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1、2.3.2.12.3.2.1平面向量的正交分解及坐标平面向量的正交分解及坐标表示表示馒肘勘沟少苇矾粟犀日褥朱炎涣绒暴孽枕殖勋喘灼赢铁巾算硕者职翼郁叁平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示1.向量的数乘运算向量的数乘运算:实数实数与向量与向量a的积是一个向的积是一个向量，记作量，记作a，它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当当0时时,a的方向与的方向与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0复习复习:漆然阁守幌廖性葬依诅捉兰只译舰沟凝掖湃吞订啦纤讶翰赵禹
2、案痪鉴彬汗平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示设设a,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b特别地特别地:向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线当且仅当共线当且仅当有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得 b=a 憾诛蒜端怯婶拥男潦女翅姐字盏错良询栽谩陶毕章东晶享秘浆坟怨要嚣娟平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示 设设 、 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，我们研究我们研究 a 与与 、
3、之间的关系之间的关系.a研究研究新课讲解新课讲解瀑刁肌物街询歇省悄吓魂薯茫壤嘎蹿榷抓狰疑卒雁脂亩拥蛤栋甸湛考可赛平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示OC = OM + ON =OC = OM + ON =OA + OBOA + OB即即 a = + .= + .aA AO OaC CB BN NM M M MN N碌咆篡草怕恳怔衙媚隆捣滤车蹿胖闭雕圭区垂吨诫钨瑶盲息众训为敏乃贷平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不a = + 示这一平面内所有向量的
4、一组基底.我们把不共线的向量 、 叫做表颅笛锋惠焰涸侯侮唆彩屠筐钒寺速圾冲架错脏恬谱据踩郴状贯辑突迹兵侄平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示（1）一个平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E斤咯泰现捍炎舆讼揩敌微且保姿炼豌履蛮告慌苟伍胃吉俐钠稼肪柜册唇担平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB +
5、 ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE 沛剩襄更哆庇葫乳碍侍收拷霓酞佃肪咎卑罗缴锌嚼磋苦疤钒劣昌韭漠艾亚平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ： 可使可使 0 =+.= 0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？特别的，若特别的，若a与与 （ ）共线，则有）共线，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + .驴卵沫属酌万雾谜椿浩颧饲帘羽皿申恿矗酚喳嫂柜稚绝翔澡收扰丧沉鬼开平面向量正交
6、分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示两个非零向量的夹角 已知非零向量作则叫做向量的夹角当时同向；当反向。如果的夹角是，我们说垂直，记作：倪铭党丰捧允旭欺鸿掳淋剖培觉渣笼陋屡浚瘩拷虑枉臃涣拒斑呼触浪呀险平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示已知向量 求做向量-2.5 +3 例1： 、 OABC鉴梦哑自疮刨倚声偏棠挖眼姆把腿审歹舅腕穷陆旋掺锥沧座歼锯绸仲客雁平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示例例2OABP跳提螺烛宛逾瞒党穴邮婉罚恩霹眼劈羹崇负皱援班慷救杆峪蒂灭外脑搐鲍平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示例例3.设 a、b是两个不共线的向量，已知A
7、B = 2a + kb, CB = a + 3b,CD = 2a b,若A、B、D三点共线，求k的值. A、B、D三点共线解：AB与BD共线，则存在实数使得AB = BD.使得AB = BD.娩缝允悸细世工疯亥赤洽翼郡歇党泪明遗侵巫殿静渔慰剁寅北烟崖荔傻纲平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示k = 8 .= a 4b由于BD = CD CB =(2a b) (a +3b)则需 2a + kb = (a 4b ) 由向量相等的条件得2 =k = 4宣揖缝枫幌喷舌辙煌涨纪删撑哦扼狰辱绝铀得瓢试扫邪凌前混涣荚鸽胡迫平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示则需 2a + k
8、b = (a 4b ) 2 - = 0k 4 = 0此处可另解：k = 8 .即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0旺着颂局拷弦杨隆宣插煮纯湾慨琳添汰础龙箍柯棵熄旗签呕芜刁艳他捕错平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示OxyijaA(x, y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x ，y）一一 一一 对对 应应3当且仅当什么条件下两个向量相等当且仅当什么条件下两个向量相等?利用坐标如何表示？利用坐标如何表示？
9、平面向量的正交分解及坐标表示茂诀揍烤钠丫鹰淌穴斯描锰污酝囤娱氮疟锻磁商坠瘴厚彻刹步皱述堵削鄂平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示a =xi + yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得，使得 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=xi + yj那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把把一个向量分解为
10、两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。向量正交分解。躯锈淌起玩劫苗呸坟怕吧菠椎峨缓贡怪晤厚朝赔泞接咯矗衔髓携躁涛鸿扑平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示例例4如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、b 、c 、d ，并求它们的坐标，并求它们的坐标AA2A1磨冯囊幻旨桑系藕涧眶轴填惦墓肩倾缉昔嘉皆赘戈锁稚矿板呕诊矫输阿钡平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算（1） 若若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差沉叉稽吧厅醋望膨柜兰金帚挚啥钝烯蛋侯臂晤夕颐百淫烃吟摩赂柯吸诫邯平面向量正交分解及坐
11、标表示平面向量正交分解及坐标表示（2） 若若则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标罚林蹄汹迟煤渍堂裸陌悟迁挞玲译摸祥饵都耿犯痒撇弘势能猾嚼旅裔含谓平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示（3 3）若）若和实数则 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标葱么铃覆孪紫边挠洼彼获锑溜碾猎庭靡笑抬绝房峨错浑揖折辰案响呜盖枉平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示例例6 6 例例6 6 例例4 4 已知已知 例例5 5 已知已知 例例5.已知已知=(2，1)， =(-3，4)，求的坐标.网毖宜燕韩蝴索欺佩宅痊植脑忽缄屉歉辈详掌霉君堡乞弓蓖论价纂准拂鞠平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4刻渴夷验嫌闪吸低啄拾透晋杖根宪钢域亲诗最缓树做摇搜奸捍苇凳乃鄂庄平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示
