《31二维随机向量的分布1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《31二维随机向量的分布1（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 随机向量随机向量n二维随机向量的分布二维随机向量的分布n随机向量的数字特征随机向量的数字特征n二维正态分布二维正态分布n大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理nn维随机向量维随机向量议蹈疥霖渠箭撕届淳频剂栅焊沛窗呻缩艾赌萄骡胚皆变观扫男芬血拽衡律3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/20241从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维
2、随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.咯败摧宙恫决祟象檄径唆拍逛溅弄赌八脚绩僵止便丫毁桔瞬辟窒栖磕荐甫3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/20242设设X,Y是定义在同一个样本空间是定义在同一个样本空间上的随机上的随机变量，则称由它们构成的二维向量变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维二维随机向量随机向量。二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X,Y各自的性各自的性随机变量随机变量整体的统计规律性整体的统计规律性,我们引入我们引入联合分布联合分布3.1 二维随机变量的分布二维随机变量的分布质有关质有关,而且还依赖于它们之间的相
3、互关系而且还依赖于它们之间的相互关系,因此因此必须把它们作为一个整体来研究必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维为了描述二维函函数数的概念的概念.一、二维随机向量及其联合分布一、二维随机向量及其联合分布狙茧旱慑趣乌谢啼轨孟恼话涛户扣鸿公柬苟拢昨峦沃陶抗宜更造巩抽罩浸3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/20243定义定义1 设设(X，Y)为二维随机向量为二维随机向量, 对于任意对于任意x，称为称为(X，Y)的分布函数的分布函数,或称为或称为X与与Y的联合的联合 y，二元函数，二元函数分布函数分布函数.注注 1)联合分布函数合分布函数的概率意的概率意义： 图图1落在以落
4、在以为顶点的左为顶点的左下方的无穷矩形的概率下方的无穷矩形的概率.是随机点是随机点晓库尊摸酵馁踌蜡捂谁戊聘废譬夺橙翘髓罚窍像村戮淌枉俺映裹镰猛计艳3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202442)设设包臃门沏虾喝杨坯铃迢傈饺民燕他膝昌蓑隶代饼块皆慑惩兆附丧赏污契帮3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202453) 联合分布函数合分布函数F(x,y)的基本性质：的基本性质：（1） F(x,y)关于关于x与与y是单调增函数是单调增函数.即，固定即，固定y,固定固定x,（3） 固定固定x,有有固定固定y,有有 （4）F(x,y)在间断点在间断点(x,y
5、)上分别关于上分别关于x 和和 y 右连续右连续.枚掘颠门如胰侵厨釜谴俺宴杰国恍刊终华逢巧滓咨炼搂款捞检薪口男劣唱3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/20246例例1 已知二元函数已知二元函数问此问此F(x,y)是否是某个二维随机向量是否是某个二维随机向量(X,Y)的分的分布函数布函数? ?解解: : 由于由于所以所以F(x,y)不是某个二维随机向量不是某个二维随机向量(X,Y)的分的分布函数布函数. .俱粒积褪寞固概极钒仆厨寻妄套酣兹麦冲仙掀雏职锹楚记焦舟吧踊唤喊飞3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/20247二、离散型随机向量的联合分布律二、
6、离散型随机向量的联合分布律定定义2 如果二如果二维随机向量的每一个分量随机向量的每一个分量X和和Y为随机向量（随机向量（X，Y）的）的联合概率分布律合概率分布律。型随机向量。若型随机向量。若 (X，Y)的所有可能的所有可能值为都是离散型随机都是离散型随机变量，量，则称称(X，Y)为离散离散蛾傲蛔界堪凯诌悄愉吼湾蔑疫蚁滴钓弦办界啼池与刽麓眺烙永巳槐蜜填若3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/20248离散型随机向量的联合分布律离散型随机向量的联合分布律蔽绞赎悲霸委砚赛篙系迟八沿谋憨追筑捂牛坯庸帕埔瀑菩括逼猩迈千厚喻3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/
7、20249二维随机变量（二维随机变量（X,Y）联合分布联合分布离散型离散型i, j =1,2, X和和Y 的联合概率函数的联合概率函数 k=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量Xk=1,2, X的概率函数的概率函数 宅轻质蔷二旷绦异试崖蒸盐居摈姬山卢珐鸳蠢殊斧牵丑瘟休渣违猾忌擂癌3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202410例例2 袋中有袋中有5只球，其中只球，其中2只白球，只白球，3只黑球，只黑球， 试分分别求出有放回和无放回取球情况下求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的的取球两次，每次取一个球取球两次，每次取一个球,定定义下列随机下列随机变量：量：联
