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1、直线和平面垂直直线和平面垂直与平面和平面垂直与平面和平面垂直【知识梳理知识梳理】1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定类别类别语言表述语言表述应应用用判判定定如果一条直线和一个平面内的任何一如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直条直线都垂直,那么这条直线和这个那么这条直线和这个平面垂直平面垂直证直线和平面垂证直线和平面垂直直如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直交直线都垂直,那么这条直线垂直于那么这条直线垂直于这个平面这个平面证直线和平面垂证直线和平面垂直直如果两条平行直线中的一条垂直于一如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面个平面,那么另一条也
2、垂直于同一个平那么另一条也垂直于同一个平面面证直线和平面垂证直线和平面垂直直【知识梳理知识梳理】2直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质baba类别类别语语言表述言表述图图示示字母表示字母表示应应用用性性质质如果一条直如果一条直线线和和一个平面垂直一个平面垂直,那么那么这这条直条直线线和和这这个平面内的任个平面内的任何一条直何一条直线线都垂都垂直直a b证证两两条直条直线线垂垂直直如果两条直如果两条直线线同同垂直于一个平面垂直于一个平面,那么那么这这两条直两条直线线平行平行a b证证两两条直条直线线平平行行【知识梳理知识梳理】3两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质BaOAaBaO
3、Ala类类语言表述语言表述图图示示字母表示字母表示应应用用判判定定根据定义证明两根据定义证明两平面所成的二面角平面所成的二面角是直二面角是直二面角 AOB是二面角是二面角 a 的平面角，的平面角，且且 AOB=90 ，则，则 证证两两平平面面垂垂直直如果一个平面经过如果一个平面经过另一个平面的一条另一个平面的一条垂线，那么这两个垂线，那么这两个平面互相垂直平面互相垂直 性性质质如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么它们所成二面那么它们所成二面角的平面角是直角角的平面角是直角 ， AOB是二是二面角面角 a 的平面的平面角，则角，则 AOB=90 证两证两条直条直线垂线垂直直如果两个平面垂直，
4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内那么在一个平面内垂直于它们交线的垂直于它们交线的直线垂直于另一个直线垂直于另一个平面平面a 证直证直线和线和平面平面垂直垂直【知识梳理知识梳理】4三垂线定理和三垂线定理的逆定理三垂线定理和三垂线定理的逆定理名称名称语言表述语言表述字母表示字母表示应应用用三垂三垂线定线定理理在平面内的一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线的射影垂直线的射影垂直,那么它也和这条那么它也和这条斜线垂直斜线垂直.证两直线垂证两直线垂直直作点线距作点线距作二面角作二面角的平面角的平面角三垂三垂线定线定理的理的逆定逆定理理在平面内的一条在平面内的一条直
5、线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线垂直线垂直,那么它那么它也和这条斜线的也和这条斜线的射影垂直射影垂直.同同上上例例1已知：正方体已知：正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示如图所示)(1)求证：求证：B1DBC1；(2)求证：求证：B1D面面ACD1；(3)若若B1D与面与面ACD1交于交于O，求证：，求证：DO OB11 2.考点一考点一直线与直线垂直直线与直线垂直O【思路导引】证明线线垂直，可利用线面垂直证明线线垂直，可利用线面垂直的性质，而证明线面垂直，可利用线面垂直的判定的性质，而证明线面垂直，可利用线面垂直的判定【证明证明】(1)ABCDA1B1C1D1为正方
6、体，为正方体，DC面面BCC1B，DCBC1，BCC1B1为正方形，为正方形，BC1B1C.又又DCB1CC，BC1平面平面B1CD，BC1B1D.(2)(1)中中证证明明了了体体对对角角线线B1D与与面面对对角角线线BC1垂垂直，同理可证：直，同理可证：B1DAD1，B1DAC.B1D平面平面ACD1.(3)设设AC与与BD的交点为的交点为O，则则平平面面BB1D1D与与平平面面ACD1的的交交线线为为OD1，则则OD1与与B1D的交点即为的交点即为O，【方法探究方法探究】证明线线垂直的常用方法有：证明线线垂直的常用方法有：(1)利利用用定定义义：同同一一平平面面内内相相交交成成直直角角时时
