材料力学课件(第59章)

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1、第五章第五章梁的弯曲应力梁的弯曲应力5-1 5-1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力# 纯弯曲与剪切弯曲纯弯曲与剪切弯曲# 中性层和中性轴中性层和中性轴# 弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律# 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为称为剪切弯曲剪切弯曲剪切弯曲剪切弯曲。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力而无剪力Q，称为称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲。 1、 变形几何关系变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕直于轴线，只是绕

2、中性轴中性轴中性轴中性轴转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。题的平面假设。中中性性层层中中性性轴轴# 中性层和中性轴中性层和中性轴 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部如果

3、外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短将缩短变形的几何关系为：变形的几何关系为：2、应力和变形的关系（物理关系）、应力和变形的关系（物理关系）由虎克定律由虎克定律弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力相等； 正应力大小与其到中性正应力大小与其到中性正应力大小与其到中性正应力大小与其到中性轴距离成正比；轴距离成正比；轴距离成正比；轴距离成正比； 弯矩为正时，正应力弯矩为正时，正应力弯矩为正时，正应力弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上以中性轴为界下拉上以中性轴为界下拉上以中性轴为界下拉上压；压；压；压； 弯矩为负时，正应

4、力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；M 中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零3、静力学关系分析、静力学关系分析Z:Z:中性轴中性轴中性轴中性轴没有轴向力没有轴向力中性轴必然通过横中性轴必然通过横截面的形心截面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩抗弯刚度抗弯刚度横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-85-8b b 所示，所示，所示，所示，由图知

5、梁在固定端横截面上由图知梁在固定端横截面上由图知梁在固定端横截面上由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为的弯矩最大，其值为的弯矩最大，其值为的弯矩最大，其值为 例例例例5-15-1 图图5-8所所示示，一一受受均均布布载载荷荷的的悬悬臂臂梁梁，其其长长l=1m，均均布布载载荷荷集集度度q=6kN/m；梁梁由由10号号槽槽钢钢制制成成，由由型型钢钢表表查查得得横横截截面面的惯性矩的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩 因危险截面上的弯因危险截面上的弯矩为负，故截面矩为负，故截面上缘上

6、缘受受最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为在截面的在截面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为（2）求最大应力）求最大应力5-2 5-2 惯性矩的计算惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩矩形截面矩形截面圆形与圆环截面圆形与圆环截面实心圆实心圆空心圆空心圆2 2、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩平行移轴公式平行移轴公式 例例例例5-25-2 求求T字形截面的中性轴字形截面的中性轴 z，并求并求截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为将截面划分为 、两矩形，取与两矩形，取与截面底边相重合的截面底边相重合的z 轴为参考轴，轴为参考

7、轴，则两矩形的面积及其形心至则两矩形的面积及其形心至z 轴轴的距离分别为：的距离分别为：（1 1） 确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置整个截面的形心整个截面的形心C 在对称轴在对称轴 y上的位置则为：上的位置则为：即中性轴即中性轴 z 与轴与轴 z 的距离为的距离为3cm。（2）求各组合部分对中性）求各组合部分对中性轴轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为其形心轴为z1和和z2，它们距它们距z轴的距轴的距离分别为：离分别为：由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：

8、将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得（3）求整个截面对中性轴）求整个截面对中性轴的惯性矩的惯性矩3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯某截面上最大弯曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面的上下边界上：的上下边界上：WZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh实心圆截面实心圆截面Zd5-3 梁的强度条件梁的强度条件# 梁的最大正应力梁的最大正应力# 梁的强度条件梁的强度条件# 举例举例1、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面

9、在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处2、梁的强度条件、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷尺寸、确定许可载荷例例5-3 图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知段截面的直径。已知

10、q = 1KN/mm，许用应力许用应力 = 140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qRAyM300700300由对称性可求得：由对称性可求得：例例5-4 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为假设梁截面为b h的矩形，的矩形， h = 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：梁倒置时：梁倒置时

11、：立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。注意：注意：Z Z 轴为轴为中性轴中性轴第六章第六章弯曲变形弯曲变形本章主要内容本章主要内容 弯曲变形的概念弯曲变形的概念 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 积分法求梁的变形积分法求梁的变形（不讲）（不讲） 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 梁的刚度校核梁的刚度校核 静不定梁静不定梁（不讲）（不讲）6-1 6-1 弯曲变形的概念弯曲变形的概念工程中的弯曲变形现象工程中的弯曲变形现象N6-2 6-2 梁的绕曲线近似微分方程梁的绕曲线近似微分方程1 1、挠度与转角、挠度与转角 梁轴线上的一点在垂直梁轴线上的一点在垂直梁轴线上的一点在垂直梁轴线

12、上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位于梁变形前轴线方向的线位于梁变形前轴线方向的线位于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的移称为该点的移称为该点的移称为该点的挠度挠度挠度挠度 ，用，用v 表表示。示。 比如，比如，C 截面的挠度为截面的挠度为 vC 梁任一横截面绕其中性梁任一横截面绕其中性梁任一横截面绕其中性梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的轴转动的角度称为该截面的轴转动的角度称为该截面的轴转动的角度称为该截面的转角。转角。转角。转角。 比如，比如，C 截面的转角为截面的转角为 C挠度对坐标的一阶挠度对坐标的一阶导等于转角导等于转角2 2 2 2、梁的挠曲线微分方程、梁的挠曲线微分方

13、程、梁的挠曲线微分方程、梁的挠曲线微分方程假设梁的挠曲线微分方程为假设梁的挠曲线微分方程为第五章推导弯曲正应力公式时已知第五章推导弯曲正应力公式时已知不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况上式称为挠曲线近似微分上式称为挠曲线近似微分方程。根据弯矩正负号的方程。根据弯矩正负号的规定，等式两边符号一致。规定，等式两边符号一致。6-3 6-3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形1 1、积分法的步骤、积分法的步骤 积分常数积分常数C和和D的值可通过梁支承处已知的变形的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为条件来确定，这个条件称为边

14、界条件边界条件。2 2、举例、举例 以以A为原点，取直角坐标系，为原点，取直角坐标系，x轴向右，轴向右，y轴向上。轴向上。（1） 求支座反力求支座反力 列弯矩方程列弯矩方程由平衡方程得：由平衡方程得：列弯矩方程为：列弯矩方程为：（2）列挠曲线近似微分方程）列挠曲线近似微分方程（3） 积分积分（4）代入边界条件，确定积分常数）代入边界条件，确定积分常数在在x=0处：处：将边界条件代入将边界条件代入(c)、(d)得：得：将常数将常数 C 和和 D 代入代入(c)、(d)得：得：（6）求最大转角和最大挠度）求最大转角和最大挠度（5）确定转角方程和挠度方程确定转角方程和挠度方程说说明明：转转角角为为负

15、负，说说明明横横截截面面绕绕中中性性轴轴顺顺时时针针转转动动；挠挠度度为为负负，说明说明B点位移向下。点位移向下。例例例例6-2 6-2 一简支梁如图一简支梁如图一简支梁如图一简支梁如图6-96-9所示所示所示所示, ,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为 q q 的均布载荷作的均布载荷作的均布载荷作的均布载荷作用用用用. .试求此梁的转角方程和挠度方程试求此梁的转角方程和挠度方程试求此梁的转角方程和挠度方程试求此梁的转角方程和挠度方程, ,并确定最大转角并确定最大转角并确定最大转角并确定最大转角| | | |maxmax 和最和最和最和最大挠度大挠度大挠度大挠度|

