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1、三角形三角形本章内容第第2章章 线段的垂直平分线线段的垂直平分线本课内容本节内容2.3动脑筋动脑筋 如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA有什么关系？说一说说一说我发现AD=AD， lAA.我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 已知点A与点关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点重合，AD=AD，1 =2 = 90，即直线l既平分线段AA，又垂直线段AA说一说说一说 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）. 线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对
2、称轴.探究探究 如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一点P， 连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么关系？ 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB.做一做做一做已知：CDAB于O，AO=BO，点P在CD上，连结PA，PB.求证：PA=PB.证明： CDAB POA=POB在POA和POB中PO=POPOA=POBAO=BOPOA POB（SAS）PA=PB结论结论线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言：几何语言：CDAB,AO=BOPA=PB动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分
3、线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？(1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.动脑筋动脑筋（2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以PAB是等腰三角形.过顶点P 作PCAB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PCAB，且AC = BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.结论结论到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：几何语言：PA=PB点
4、P在线段AB的垂直平分线上举举例例例例1 已知：如图，在ABC中，AB，BC 的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证： 点O在AC的垂直平分线上.举举例例证明 点O在线段AB的垂直平分线上， OA = OB.同理OB = OC. OA = OC. 点O在AC的垂直平分线上.练习练习已知：如图，点C，D 是线段AB 外的两点， 且AC =BC，AD =BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.证明：AC=BC 点C在线段AB的垂直平分线上 AD=BD 点D在线段AB的垂直平分线上 CD是线段AB的垂直平分线 AO=BO例2 ABC中,ABAC ，A的平分线与BC的垂直平分线DM
5、相交于D，过D作DEAB于E，作DFAC于F.求证：BE=CF.举举例例证明：连接BD和CDDM垂直平分BCBD=CDD是BAC平分线上的点， 且DEAB，DFACDE=DF ，BDE和CFD是Rt在RtBDE和RtCFD中BD=CDDE=DFRtBDERtCFD(HL)BE=CF举举例例做一做做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”， 要作线段AB的垂直平分线， 关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.做一做做一做作法分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D；过点C,D作直线CD，则直线CD
6、就是线段AB的垂直平分线. 因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB 的中点， 所以可以用这种方法作出线段的中点.做一做做一做动脑筋动脑筋如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？(1)当点P在直线l上.(2) 当点P在直线l外.动脑筋动脑筋在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA， PB，使PA= PB；(1)当点P在直线l上.分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C；过点C， P作直线CP， 则直线CP为所求作的直线.动脑筋动脑筋(2) 当点P在直线l外.以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径画弧， 交直线l于点A，B；分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C；过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.小结与复习小结与复习1. 线段的垂直平分线的性质是什么？2. 线段的垂直平分线的判定是什么？中考中考 试题试题例例1 如图，已知AD是ABC的BC边上的高，且C 2B，求证：BDACCD. 证明：在BD上取DE=CD，连接AE，则ACD ADE AC=AE， C=AED=B+EAB 又C=2B，B=EAB，有AE=EB AC+CD=AE+DE=EB+DE=BDE结结 束束