7、，两两直直线线互互相相垂垂直直，异异面面直直线线成成直直角角时时，两两条条异异面面直线互相垂直直线互相垂直(2)利利用用线线面面垂垂直直：一一条条直直线线与与一一平平面面垂垂直直，这条直线垂直于平面内任一直线这条直线垂直于平面内任一直线(3)利利用用向向量量：把把证证明明两两直直线线垂垂直直问问题题转转化化为为两直线的方向向量垂直的问题两直线的方向向量垂直的问题2对于四面体对于四面体ABCD，给出下列四个命题，给出下列四个命题若若ABAC，BDCD，则，则BCAD；若若ABCD，ACBD，则，则BCAD；若若ABAC，BDCD，则，则BCAD；若若ABCD，BDAC，则，则BCAD.其中正确的
8、是其中正确的是_解解析析：对对于于命命题题，取取BC的的中中点点E.如如图图(1)所所示，示，连连结结AE、DE，则则BC面面AED，BCAD，对于命题对于命题，过过A向平面向平面BCD做垂线做垂线AO(如图如图(2)所示所示)连连 结结 BO与与 CD交交 于于 E， 则则 CDBE， 同同 理理CFBD.O为为 BCD垂垂 心心 ， 连连 DO， 则则 BCDO，BCAO，BCAD.答案：答案：例例2 如如图图所所示示，P为为ABC所所在在平平面面外外一一点点，且且PA平平面面ABC，若若O、Q分分别别为为ABC和和PBC的垂心的垂心求证：求证：OQ平面平面PBC.【思路导引】此题关键此题
9、关键是在平面是在平面PBC内找出两条内找出两条相交直线与相交直线与OQ垂直垂直考点二考点二直线与平面垂直直线与平面垂直【证明】如如图图，连连结结AO并并延延长长交交BC于于E，连结连结PE，O为为ABC的垂心，的垂心，AEBC.PA面面ABC，BC面面ABC，PABC.PAAEA，BC面面PAE.又又BC面面PBC，面面PBC面面PAE，PE面面PAE，BCPE，而，而Q为为PBC的垂心，的垂心，QPE，即，即OQ面面PAE，BCOQ.连连结结BO并并延延长长交交AC于于F，连连结结BQ并并延延长长交交PC于于H，连，连FH.O为为ABC的垂心，的垂心，BFAC.又又PABF，ACBF，PAA
10、CA，BF面面PAC.而而PC面面PAC，BFPC，又又BHPC，BFBHB，PC面面BFH，而而OQ面面BFH，PCOQ，又又PCOQ，BCOQ，PCBCC，OQ平面平面PBC.【方法探究方法探究】欲证欲证OQ平面平面PBC，只要证，只要证明明OQ与平面与平面PBC中两相交直线垂直，因为中两相交直线垂直，因为PA平面平面ABC，又因为，又因为O、Q均为三角形的垂均为三角形的垂心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关系心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关系而线线垂直、线面的垂直关系又可相互转化，而线线垂直、线面的垂直关系又可相互转化，即可由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直又即可由线线垂直证得线
11、面垂直，由线面垂直又证得线线垂直证得线线垂直1如如图图所所示示，直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，ACBC1，ACB90，A1A，D是是A1B1的中点的中点(1)求证：求证：C1D平面平面ABB1A1；(2)在在BB1上上找找一一点点F，使使AB1平平面面C1DF，并并说明理由说明理由(1)证明：证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，是直三棱柱，AA1平面平面A1B1C1.又又C1D平面平面A1B1C1，C1DA1A，又又A1C1B1C1ACBC1，D是是A1B1的中点，的中点，C1DA1B1，C1D平面平面ABB1A1.(2)解析：解析：作作DEAB1于于E，延长，延长DE交交BB1于于
12、F，连结连结C1F，则，则AB1平面平面C1DF，这是因为这是因为AB1DF，AB1C1D，DFC1DD，所以，所以AB1平面平面C1DF.【练习【练习2 2】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，SASA平面平面ABCDABCD，过过A A且垂直且垂直SCSC的平面分别交的平面分别交SBSB、SCSC、SDSD于于E E、F F、G G，求证：求证：AESBAESB，AGSD.AGSD. 【练习【练习3 3】如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面中，底面ABC是直角三角形，是直角三角形，ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且且A1CAC1=D