16、 |y y| |maxmax由对称关系得梁的两个支座反力为由对称关系得梁的两个支座反力为以以A点为原点，取坐标如图，点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：列出梁的弯矩方程为：（2）列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程 并进行积分并进行积分并进行积分并进行积分(1) (1) 求支座反力，列弯矩方程求支座反力，列弯矩方程求支座反力，列弯矩方程求支座反力，列弯矩方程简支梁的边界条件是：简支梁的边界条件是：在两支座处的挠度等于零在两支座处的挠度等于零 在在x = 0 处，处，yA=0 ； 在在x = l 处，处，yB=0（3）确定积分常数确定积分常数确定

17、积分常数确定积分常数边界条件代入（边界条件代入（d），），解得解得将积分常数将积分常数C，D代入代入式（式（c）和（和（d）得得（4 4）确定转角方程和挠）确定转角方程和挠）确定转角方程和挠）确定转角方程和挠度方程度方程度方程度方程由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（代入（f），），得：得：（5）求最大转角和最大挠度）求最大转角和最大挠度又由图又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。由式（由式（e）3、分段积分问题、分段积分问题 当当梁梁上上的的外外力力将将梁梁分分为为数数段段时

18、时，由由于于各各段段梁梁的的弯弯矩矩方方程程不不同同，因因而而梁梁的的挠挠曲曲线线近近似似微微分分方方程程需需分分段段列列出出。相相应应地地各各段段梁梁的的转转角角方方程程和和挠挠曲线方程也随之而异。曲线方程也随之而异。两个边界条件：两个边界条件：连续条件：连续条件：AC段：段： 积分常数：积分常数：C、DCB段：段： 积分常数：积分常数：C 、D 6-4 6-4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 当梁上同时作用几个载荷时当梁上同时作用几个载荷时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。梁的变形的代数和。叠加原理、叠加法叠加原理、叠加法前提是小变形、线弹性

19、前提是小变形、线弹性由叠加法得：由叠加法得：直接查表直接查表6-5 6-5 梁的刚度校核梁的刚度校核弯曲构件的刚度条件弯曲构件的刚度条件:将吊车梁简化为如图例将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。所示的简支梁。计算梁挠度的有关数据为：计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN （1）计算变形计算变形 由型钢表查得由型钢表查得 因因P和和q而引起的最大挠度均位而引起的最大挠度均位于梁的中点于梁的中点C，由表由表6-1查得：查得：由叠加法，得梁的最大挠度为：由叠加法，得梁的最大挠度为：（2）校核刚度）校核刚度将梁的最大挠度与其比较知：将梁的最大挠度与其比较知：故刚度符合

20、要求。故刚度符合要求。吊车梁的许用挠度为：吊车梁的许用挠度为：将主轴简化为如图例将主轴简化为如图例6-13b所示的外所示的外伸梁，伸梁，主轴横截面的惯性矩为主轴横截面的惯性矩为材料的弹性模量：材料的弹性模量：（1）计算变形）计算变形由表由表6-1查出，因查出，因P1在在C处引起的挠处引起的挠度和在度和在B引起的转角（图引起的转角（图c）为：为：由表由表6-1查得，因查得，因P2在在C处引起的挠处引起的挠度和在度和在B处引起的转角（处引起的转角（d）为：为：主轴的许用挠度和许用转角为：主轴的许用挠度和许用转角为：故主轴满足刚度条件故主轴满足刚度条件 （2）校核刚度）校核刚度 6-5 6-5 静不

21、定梁静不定梁未知反力的数目多于平衡方程的未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为解的梁，称为静不定梁静不定梁静不定梁静不定梁 1 1 静不定梁的概念静不定梁的概念 在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束，在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束，在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束，在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束，称为称为称为称为多余约束多余约束多余约束多余约束。与其相应的反力称为。与其相应的反力称为。与其相应的反力称为。与其相应的反力称为多余反力多余反力多余反力多余反力。 撤除静不定梁上的多余约束后变成的静定梁称撤除静不定梁上的

22、多余约束后变成的静定梁称为原静不定梁的为原静不定梁的静定基静定基静定基静定基。2 求解静不定梁的一般方法求解静不定梁的一般方法例例:已知已知q、l,求求A、B支座反力。支座反力。解除解除B 处约束，处约束，代之以约束反力代之以约束反力存在变形协调条件存在变形协调条件存在变形协调条件存在变形协调条件查表查表查表查表 吊车梁的计算简图如图吊车梁的计算简图如图6-20b所所示，有四个约束反力，只能列出示，有四个约束反力，只能列出3个平衡方程，所以是一次静不定梁，个平衡方程，所以是一次静不定梁，需要一个补充方程。需要一个补充方程。选取选取C点的约束为多余约束，点的约束为多余约束，RC为多余支座反力，则

23、相应的为多余支座反力，则相应的静定基为一简支梁，其上受载荷静定基为一简支梁，其上受载荷P和多余反力和多余反力RC的作用。的作用。（1）取静定基，列变形条件）取静定基，列变形条件变形协调条件变形协调条件（2）计算变形）计算变形将将yCP和和yCR代入变形条件，得补充方程代入变形条件，得补充方程（3）建立）建立补充方程，解出多余反力补充方程，解出多余反力（4）由平衡方程，解出其）由平衡方程，解出其它支反力它支反力作梁的弯矩图如图作梁的弯矩图如图d 所示，最大弯矩在所示，最大弯矩在D处，其值为处，其值为 （5）校核强度）校核强度若若C处无中间支座，则为一处无中间支座，则为一简支梁，梁在简支梁，梁在C

24、处横截面上处横截面上的弯矩最大，为的弯矩最大，为这就不满足强度这就不满足强度条件了。条件了。第七章第七章应力状态与应力状态与强度理论强度理论本章内容本章内容 何谓应力状态何谓应力状态 平面应力状态平面应力状态 空间应力状态空间应力状态 材料的破坏形式材料的破坏形式 强度理论及其应用强度理论及其应用7-1 7-1 何谓应力状态何谓应力状态 由杆件的基本变形分析可知，一般情况由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不同不同的点应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。的方向上应力也

25、不一样。 无论是强度分析还是刚度分析，都需要无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。点的应力状态。拉压拉压扭转扭转弯曲弯曲研究应力状态的方法研究应力状态的方法在构件内部取微分单元体，代在构件内部取微分单元体，代表一个点，分析表一个点，分析 6 个微面上的个微面上的应力，并且假设相互平行的微应力，并且假设相互平行的微面上，应力相等。面上，应力相等。每个微面上的应力

26、每个微面上的应力可以分解为可以分解为1 个正个正应力和应力和 2个剪应力个剪应力应力状态的分类应力状态的分类 = 0的平面叫作的平面叫作主平面主平面主平面主平面.主平面上的正应力叫作主平面上的正应力叫作主应力主应力主应力主应力（1）单向应力状态：）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零若三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：）空间应力状态：三个主应力都不等于零三个主应力都不等于零# 主平面和主应力主平面和主应力# 应力状态的分类应力状态的分类平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间应力状态