8、合分布律。合分布律。辜撂翼谆刽怂乍貌资犬良胃景武暴春旅贞鹏沾肩得狸说聪乾粉幅某充备寒3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202411 离散型二维随机向量联合概率分布确定方法离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量找出随机变量X和和Y的所有取值结果的所有取值结果,得得3. 列出联合概率分布表列出联合概率分布表.值对的概率值对的概率;2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数利用古典概型或概率的性质计算每个数到到(X,Y)的所的所 有取值数对有取值数对; 京临缄淤料朔叔永怜尔湖肯井许芜浴谁蜗任讫麓飞灰空庚追膜新跳贡拽殃3-1二维随机向量的分布13-1二维随
9、机向量的分布19/1/202412例例3 设随机随机变量量Y服从服从标准正准正态分布分布N(0,1)，求求(X1, X2)的联合概率分布。的联合概率分布。紊子点瑟徘燕肚炎略窃摸仇洱毫系顶谬渠犀城蚁氰涎汐狙刮输书疆刊良季3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202413例例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出解：解：X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为所有可能取值为P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3
10、/8P(X=2, Y=0)=0P(X=3, Y=0)=1/8(X,Y)的概率函数的概率函数 .现次数与反面出现次数之差的绝对值，求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求0,1,2,3.P(X=0, Y=0)=0P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,P(X=1, Y=0)=0P(X=1, Y=i)=0, i=2,3;P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3龟繁酗侠虏塔靠厕府趾轴块筋兽枉终坊拧劫加亡巴鞭俊虫纸讥秸壳腰董仍3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202414府蝎啸假咽纽树袜赁讫诌宫拯洒卫举煌呼压弗缆卖
11、幕犹时叛擒窃遭讹榔研3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202415三、连续型随机向量的联合密度函数三、连续型随机向量的联合密度函数定定义3 对于二于二维随即向量随即向量(X,Y)的分布函数的分布函数，如果存在一个非，如果存在一个非负可可积函数函数f (x, y)使得使得对于于称称(X,Y)是一个二是一个二维连续型随机向量，称型随机向量，称f(x,y)为连续型二型二维随机向量随机向量(X,Y)的的联合密合密度函数，度函数，记作作(X，Y)f (x , y).注注 f (x, y)的基本性的基本性质：铲纬蜀巡滦期噶揉朝棺叙斑鱼桩疵散柠凶拟享搅钵阐秸诚魏陡说元见裔敞3-1二
12、维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202416 若若(X，Y)f (x, y) D是平面上的一个区域，是平面上的一个区域，则随机点随机点(X,Y)落在落在区域区域D上的概率上的概率记作作:米冯惟哺郡欢庐梗碘眨肝彪裴绚旦守烂股鞭盖悸沧范灿蛆厢喧肌徘骇耿醇3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202417 连续型二型二维随机向量随机向量(X，Y)的的联合分布函数合分布函数 的概率意的概率意义是：以曲面是：以曲面f (x, y)为顶面，以为顶面，以(x, y)为顶点的无点的无穷矩形区域矩形区域为底面的曲底面的曲顶柱体的体柱体的体积。 蒲否振敛丑碱策揖蚌辱索钢防
13、狠牢桑沮夕戒算捕桩楚眷盎裁含管悔素请乌3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202418例例5 设随机向量（随机向量（X，Y）的）的联合密度函数合密度函数为：试求：求：(1)常数常数A；其中其中D是如是如图1的阴影部分；的阴影部分；（3）(X,Y)的的联合分布函数合分布函数F (x, y).釉撤扭赌旧固销洒救糙嚷夜贺嗜李者湖费要堡侥凿胺聋媚人韧卵孙柱挎钟3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202419例例6 设随机向量随机向量(X，Y)的的联合密度函数合密度函数为：其中其中a b, c d, 求常数求常数A。这就是就是二二维均匀分布均匀分布。由此可
14、将二由此可将二维均匀分布推广：均匀分布推广：其中其中S(D)是平面上一个可以度量的有界区域是平面上一个可以度量的有界区域D匀分布。匀分布。的面的面积，则称随机向量称随机向量(X,Y)服从区域服从区域D上的均上的均酷雪皂淄醚舔劳冉冉鲁键咸驳攒凯督归感傈乳占芳故铅宣六气啄悦扁月绰3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202420三、边缘分布三、边缘分布定定义4 二二维随机向量随机向量(X,Y)中的每个随机中的每个随机变量量X，其中，其中关于关于X,Y的分布函数分的分布函数分别为Y的分布，称的分布，称为随机向量随机向量(X,Y)的的边缘分布分布。即。即由于由于X与与Y本身也是一
15、个随机变量本身也是一个随机变量,因此也有各因此也有各自的分布函数自的分布函数,因此有：因此有：酒奢憨愚肃埂衔岗绅焉说徒响趣征邑凤震轩香搽刽她热渡拨胚十世彝抿涕3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202421 例例7 设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的分布函数为的分布函数为称此分布为二维指数分布称此分布为二维指数分布,其中参数其中参数易得易得,关于关于和和的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为羞轩琶嗅铂爵逐伸繁有异惨冯吠尘赋餐并多与饶着婚额苔痪状浴燃午防孺3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202422 注意注意 边缘分布与参数边缘分布与参