13、，BC1B1C=E，截面，截面ABC1与截面与截面A1B1C交于交于DE.（1）A1B1平面平面BB1C1C；（；（2）求证：）求证：A1CBC1；（3）求证：）求证：DE平面平面BB1C1C.如如图图，四四棱棱锥锥PABCD中中，底底面面ABCD是是DAB60的的菱菱形形，侧侧面面PAD为为正正三角形，其所在平面垂直于底面三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：求证：ADPB；(2)若若E为为BC边的中点，能否在边的中点，能否在棱棱PC上找到一点上找到一点F，使平面，使平面DEF平面平面ABCD，并证明，并证明你的结论你的结论考点三考点三平面与平面垂直平面与平面垂直(1)【证证明明
14、】如如图图，取取AD的的中中点点G，连连接接PG，BG，BD.PAD为等边三角形，为等边三角形，PGAD，又又平面平面PAD平面平面ABCD，PG平面平面ABCD.在在ABD中，中，DAB60，ADAB，ABD为等边三角形，为等边三角形，BGAD，AD平面平面PBG，ADPB.(2)【解解析析】连连接接CG，DE，且且CG与与DE相相交交于于H点，点，在在PGC中作中作HFPG，交交PC于于F点，连接点，连接DF，FH平面平面ABCD，平面平面DHF平面平面ABCD.H是是CG的中点，的中点，F是是PC的中点，的中点，在在PC上存在一点上存在一点F，即为，即为PC的中点，使得的中点，使得平面平
15、面DEF平面平面ABCD.【方法探究方法探究】证明直线和平面垂直，关键是证明直线和平面垂直，关键是寻找面内的两相交直线与已知直线垂直证明寻找面内的两相交直线与已知直线垂直证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明角为直角，利用定义来证明如如图图，正正方方形形ABCD和和四四边边形形ACEF所所在在的的平平面面互相垂直，互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：求证：AF平面平面BDE；(2)求证：求证：CF平面平面BDE.【练习练习1】所以四
16、边形所以四边形AGEF为平行四边形，为平行四边形，所以所以AFEG.因为因为EG平面平面BDE，AF 平面平面BDE，所以所以AF平面平面BDE.(2)连结FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.(10分)又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD又BDEGG.所以CF平面BDE【练习练习2】如下图，过如下图，过S引三条长度相等但不共面的线引三条长度相等但不共面的线段段SA、SB、SC，且，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面，求证：平面ABC平
17、面平面BSC.SBCAO练练习习3 3：如如图图平平面面，四四边边形形是是矩矩 形，、分别是、形，、分别是、的中点的中点. .) )求平面与平面所成二面角的大小；求平面与平面所成二面角的大小； ) )求证：平面求证：平面平面平面 PA【练习【练习4 4】如图如图,四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是矩形的底面是矩形,PA平面平面ABCD,E,F分别是分别是AB,PD的中点的中点,又二面角又二面角P-CD-B为为45。1)求证求证:AF/平面平面PEC2)求证求证:平面平面PEC平面平面PCD3)设设AD=2,CD=,求点求点A到平面到平面PEC的距离的距离【练习练习5】已知正三棱柱已知正三棱柱AB
18、CA1B1C1，若过面对角，若过面对角线线AB1与另一面对角线与另一面对角线BC1平行的平面交上底面平行的平面交上底面A1B1C1的一边的一边A1C1于点于点D.（1）确定）确定D的位置，并证明你的结论；的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面）证明：平面AB1D平面平面AA1D；（3）若）若AB AA1=，求平面，求平面AB1D与平面与平面AB1A1所成所成角的大小角的大小.【知知识识方法方法总结总结】1.线面垂直关系的判定和证明线面垂直关系的判定和证明,要注意线线垂直关系要注意线线垂直关系,面面垂直关系与它之间的相互转化面面垂直关系与它之间的相互转化.2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于
19、先确定线、运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足垂足”，如果，如果“垂足垂足”，定了，那么，定了，那么“垂足垂足”和和“斜足斜足”的连线就是斜线在平面上的射影的连线就是斜线在平面上的射影.4.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用条件和转化应用.3.证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面作平面 的的垂线，通常是先作垂线，通常是先作(找找)一个过点一个过点P并且和并且和 垂直的平面垂直的平面 ，设，设 =l，在，在 内作直线内作直线a l，则，则a