27、统称为复杂应力状态复杂应力状态可以证明，弹性体内任意一点的可以证明，弹性体内任意一点的主平面和主应力一定存在，并且主平面和主应力一定存在，并且一定是唯一存在。一定是唯一存在。主应力采用符号：主应力采用符号：并且规定：并且规定：7-2 7-2 平面应力状态平面应力状态一个微分六面体可以简化为平面单元体一个微分六面体可以简化为平面单元体一个空间楔形体可以简化为平面三角形，斜面简化一个空间楔形体可以简化为平面三角形，斜面简化为斜边，并作受力分析，建立静力平衡方程为斜边，并作受力分析，建立静力平衡方程1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力 例例例例7-17-1 一单元体

28、如图所示，试求在一单元体如图所示，试求在 = 30 的斜截面上的的斜截面上的应力。应力。2 2、 最大正应力和最大剪应力最大正应力和最大剪应力最大正应力和最大剪应力最大正应力和最大剪应力可见在可见在的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）主应力主应力主应力主应力主平面主平面主平面主平面由剪应力互等定理可知，由剪应力互等定理可知，两个主平面相互垂直，两个主平面相互垂直，因此，主应力也一定互因此，主应力也一定互相垂直。相垂直。这就是计算主应力的公式这就是计算主应力的公式这就是计算主应力的公式这就是计算主应力的公式由上式计算得到的由上式计算得到的2个应力个应力

29、极值是主应力，但是究竟极值是主应力，但是究竟是是3个主应力中的哪两个，个主应力中的哪两个，需要比较后才能下结论。需要比较后才能下结论。最大剪应力最大剪应力最大剪应力最大剪应力注意注意（1）求主应力）求主应力(a)例例例例7-27-2 试求例试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。中所示单元体的主应力和最大剪应力。（2）求最大剪应力）求最大剪应力确定主平面的位置确定主平面的位置(a)在第三象限在第三象限最大主应力位置最大主应力位置3 3、 纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态此现象称为纯剪切此现象称为纯剪切7-3 7-3 空间应力状态空间应力状态1、空间应力状态的概念、

30、空间应力状态的概念三个主应力均不为零三个主应力均不为零2、最大正应力和最大剪应力、最大正应力和最大剪应力3、广义虎克定律、广义虎克定律沿主应力沿主应力 1的方向的总应变为：的方向的总应变为：7-4 7-4 材料的破坏形式材料的破坏形式1、 材料破坏的基本形式材料破坏的基本形式脆性断裂和塑性屈服脆性断裂和塑性屈服脆性断裂和塑性屈服脆性断裂和塑性屈服低碳钢低碳钢铸铁铸铁轴向拉伸轴向拉伸轴向压缩轴向压缩扭转扭转2、材料破坏的主要因素、材料破坏的主要因素低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢拉伸时拉伸时45截面上具有最大剪应力截面上具有最大剪应力扭转时横截面周线上具有最大剪应力扭转时横截面周线上具有最大剪应力# #

31、 滑移线说明是剪切破坏滑移线说明是剪切破坏滑移线说明是剪切破坏滑移线说明是剪切破坏# # 斜截面剪应力：斜截面剪应力：斜截面剪应力：斜截面剪应力：# # 扭转时圆周上具有最大剪应力：扭转时圆周上具有最大剪应力：扭转时圆周上具有最大剪应力：扭转时圆周上具有最大剪应力：结论：低碳钢属于剪切破坏结论：低碳钢属于剪切破坏结论：低碳钢属于剪切破坏结论：低碳钢属于剪切破坏铸铁铸铁铸铁铸铁拉伸时横截面上具有最大正应力拉伸时横截面上具有最大正应力扭转时扭转时45截面上具有最大正应力截面上具有最大正应力# # 轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应

32、轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应力状态，横截面上正应立即为最大主应力力状态，横截面上正应立即为最大主应力力状态，横截面上正应立即为最大主应力力状态，横截面上正应立即为最大主应力# # 扭转时圆柱面上任意扭转时圆柱面上任意扭转时圆柱面上任意扭转时圆柱面上任意一点处于纯剪切状态，一点处于纯剪切状态，一点处于纯剪切状态，一点处于纯剪切状态，主应力与横截面成主应力与横截面成主应力与横截面成主应力与横截面成4545 结论：铸铁属于拉伸破坏结论：铸铁属于拉伸破坏结论：铸铁属于拉伸破坏结论：铸铁属于拉伸破坏7-5 7-5 强度理论强度理论1、强度理论的概念、强度理论的概念对于单向应力状态，比如轴向拉压，对

33、于单向应力状态，比如轴向拉压，其强度条件为：其强度条件为：对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各个方向的应力的共同作用个方向的应力的共同作用个方向的应力的共同作用个方向的应力的共同作用材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种

34、关系？长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，常用的有常用的有4种种2、常用的强度理论的概念、常用的强度理论的概念（1 1）最大拉应力理论（）最大拉应力理论（）最大拉应力理论（）最大拉应力理论（第一强度理论第一强度理论第一强度理论第一强度理论）观点：观点：观点：观点：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应力是主要破坏因素力是主要破坏因素脆性

35、材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂没有考虑第没有考虑第2、3主应主应力的影响力的影响（2 2）最大伸长线应变理论（）最大伸长线应变理论（）最大伸长线应变理论（）最大伸长线应变理论（第二强度理论第二强度理论第二强度理论第二强度理论）观点：观点：观点：观点：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 是是主要破坏因素主要破坏因素脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂考虑第考虑第2、3主应主应

36、力的影响力的影响极限应变极限应变（3 3）最大切应力理论（）最大切应力理论（）最大切应力理论（）最大切应力理论（第三强度理论第三强度理论第三强度理论第三强度理论）观点：观点：观点：观点：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，即认为无论是单向或复杂应力状态，即认为无论是单向或复杂应力状态，即认为无论是单向或复杂应力状态， 是主是主是主是主要破坏因素要破坏因素要破坏因

37、素要破坏因素根据应力状态分析根据应力状态分析根据应力状态分析根据应力状态分析低碳钢拉伸斜截低碳钢拉伸斜截低碳钢拉伸斜截低碳钢拉伸斜截面最大剪应力面最大剪应力面最大剪应力面最大剪应力计入安全系数计入安全系数计入安全系数计入安全系数（4 4）形状改变比能理论（）形状改变比能理论（）形状改变比能理论（）形状改变比能理论（第四强度理论第四强度理论第四强度理论第四强度理论）观点：观点：观点：观点：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：形状改变比能形状改变比能形状改变比能形状改变比能 是引起材料屈服破坏的主要因是引起材料屈服破坏的主要因是引起材料屈服破坏的主要因是

38、引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 是是是是主要破坏因素主要破坏因素主要破坏因素主要破坏因素轴向拉伸轴向拉伸轴向拉伸轴向拉伸综合四个强度理论综合四个强度理论相当应力相当应力相当应力相当应力一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下塑性材料宜采用第三、第四强度理论塑性材料宜采用第三、第四强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论 但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂

39、形式破坏，向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。度理论。复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式式中：式中：n-构件的工作安全系数；构件的工作安全系数； n-构件的许用安全系数；构件的许用安全系数； 0- 材料的材料的极限应力；极限应力； eq-相当应力；相当应力；（1）通过受力分析确定构件的外力、

40、内力、危险截面。）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力）选用适当的强度理论计算相当应力 eq。（5）确定材料的许用拉应力）确定材料的许用拉应力 ，将其与，将其与 eq比较。比较。3、应用强度理论的解题步骤、应用强度理论的解题步骤4、强度理论的应用举例、强度理论的应用举例薄壁容器的强度计算薄壁容器的强度计算由横向截面上的静力平衡条件由横向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件由纵

41、向截面上的静力平衡条件因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论用第三或第四强度理论 例例例例7-37-3已已知知一一容容器器内内压压 p = 4MPa,平平均均直直径径D =1500mm，壁壁厚厚 = 30mm、 = 120MPa，试校核筒壁的强度。试校核筒壁的强度。因这是一个薄壁圆筒，因这是一个薄壁圆筒，因这是一个薄壁圆筒，因这是一个薄壁圆筒，且是塑性材料，故可采且是塑性材料，故可采且是塑性材料，故可采且是塑性材料，故可采用最大剪应力理论。用最大剪应力理论。用最大剪应力理论。用最大剪应力理论。筒壁的强度满足条件筒壁的强度满足条件筒壁的强度满

42、足条件筒壁的强度满足条件先计算先计算先计算先计算 oxy oxy 平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后计算工作安全系数计算工作安全系数计算工作安全系数计算工作安全系数例例例例7-47-4 从某构件的危险点处取出一单元体如图从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a 所示，已所示，已知钢材的屈服点知钢材的屈服点 s = 280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变试按最大剪应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。比能理论计算构件的工作安全系数。（1 1）求主应力）求主应力）求主应力）求主应力（2 2）计算工作安全系数）计算工作安全系数）计算工作

43、安全系数）计算工作安全系数通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。尺寸也要大一些。尺寸也要大一些。尺寸也要大一些。第八章第八章组合变形组合变形本章内容本章内容 组合变形的概念组合变形的概念 拉伸与弯曲的组合拉伸与弯曲的组合 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合

44、8-1 8-1 组合变形的概念组合变形的概念在外力的作用下，构件若同时产生两种或在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是两种以上基本变形的情况，就是组合变形组合变形在小变形和线弹性的前提下，可以采用在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）加）RAHATCABP24kN_NB2m1m1.5mPACTxTy12kNm_M举例举例叠加原理应用的基本步骤：叠加原理应用的基本步骤：将载荷进行分

45、解，得到与原载荷等效的几将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形只产生一种基本变形分析每种载荷的内力，确定危险截面分析每种载荷的内力，确定危险截面分别计算构件在每种基本变形情况下的危分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力险截面内的应力将各基本变形情况下的应力叠加，确定最将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点危险点选择强度理论，对危险点进行强度校核选择强度理论，对危险点进行强度校核8-2 8-2 弯曲与拉伸的组合弯曲与拉伸的组合杆件在外力作用下同杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸时产生弯曲和拉伸

46、（压缩）变形称为弯（压缩）变形称为弯曲与拉伸的组合曲与拉伸的组合偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形链环受力链环受力链环受力链环受力立柱受力立柱受力立柱受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析拉伸与弯曲组合的应力分析在在Px作用下：作用下：在在Py作用下：作用下：危险截面处的弯矩危险截面处的弯矩危险截面处的弯矩危险截面处的弯矩抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量根据叠加原理，可得根据叠加原理，可得根据叠加原理，可得根据叠加原理，可得 x x 横截面上的总应力为横截面上的总应力为横截面上的总应力为横截面上的总应力为强度条件为强度条件为例例例例8-18-

47、18-18-1 悬臂吊车悬臂吊车悬臂吊车悬臂吊车, ,横梁由横梁由横梁由横梁由 25 25 a a 号号号号工字钢制成，工字钢制成，工字钢制成，工字钢制成，l l=4=4mm，电葫芦重电葫芦重电葫芦重电葫芦重Q Q1 1=4=4kNkN，起重量起重量起重量起重量Q Q2 2=20=20kNkN, , =30 , =30 , =100=100MPaMPa，试校核强度。试校核强度。试校核强度。试校核强度。取横梁取横梁取横梁取横梁ABAB为研究对象，受力如为研究对象，受力如为研究对象，受力如为研究对象，受力如图图图图b b所示。所示。所示。所示。梁梁梁梁 上载荷为上载荷为上载荷为上载荷为 P P =

48、 =Q Q1 1+ +Q Q2 2 = 24= 24kNkN，斜杆的拉力斜杆的拉力斜杆的拉力斜杆的拉力S S 可分解为可分解为可分解为可分解为X XB B和和和和Y YB B（1 1）外力计算）外力计算）外力计算）外力计算横梁在横向力横梁在横向力横梁在横向力横梁在横向力P P和和和和Y YA A、Y YB B作用下作用下作用下作用下产生弯曲；同时在产生弯曲；同时在产生弯曲；同时在产生弯曲；同时在X XA A和和和和X XB B作用下作用下作用下作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与产生轴向压缩。这是一个弯曲与产生轴向压缩。这是一个弯曲与产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。压缩组合的构件。压

49、缩组合的构件。压缩组合的构件。 当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。（2 2）内力和应力计算）内力和应力计算）内力和应力计算）内力和应力计算由横梁的弯矩图可知在梁中点截面由横梁的弯矩图可知在梁中点截面由横梁的弯矩图可知在梁中点截面由横梁的弯矩图可知在梁中点截面上的弯矩最大上的弯矩最大上的弯矩最大上的弯矩最大从型钢表上查从型钢表上查从型钢表上查从型钢表上查 2525a a 号工字钢号工字钢号工字钢号工字钢则危险截面上的压应力为

50、则危险截面上的压应力为则危险截面上的压应力为则危险截面上的压应力为 横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为（3 3）强度校核）强度校核）强度校核）强度校核此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的例例例例8-28-28-28-2 钻床钻床钻床钻床 P P =15=15kNkN， e e = = 4040cmcm， T T=35=35MPaMPa ,

51、, C C=120=120MPaMPa. . . .试计算铸铁立柱所需的直径。试计算铸铁立柱所需的直径。试计算铸铁立柱所需的直径。试计算铸铁立柱所需的直径。 （1 1）计算内力）计算内力）计算内力）计算内力将立柱假想地截开，取上段为将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为立柱的轴力和弯矩分别为（2 2）选择立柱直径）选择立柱直径）选择立柱直径）选择立柱直径 求解求解d的三次方程的三次方程满足强度条件，最后选用立柱直满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径

