布：正态分布：2.2.2 随机误差的统计分析随机误差的统计分析(1) 中心趋势的测量中心趋势的测量 对于一个样本，对于一个样本，平均值：平
6、均值：其中，其中，xi是样本数据的值，是样本数据的值，n是测量的次数。是测量的次数。 对于有确定的单元数对于有确定的单元数N和值和值xi的总体，的总体，平均值：平均值： 被被测测量量按按大大小小次次序序排排列列，中中位位数数是是序序列列中中间间的的值值。如如果果元元素素的的数数量量为为偶偶数数，中中位位数数是是两两个个中中心心值的平均值。值的平均值。 众众数数是是对对应应于于事事件件发发生生概概率率峰峰值值的的变变量量的的值值。在在离离散散样样本本空空间间，众众数数是是出出现现频频率率最最高高的的值值。在在连连续续的的样样本本空空间间，众众数数为为频频率率最最高高的的数数据据带带的的中中点。点
7、。 (2) 分散性的测量分散性的测量 当总体有有限个元素时，当总体有有限个元素时，总体的标准差：总体的标准差： 样本标准差：样本标准差：用用样样本本的的数数据据估估计计总总体体标标准准离离差差时时，常常用用样样本本标准差。而标准差。而2称为总体方差，称为总体方差，S2称为样本方差。称为样本方差。 (3) 总体平均的区间估计总体平均的区间估计 置信区间置信区间 误差误差 样本平均值样本平均值 总体平均值总体平均值 ，当置信水平为当置信水平为1。 即即置信水平置信水平通过显著性水平通过显著性水平表示表示：对对于于大大样样本本，可可以以把把样样本本标标准准离离差差S作作为为的的近近似值。似值。 平均
8、值的置信区间2.2.3 可疑数据的取舍可疑数据的取舍 求求出出测测量量数数据据的的算算术术平平均均值值 及及标标准准差差(均均方方根根误差误差) ； 将将可可疑疑数数据据的的误误差差i与与判判断断准准则则作作比比较较，凡凡绝绝对值大于对值大于3或或 c的就舍弃；的就舍弃； 重复上述过程，看是否还有超出准则的数据。重复上述过程，看是否还有超出准则的数据。 3莱茵达准则莱茵达准则，n10 。 c肖维纳准则肖维纳准则，n和和c的关系查表。的关系查表。2.3 系统误差系统误差任任何何测测量量，首首先先要要把把系系统统误误差差限限制制在在允允许许范范围围内内。如如果果无无法法补补偿偿系系统统误误差差，则
9、则应应修修正正测测量量结结果。果。 恒恒值值系系统统误误差差（固固定定系系统统误误差差） 测测量量中中大大小小 和符号都不变。和符号都不变。 变变值值系系统统误误差差 在在测测量量中中大大小小或或符符号号按按一一定定规规律变化，变化规律可分为三种：律变化，变化规律可分为三种：线性，周期性，复杂变化线性，周期性，复杂变化，例如指数规律。，例如指数规律。2.3.1系统误差对测量结果的影响系统误差对测量结果的影响(1) 恒值系统误差对测量结果的影响恒值系统误差对测量结果的影响 系统误差系统误差测测量量值值的的算算术术平平均均值值中中包包含含恒恒值值系系统统误误差差，修修正正的的方方法法是是在在测测量
10、量结结果果中中引引入入与与系系统统误误差差大大小小相相等等而符号相反的修正值而符号相反的修正值0。测量值测量值不含系统误差的测量值的平均值不含系统误差的测量值的平均值 由离差的定义，有由离差的定义，有 可可见见，可可以以用用包包含含恒恒值值系系统统误误差差的的测测量量值值计计算算离差。离差。(2) 变值系统误差对测量结果的影响变值系统误差对测量结果的影响 系统误差系统误差变变值值系系统统误误差差以以平平均均值值的的方方式式影影响响测测量量结结果果，离差：离差：测量值测量值由于变值系统误差，离差计算结果不同由于变值系统误差，离差计算结果不同。不含系统误差的测量值的平均值：不含系统误差的测量值的平