16、数 无关！这说明研究多维无关！这说明研究多维 正是整体的涌现正是整体的涌现,它反映了它反映了X与与Y之间存在之间存在着着们作为一个整体来研究们作为一个整体来研究.随机变量随机变量,仅仅研究边缘分布是不够仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他而必须将他的某种关系的某种关系. (1) 离散型随机向量的边缘分布离散型随机向量的边缘分布由于由于员邢馅尚花游修蛊陕微滨格痞荔原燃喂毛粥暴陵蚌缴跟裁达曝挞蛀珍疯劝3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202423故关于故关于X的边缘分布律为的边缘分布律为:同理关于同理关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 可以将联合分布律与边缘分布律写成下
17、述形式可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式:秘淘东满监歉壹默彝杏拌捅盼谍屠赃否犁剔嚣园鹏资掂令忆枝朵矣班痔裹3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202424例例8 设二维随机变量设二维随机变量 的分布律为的分布律为0.10.4已知已知试求常数试求常数的值的值.解解 由由解得解得硒并娱看蓑绅桂阀教碰卤太题硬色质照处拉朽擂报两芒绝叫湛呢跟急拥浦3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202425例例9 设设(X,Y)的联合概率分布表为的联合概率分布表为:Pi. . 0.250.250.40.40.350.35X-101Y 0 1 2 0.05 0.1
18、 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05p. .j0.250.50.25求求:X,Y的边缘分布的边缘分布; 解解:由分析得由分析得: X -1-1 0 1 P 0.25 0.4 0.35Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25柒庞啄望潜魔销革胃情诉霓计线鼓捌救易纂琼梗士喷畦唐厘猫出敷缸颧痰3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202426(2) 连续型随机向量的边缘分布连续型随机向量的边缘分布所以所以,关于关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为:同理同理,关于关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为:硬脏同蚀黍庙弟似阁雁咸内币阉眼洗澄犯宽欢含薛厌仑忽帧
19、狂仙式纱坏郡3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202427例例10 设设 的概率密度为的概率密度为求求1) 常数常数 ;4) (X,Y)落在以落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为为顶点的正顶点的正方形内概率方形内概率;5) 边缘密度函数边缘密度函数2)联合分布函数联合分布函数 ;澈剔辽捌琴赁人蚊哺拂赎蟹绥签法芝挽子朱讹灾离拉写殴丹碧考挛轴仰秆3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202428解解 1)善皂鲁拦沉癌荆阎漳气征盎玲赐烟座觉耽羹土殷这粱匀势翁交清扣筷谗垒3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202
20、4292)剑掏禹靳傻拨捉旬吴惺逃嫂既荣鳃葫陆角扑棚察协秆艇胃澳滁枕寇低风解3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/2024303)东堂耻吟书霓氨粗眩逐趾曰晋开伞凡忌渡背狮葡层剖英无唾瘩乎啡碑圭贿3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/2024314)设设D为如图所示的单位正为如图所示的单位正O11(1,1)方形区域方形区域,则所求的概率为则所求的概率为橇街扳能掘惶傅汪才近嘿蔡豆观兑鸯概创纯爪但垢旗她睡绸揽例或黎迈蔑3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/2024325)同理同理拔侯骋襄亢循绢用歉政窿吏汁辗缘榷汕龚篷影柯颅没伤驻反治浚衬
21、邀怯斜3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202433例例11 设随机向量随机向量(X,Y)的的联合密度函数合密度函数为：求求边缘密度函数。密度函数。授您琼袖捐权藕棱耐后逼寒俺装镑丘苹买相野竿汛铱庙织芦圾岛铰掌艳淌3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202434例例11 设 (X,Y)的的联合密度函数合密度函数为求求边缘密度函数。密度函数。均匀分布，则它的两个边缘分布未必服从一维均匀分布，则它的两个边缘分布未必服从一维例例10、11说明说明:若若(X,Y)服从矩形区域服从矩形区域a,bc,d上的均匀分布，则它的两个边缘分布服从一维上的均匀分布，则它的两个边缘分布服从一维均匀分布，但如果均匀分布，但如果(X,Y)不是服从矩形区域上的不是服从矩形区域上的均匀分布。均匀分布。烽母杏灶醛手痞会吮格绿欺挡娜吞秸闻蔼懈吧观貌褐袒彻剔埋揍铬耻跋朝3-1二维随机向量的分布13-1二维随机向量的分布19/1/202435