52、取取取取d d=12.5cm=12.5cm, ,再代再代再代再代入偏心拉伸的强入偏心拉伸的强入偏心拉伸的强入偏心拉伸的强度条件校核度条件校核度条件校核度条件校核设计中常采用的简便方法：设计中常采用的简便方法：设计中常采用的简便方法：设计中常采用的简便方法： 因为偏心距较大，弯曲应力因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强是主要的，故先考虑按弯曲强度条件度条件 设计截面尺寸设计截面尺寸 由于钢板在截面由于钢板在截面由于钢板在截面由于钢板在截面1-11-1处处处处有一半圆槽有一半圆槽有一半圆槽有一半圆槽 ，因而外，因而外，因而外，因而外力力力力P P对此截面为偏心拉对此截面为偏心拉对此截

53、面为偏心拉对此截面为偏心拉伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为截面截面截面截面1-11-1的轴力和弯矩的轴力和弯矩的轴力和弯矩的轴力和弯矩分别为分别为分别为分别为例例例例8-38-3 一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b=8cm, 厚度厚度 =1cm, 槽半径槽半径 r=1cm, P=80kN, 钢板许用应力钢板许用应力 =140MPa。试对此钢板进试对此钢板进行强度校核。行强度校核。轴力轴力轴力轴力N N 和弯矩在半圆槽底部和弯矩在半圆槽底部和弯矩在半圆槽底部和弯矩在半圆槽底部的的的的 a a 点处都引起拉应力（图点处都引起

54、拉应力（图点处都引起拉应力（图点处都引起拉应力（图b b) )，a a点点点点即为危险点。最大即为危险点。最大即为危险点。最大即为危险点。最大应力为应力为应力为应力为计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面1-11-1处的强度不够。处的强度不够。处的强度不够。处的强度不够。 由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩伸而引起的弯矩伸而引起的弯矩伸而引起的弯矩PePe，使截面，使截面，使

55、截面，使截面1-11-1的应力显著增加的应力显著增加的应力显著增加的应力显著增加 。为。为。为。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图c c。这样就避免了偏心拉。这样就避免了偏心拉。这样就避免了偏心拉。这样就避免了偏心拉伸伸伸伸。此时钢板在截面此时钢板在截面此时钢板在截面此时钢板在截面1-11-1处处处处满足强度条件。满足强度条件。满足强度条件。满足强度

56、条件。此此此此时时时时截截截截面面面面1-11-1上上上上的的的的应应应应力力力力( (如图如图如图如图d d) )为为为为8-2 8-2 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合1. 弯扭组合是工程中常见的变形组合形式弯扭组合是工程中常见的变形组合形式2. 弯扭组合常用计算公式的建立弯扭组合常用计算公式的建立 将力将力将力将力P P向向向向A A端面形心平移，得到端面形心平移，得到端面形心平移，得到端面形心平移，得到一横向力一横向力一横向力一横向力P P和矩为和矩为和矩为和矩为T TA A= =PRPR的力偶，的力偶，的力偶，的力偶，杆杆杆杆ABAB受力情况如图受力情况如图受力情况如图受力情况如图b

57、 b。圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图c c、d d危险截面在杆的根部（固定端）危险截面在杆的根部（固定端）危险截面在杆的根部（固定端）危险截面在杆的根部（固定端）在杆的根部取一单元体分析在杆的根部取一单元体分析在杆的根部取一单元体分析在杆的根部取一单元体分析计算主应力计算主应力计算主应力计算主应力第三、第四强度理论第三、第四强度理论第三、第四强度理论第三、第四强度理论 例例例例8-48-4 手摇绞车手摇绞车手摇绞车手摇绞车 d d=3=3cmcm, , D D=36=36cmcm，l l = =8080cmcm， =80=80M

58、PaMPa. .按第三强度理按第三强度理按第三强度理按第三强度理论计算最大起重量论计算最大起重量论计算最大起重量论计算最大起重量Q.Q.将将载载荷荷Q向向轮轮心心平平移移，得得到到作作用用于于轮轮心心的的横横向向力力Q和和一一个个附附加加的的力力偶偶，其其矩矩为为TC=QD/2 。轴轴的的计计算算简简图图如如图图b所示。所示。 （1 1）外力分析）外力分析）外力分析）外力分析绞车轴的弯矩图和扭矩图如图绞车轴的弯矩图和扭矩图如图c、d所示。所示。（2 2）作内力图）作内力图）作内力图）作内力图 由由图图可可见见危危险险截截面面在在轴轴的的中中点点C处处，此此截截面面的的弯弯矩矩和和扭扭矩分别为：

59、矩分别为：（3 3）求最大安全载荷）求最大安全载荷）求最大安全载荷）求最大安全载荷 即最大安全载荷为即最大安全载荷为即最大安全载荷为即最大安全载荷为790N790N。圆轴双向弯曲的弯矩问题圆轴双向弯曲的弯矩问题xyzPxPyPzPMzMyL 1 公式仅对圆轴复合弯公式仅对圆轴复合弯曲适用曲适用 2 公式可用于任何受力公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分形式的圆轴的复合弯曲部分 3 平面弯曲可看成它的平面弯曲可看成它的特例特例PyPzM=PLzy例例例例8-58-5 某齿轮轴，某齿轮轴，某齿轮轴，某齿轮轴，n n=265r/=265r/minmin、N NK K=10=10kWkW、D D

60、1 1=396=396mmmm，D D2 2=168=168mmmm， =20=20o o ， d d=50=50mmmm， = 50 50MPaMPa。校核轴的强度。校核轴的强度。校核轴的强度。校核轴的强度。 取取一一空空间间坐坐标标系系Oxyz,将将啮啮合合力力P1、P2分分解解为为切切向向力力P1z 、 P2y和和径径向向力力 P1y 、 P2z ，它它们们分分别别平平行行于于y轴轴和和z轴轴。再再将将两两个个切切向向力力分分别别向向齿齿轮轮中中心心平平移移，亦亦即即将将P1z、P2y平平行行移移至至轴轴上上，同同时加一附加力偶时加一附加力偶。先将结构受力图进行简化先将结构受力图进行简化

61、TC和和TD使轴产生扭转，使轴产生扭转，P1y、P2y和和P1z、P2z则分别使轴在平则分别使轴在平面面Oxy和和Oxz内发生弯曲内发生弯曲（1 1）计算外力）计算外力）计算外力）计算外力（2 2）作内力图、）作内力图、）作内力图、）作内力图、并确定危险截面并确定危险截面并确定危险截面并确定危险截面平面在平面在平面在平面在OxzOxz内，由平内，由平内，由平内，由平衡条件可求得轴承衡条件可求得轴承衡条件可求得轴承衡条件可求得轴承A A、B B处的支座反力为：处的支座反力为：处的支座反力为：处的支座反力为： 画出平面画出平面Oxz内的内的弯矩弯矩 My 图，如图图，如图 d 中中的水平图形。的水

62、平图形。 同样，可求得在平同样，可求得在平同样，可求得在平同样，可求得在平面面面面OxyOxy内轴承内轴承内轴承内轴承A A、B B处的处的处的处的支座反力为：支座反力为：支座反力为：支座反力为： 在平面在平面在平面在平面OxyOxy内的弯内的弯内的弯内的弯矩矩矩矩MMz z图，如图图，如图图，如图图，如图d d中的铅中的铅中的铅中的铅垂图形。画出轴的扭矩垂图形。画出轴的扭矩垂图形。画出轴的扭矩垂图形。画出轴的扭矩图如图图如图图如图图如图c c所示。所示。所示。所示。这是双向弯曲，求出合弯矩这是双向弯曲，求出合弯矩这是双向弯曲，求出合弯矩这是双向弯曲，求出合弯矩 M M 为为为为由比较知，在截