11、均值：2.3.2 系统误差的消除系统误差的消除 2.3.2.1 判别系统误差的方法判别系统误差的方法(1) 离差观察法离差观察法等等精精度度测测量量，按按测测量量顺顺序序把把测测得得值值及及其其离离差差值值列列表，观察表，观察离差值及其符号的变化规律离差值及其符号的变化规律。 若若离离差差数数值值递递增增或或递递减减，测测量量开开始始和和结结束束时时符符号相反，则该测量列含有号相反，则该测量列含有线性系统误差线性系统误差。 若若在在某某测测量量条条件件下下，离离差差基基本本上上保保持持相相同同符符号号，变变为为另另一一条条件件时时均均变变号号，则则表表明明测测量量中中含含有有随随测测量条件而变
12、的量条件而变的恒值系统误差恒值系统误差。 若若离离差差的的符符号号有有规规律律地地由由正正变变负负，再再由由负负变变正正，或或循循环环交交替替变变化化多多次次，则则可可判判定定该该测测量量序序列列含含有有周期性误差周期性误差。(2) 离差核算法离差核算法 n足够大时足够大时,该项约为该项约为0。因因线线性性系系统统误误差差前前后后两两组组的的符符号号相相反反，所所以以 值值随随n增增大大。若若 值值显显著著不不为为零零，则则说说明明测测量量列列中中含有线性系统误差。含有线性系统误差。将将离离差差分分为为前前半半组组k个个和和后后半半组组nk个个，两两者者求求和后相减，有和后相减，有(3) 阿贝
13、阿贝 赫梅特判据赫梅特判据只只要要测测量量列列满满足足下下式式，就就认认为为该该测测量量列列含含有有周周期性系统误差。期性系统误差。2.3.2.2 系统误差的消除系统误差的消除(1) 恒值系统误差的消除方法恒值系统误差的消除方法 代代替替法法。例例如如用用天天平平称称重重。平平衡衡后后，用用标标准准的的可可调调已已知知质质量量代代替替未未知知物物质质量量M，使使之之达达到到原原先先的的平平衡衡。若若标标准准质质量量为为P，则则有有M=P，消消除除了了因因天平两臂不等而带来的误差。天平两臂不等而带来的误差。 相相消消法法。使使已已经经固固定定的的系系统统误误差差在在测测量量中中一一次次正正，一一
14、次次负负，从从而而抵抵销销。例例如如螺螺旋旋测测微微仪仪，用用往往返返两两个个方方向向的的读读数数的的平平均均值值消消除除由由间间隙隙引引起起的的空空行程误差。行程误差。 对对换换法法。采采用用交交换换测测量量的的方方法法消消除除恒恒值值系系统统误误差差。例例如如天天平平，在在两两次次测测量量中中交交换换被被测测物物与与砝砝码码的位置，用平均值作为被测值。的位置，用平均值作为被测值。(2) 线性变化系统误差的消除线性变化系统误差的消除(3) 周期性变化系统误差的消除周期性变化系统误差的消除对对称称测测量量法法。如如果果测测量量参参数数随随时时间间线线性性变变化化，那那么中间测量值等于首尾测量的
15、均值。么中间测量值等于首尾测量的均值。取相隔半周期两次测量的平均值为测量结果。取相隔半周期两次测量的平均值为测量结果。2.3.2.3 系统误差已消除的准则系统误差已消除的准则如果系统误差或离差代数和的绝对值不超过测量如果系统误差或离差代数和的绝对值不超过测量结果总误差绝对值最后一位有效数字的一半，就结果总误差绝对值最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已被消除。测量结果的总误差，一认为系统误差已被消除。测量结果的总误差，一般只用一位或两位有效数字表示。般只用一位或两位有效数字表示。2.4 间接测量误差的传递间接测量误差的传递2.4.1 函数误差的基本关系式函数误差的基本关系式直接测量参数直接测量参数，并用增量代替微分，有，并用增量代替微分，有 令令相对误差为相对误差为 y的最大误差：的最大误差： 误差的最佳估计，均方根误差：误差的最佳估计，均方根误差：ci 称称为为误误差差传传递递函函数数。它它表表示示第第i个个自自变变量量的的误误差差传传给给函函数数y时时放放大大或或缩缩小小的的倍倍数数，反反映映某某个个参参数数的误差的误差xi 对间接测量结果的影响。对间接测量结果的影响。若若则有：则有：2.4.2 函数误差的计算函数误差的计算(1) 函数系统误差的计算函数系统误差的计算(2) 函数随机误差的计算函数随机误差的计算函数随机误差的标准差：函数随机误差的标准差：