63、面由比较知，在截面D上的合成上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：此处同时存在的扭矩为：（3 3）强度校核）强度校核）强度校核）强度校核故轴满足强度条件故轴满足强度条件第九章第九章压杆稳定压杆稳定本章内容本章内容 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 细长压杆的临界力细长压杆的临界力 欧拉公式的适用范围，中、小柔度欧拉公式的适用范围，中、小柔度 杆的临界应力杆的临界应力 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念细长杆在轴向压力作细长杆在轴向压力作用下，如果横向受到用下，如果横向受到干扰力，

64、由于轴线不干扰力，由于轴线不能维持原有直线形状能维持原有直线形状的平衡状态的平衡状态, 突然产突然产生显著的弯曲生显著的弯曲,致使致使杆件失去工作能力的杆件失去工作能力的现象称为现象称为失稳失稳。细长杆承受轴向压力的工况是很多见的细长杆承受轴向压力的工况是很多见的因此，有必要研究细长压杆的稳定性问题因此，有必要研究细长压杆的稳定性问题当压力当压力P P 增大到某一数值增大到某一数值PcrPcr 时，稍受横向力的干时，稍受横向力的干扰，杆即变弯，不再恢复扰，杆即变弯，不再恢复原有的直线形状，而处于原有的直线形状，而处于弯曲平衡状态；如弯曲平衡状态；如P P值再值再稍有增加，杆的弯曲变形稍有增加，

65、杆的弯曲变形显著增大，甚至最后造成显著增大，甚至最后造成破坏，这种不能保持原有破坏，这种不能保持原有直线形状的平衡是直线形状的平衡是不稳定不稳定的平衡的平衡。如图。如图9-29-2d d. . 稳定平衡与不稳定平衡稳定平衡与不稳定平衡 考察一根细长压杆，当压力考察一根细长压杆，当压力考察一根细长压杆，当压力考察一根细长压杆，当压力P P 不大时，干扰力一旦撤去，不大时，干扰力一旦撤去，不大时，干扰力一旦撤去，不大时，干扰力一旦撤去，杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图杆经过若干次振动后，

66、仍回复到原来的直线形状，如图9-29-2c c, ,这种保持原有直线形状的平衡是这种保持原有直线形状的平衡是这种保持原有直线形状的平衡是这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡稳定的平衡稳定的平衡稳定的平衡。压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以称为使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲纵弯曲。这种丧失稳定的现象这种丧失稳定的现象 也称为也称为屈曲屈曲。9-2 9-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力压力压力 Pcr 称为压杆的称为压杆的临界力临界力或称为或称为临界载荷临界载荷。1. 1.两端铰支压杆的临界力两端铰支压杆的临界力两端铰支压杆的临界力两

67、端铰支压杆的临界力 方程的通解方程的通解方程的通解方程的通解边界条件为边界条件为边界条件为边界条件为取取 n =12 2、其他约束情况下压杆的临界力其他约束情况下压杆的临界力其他约束情况下压杆的临界力其他约束情况下压杆的临界力式中：式中： -为不同约束条件下压杆的长度系数为不同约束条件下压杆的长度系数 l-为相当长度为相当长度将各类压杆的临界力写作一个通式将各类压杆的临界力写作一个通式9-3 9-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围中小柔度杆的临界应力中小柔度杆的临界应力1.临界应力和柔度临界应力和柔度临界应力可用临界力临界应力可用临界力临界应力可用临界力临界应力可用临界力PcrPcr 除

68、除除除以横截面面积以横截面面积以横截面面积以横截面面积A A 来求得。来求得。来求得。来求得。令令令令式中，式中，式中，式中，r ry y和和和和r r r rz z z z 分别称为截面图形对分别称为截面图形对分别称为截面图形对分别称为截面图形对y y y y轴和轴和轴和轴和z z z z轴的惯性半轴的惯性半轴的惯性半轴的惯性半径。径。径。径。式中式中式中式中: : - -称为压杆的柔度或长细称为压杆的柔度或长细称为压杆的柔度或长细称为压杆的柔度或长细比比比比压杆压杆压杆压杆临界应力的计算公式：临界应力的计算公式：临界应力的计算公式：临界应力的计算公式：令令令令2.欧拉公式的适用范围欧拉公式

69、的适用范围欧拉双曲线欧拉双曲线欧拉双曲线欧拉双曲线压杆的临界应力图压杆的临界应力图比例极限的柔度比例极限的柔度比例极限的柔度比例极限的柔度值值值值：当当 p时，欧时，欧拉公式才适用。拉公式才适用。这类压杆称为这类压杆称为大柔度杆或细大柔度杆或细长杆。长杆。3. 3. 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力欧拉双曲线欧拉双曲线欧拉双曲线欧拉双曲线压杆的临界应力图压杆的临界应力图经验公式：经验公式：经验公式：经验公式：经验公式的经验公式的经验公式的经验公式的适用范围：适用范围：适用范围：适用范围：小柔度杆小柔度杆小柔度杆小柔度杆实际是强度问题实际是

70、强度问题实际是强度问题实际是强度问题一些常用材料的一些常用材料的一些常用材料的一些常用材料的a a、b b值：值：值：值：例例9-2 截面为截面为12 20cm2 2, ,l = 7= 7m, ,E E = 10= 10GPa, ,试求木柱的临界试求木柱的临界力和临界应力。力和临界应力。如图（如图（a）, ,截面的惯性矩应为截面的惯性矩应为两端铰接时，长度系数两端铰接时，长度系数因因 p p故可用欧拉公式计算。故可用欧拉公式计算。（1 1）计算最大刚度平面的临界力和临界应力）计算最大刚度平面的临界力和临界应力其柔度为其柔度为如图（如图（b b）, ,截面的惯性矩为截面的惯性矩为两端固定时长度系

71、数两端固定时长度系数应用经验公式计算其临界应力应用经验公式计算其临界应力, ,查表得查表得 a = 29.3= 29.3MPa, ,b b = 0.194= 0.194MPa, ,则则（2）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。柔度为柔度为9-4 9-4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆稳定条件为：压杆稳定条件为：式中：式中：式中：式中：P P压杆的工作压力；压杆的工作压力；压杆的工作压力；压杆的工作压力； P Pcrcr-压杆的临界力；压杆的临界力；压杆的临界力；压杆的临界力； n n n nc c c c-压杆的压杆的压杆的压杆的工作稳定安全系数工作

72、稳定安全系数工作稳定安全系数工作稳定安全系数 n nc c 规定的稳定安全系数。规定的稳定安全系数。规定的稳定安全系数。规定的稳定安全系数。（1）计算柔度）计算柔度查得查得4545钢的钢的 s s=60=60， p p=100=100， s s p p，属于中柔度杆。，属于中柔度杆。（2）计算临界力，校核稳定）计算临界力，校核稳定查表得查表得a=589=589MPa, ,b=3.82=3.82MPa, ,得丝杠得丝杠临界力为临界力为此丝杠的工作稳定此丝杠的工作稳定安全系数为安全系数为校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的。校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的。9-5 9-5 提高压杆稳定性措施提高压

73、杆稳定性措施1 1、减小压杆的支承长度、减小压杆的支承长度、减小压杆的支承长度、减小压杆的支承长度2 2、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆稳定的概念小小 结结 临界力临界力临界力临界力P Pcrcr 临界应力临界应力临界应力临界应力 crcr强度问题强度问题在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原有直线形状的平衡状态有直线形状的平衡状态有直线形状的平衡状态有直线形状的平衡状态, , 突

74、然产生显著的弯曲突然产生显著的弯曲突然产生显著的弯曲突然产生显著的弯曲, ,致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。压杆稳定条件为压杆稳定条件为压杆稳定计算注意事项压杆稳定计算注意事项根据约束确定长度系数根据约束确定长度系数 要考虑不同平面内的弯曲，取要考虑不同平面内的弯曲，取 大者计算大者计算根据长度系数根据长度系数 的大小确定计算公式的大小确定计算公式柔度的概念，如何确定压杆的柔度柔度的概念，如何确定压杆的柔度材料力学材料力学材料力学材料力学试验试验试验试验一、拉伸试验一、拉伸试验二、压

75、缩试验二、压缩试验四、组合变形试验四、组合变形试验三、纯弯曲试验三、纯弯曲试验一、试验目的：一、试验目的：1测定低碳钢拉伸弹性模量测定低碳钢拉伸弹性模量E；2测定低碳钢拉伸机械性能测定低碳钢拉伸机械性能( s、 b 、 、 y y )；3测定灰铸铁拉伸强度测定灰铸铁拉伸强度 b；二、试验仪器：二、试验仪器：1万能材料试验机万能材料试验机；2杠杆引伸仪杠杆引伸仪；3游标卡尺游标卡尺；拉拉拉拉 伸伸伸伸 试试试试 验验验验标点标点L0标距标距d0三、试件：三、试件：1材料类型材料类型： 低碳钢低碳钢： 灰铸铁灰铸铁：2标准试件标准试件：塑性材料的典型代表；塑性材料的典型代表；脆性材料的典型代表脆性

76、材料的典型代表；标距标距：用于测试的等截面部分长度；：用于测试的等截面部分长度；尺寸符合国标的试件尺寸符合国标的试件；圆截面试件标距：圆截面试件标距：L0=10d0或或5d0试验机读数表盘试验机读数表盘主动指针：反映载荷瞬时大小主动指针：反映载荷瞬时大小；被动指针：反映最大载荷被动指针：反映最大载荷；拉拉拉拉 伸伸伸伸 试试试试 验验验验四、试验原理：四、试验原理：1低碳钢拉伸弹性模量低碳钢拉伸弹性模量E：OPD D LD D PLPD D L等量逐级加载法等量逐级加载法：D D P (D D L)1 (D D L)2拉拉拉拉 伸伸伸伸 试试试试 验验验验2测定低碳钢拉伸机械性能测定低碳钢拉伸

77、机械性能( s、 b 、 、 y y )；OPD D LPePpPsPb线弹性阶段线弹性阶段屈服阶段屈服阶段强化阶段强化阶段颈缩阶段颈缩阶段屈服极限屈服极限：强度极限强度极限：冷作硬化冷作硬化延伸率延伸率：断面断面收缩率收缩率：拉拉拉拉 伸伸伸伸 试试试试 验验验验低碳钢拉伸试验现象低碳钢拉伸试验现象：屈服：屈服：颈缩：颈缩：断裂：断裂： max引起引起拉拉拉拉 伸伸伸伸 试试试试 验验验验3测定灰铸铁拉伸机械性能测定灰铸铁拉伸机械性能 b；OPD D L强度极限强度极限：Pb拉拉拉拉 伸伸伸伸 试试试试 验验验验一、试验目的：一、试验目的：1测定低碳钢压缩屈服极限测定低碳钢压缩屈服极限 s-

78、 -；2测定灰铸铁压缩强度极限测定灰铸铁压缩强度极限 b- -；二、试验仪器：二、试验仪器： 万能材料试验机万能材料试验机；三、试件：三、试件：标准试件标准试件：d0h0粗短圆柱体：粗短圆柱体：h0=13d0压压压压 缩缩缩缩 试试试试 验验验验四、试验原理：四、试验原理：1测定低碳钢压缩屈服极限测定低碳钢压缩屈服极限 s- -；OPD D LPs- -屈服极限屈服极限：拉伸试验拉伸试验压压压压 缩缩缩缩 试试试试 验验验验低碳钢压缩试验现象低碳钢压缩试验现象：低碳钢压缩变扁，不会断裂，由于两低碳钢压缩变扁，不会断裂，由于两端摩擦力影响，形成端摩擦力影响，形成“腰鼓形腰鼓形”。压压压压 缩缩缩

79、缩 试试试试 验验验验2测定灰铸铁压缩强度极限测定灰铸铁压缩强度极限 b- -；OPD D L强度极限强度极限：拉伸试验拉伸试验Pb- -灰铸铁压缩灰铸铁压缩试验现象试验现象： max引起引起压压压压 缩缩缩缩 试试试试 验验验验一、试验目的：一、试验目的：1测定低碳钢名义剪切强度极限测定低碳钢名义剪切强度极限 b；2测定灰铸铁名义剪切强度极限测定灰铸铁名义剪切强度极限 b；二、试验仪器：二、试验仪器： 万能材料试验机、剪切器万能材料试验机、剪切器；三、试件：三、试件：试件试件：剪剪剪剪 切切切切 试试试试 验验验验四、试验原理：四、试验原理：名义剪切名义剪切强度极限强度极限：双剪双剪： 试件

80、有两个剪切面；试件有两个剪切面；Pb剪剪剪剪 切切切切 试试试试 验验验验低碳钢剪切试验现象低碳钢剪切试验现象：灰铸铁剪切试验现象灰铸铁剪切试验现象：剪切、挤压、剪切、挤压、弯曲弯曲引起引起弯曲拉应力弯曲拉应力引起引起剪剪剪剪 切切切切 试试试试 验验验验一、试验目的：一、试验目的：1测定低碳钢剪切弹性模量测定低碳钢剪切弹性模量G；2测定低碳钢剪切屈服极限测定低碳钢剪切屈服极限 s、剪切强度极限剪切强度极限 b；3测定灰铸铁剪切强度极限测定灰铸铁剪切强度极限 b；二、试验仪器：二、试验仪器：1扭转试验机扭转试验机；2扭角仪扭角仪；4分析比较低碳钢和灰铸铁两种材料的破坏情况分析比较低碳钢和灰铸铁

81、两种材料的破坏情况；扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验三、试件：三、试件：1测测低碳钢低碳钢G采用自制试件：采用自制试件：dl2测测低碳钢低碳钢 s、 b、灰铸铁、灰铸铁 b采用标准试件：采用标准试件：d0扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验四、试验原理：四、试验原理：1低碳钢低碳钢剪切弹性模量剪切弹性模量G：OMnj jdbalPPDD等量逐级加载法：等量逐级加载法：扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验2测定低碳钢剪切屈服极限测定低碳钢剪切屈服极限 s、剪切强度极限剪切强度极限 b；OMnj jMbMsMn Msr rdr rMn= Ms剪切屈剪切屈服极限：服极限：剪切强剪切强度极限

82、：度极限：Mn= Mb s s b b扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验低碳钢扭转试验现象低碳钢扭转试验现象：屈服：屈服： max引起引起断裂：断裂：扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验3测定灰铸铁剪切强度极限测定灰铸铁剪切强度极限 b；剪切强剪切强度极限：度极限：OMnj jMb灰铸铁扭转试验现象灰铸铁扭转试验现象：断裂：断裂：拉应力拉应力引起引起扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验一、电阻应变片：一、电阻应变片：引出线引出线电阻丝电阻丝(丝栅丝栅)基底基底由试验发现：由试验发现：L应变片应变片PPL+D D Lk：电阻应变片的：电阻应变片的 灵敏度系数灵敏度系数应变片应变片：将机械

83、量：将机械量(应变应变)转换为转换为 电量电量(电阻电阻)的传感器的传感器电阻应变片种类：电阻应变片种类：丝式丝式( (绕线式绕线式) )、箔式、半导体式、箔式、半导体式电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理二、电阻应变仪：二、电阻应变仪：应变测量原理应变测量原理：利用电桥平衡测量电阻改变，利用电桥平衡测量电阻改变，从而进一步得到应变。从而进一步得到应变。BADCER1R2R3R4电桥平衡电桥平衡(UBD=0)：若若R1R4为四个为四个阻值相同阻值相同应变片，应变片，受力后，受力后，BD间电压改变为：间电压改变为：电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理两种接

84、法中的应变片型号、阻值尽可能相同两种接法中的应变片型号、阻值尽可能相同或接近，固定电阻与应变片阻值也应接近。或接近，固定电阻与应变片阻值也应接近。1电桥接法电桥接法：由于温度对电阻值变化影响很由于温度对电阻值变化影响很大，利用电桥特性，可以采用大，利用电桥特性，可以采用适当的方法消除这种影响。适当的方法消除这种影响。三、电桥接法及温度补偿：三、电桥接法及温度补偿：2温度补偿温度补偿：全桥接法全桥接法( (四个电阻均为应变片四个电阻均为应变片) )；半桥接法半桥接法(R1、R2为应变片，为应变片， R3、R4为固定电阻为固定电阻)电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理BADCE

85、R1R2R3R4工作片工作片温度补偿片温度补偿片固定电阻固定电阻相同应变片相同应变片R1、R2，R1贴贴在构件受力处，在构件受力处，R2贴在附贴在附近不受力处，环境温度对近不受力处，环境温度对R1、R2引起的阻值变化相引起的阻值变化相同，为同，为D D RT，则，则电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理PP1单向应力状态单向应力状态：四、几种常见应力状态下的布片方式及应力计算：四、几种常见应力状态下的布片方式及应力计算：轴向拉压、纯弯曲，横力弯曲上下缘轴向拉压、纯弯曲，横力弯曲上下缘PPR1R2R1R2温度自补偿，测量温度自补偿，测量电压得到有效放大：电压得到有效放大：电测法

86、基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理2已知主应力方向的二向已知主应力方向的二向应力状态应力状态：扭转、横力弯曲的中性轴、均匀内压的薄壁圆筒扭转、横力弯曲的中性轴、均匀内压的薄壁圆筒R2R1aR1b45o45o沿已知主应力方向贴沿已知主应力方向贴片，还采用半桥接法，片，还采用半桥接法，工作片通过转换开关工作片通过转换开关轮流接入电桥测量，轮流接入电桥测量，温度补偿只需一片温度补偿只需一片电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理3不知主应力方向的二向不知主应力方向的二向应力状态应力状态：45o3应变花：应变花：90o0o45o电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理

87、电测法基本原理120o0o60o60o3应变花：应变花：电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理电测法基本原理2YJ28APIOR型静态型静态数字电阻应变仪数字电阻应变仪；一、试验目的：一、试验目的：1测定纯弯曲下矩形截面梁横截面上正应力的测定纯弯曲下矩形截面梁横截面上正应力的 分布规律，并与理论值比较分布规律，并与理论值比较；2熟悉电测法基本原理和电阻应变仪的使用熟悉电测法基本原理和电阻应变仪的使用；二、试验仪器：二、试验仪器：1纯弯曲试验装置纯弯曲试验装置；矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲三、试验原理：三、试验原理：1结构示意图及理论值计算：结构示

88、意图及理论值计算：hbPP/2P/2aa+- -QP/2P/2MPa/2+mmmm截面：截面：纯弯曲纯弯曲zy矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲2布片示意图及试验值：布片示意图及试验值：0011112222温度补偿片温度补偿片D D P3等量逐级加载法等量逐级加载法：矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲矩形截面梁的纯弯曲一、试验目的：一、试验目的：1用电测法测定平面应力状态下一点主应力的用电测法测定平面应力状态下一点主应力的 大小及方向大小及方向；2测定薄壁圆管在弯扭组合变形作用下，分别测定薄壁圆管在弯扭组合变形作用下，分别 由弯矩、剪力

89、和扭矩所引起的应力由弯矩、剪力和扭矩所引起的应力；二、试验仪器：二、试验仪器：1弯扭组合试验装置弯扭组合试验装置；2YJ28APIOR型静态型静态数字电阻应变仪数字电阻应变仪；薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形三、试验原理：三、试验原理：1结构示意图：结构示意图：alPIIII截面截面dD薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形II截截面内力：面内力：2布片示意图：布片示意图：ABCDA、B、C、D四点四点各贴各贴- -45o、0o、45o应变花应变花薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变

90、形薄壁圆管弯扭组合变形DR12R11R10CR9R8R7BR6R5R4AR3R2R1约定约定蓝蓝线应变片为线应变片为- -45o ，白白线为线为0o ，绿绿线为线为45o主应力大小：主应力大小：主应力方向：主应力方向： 是主应力与圆管是主应力与圆管轴线的夹角轴线的夹角薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形3等量逐级加载法等量逐级加载法：4指定点指定点(B、D)的主应力大小及方向：的主应力大小及方向：共用温度补偿片的半桥接法，一个载荷水共用温度补偿片的半桥接法，一个载荷水平下分别测平下分别测B、D两点两点6个应变片的应变值个应变片的应变值1)试验值试验值

91、：薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形2)理论值理论值(以以B点为例点为例)：B 内力内力应力应力按平面应力状态分析得到：按平面应力状态分析得到： 1、 2、 3、 0分分别与试验值比较别与试验值比较薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形5弯矩、扭矩及剪力各自引起应力的测量：弯矩、扭矩及剪力各自引起应力的测量：1)由于电桥特性均可以自补偿，不需要温度补偿片由于电桥特性均可以自补偿，不需要温度补偿片：2)弯矩弯矩M引起正应力的测量引起正应力的测量：BADCR5R11取圆筒上下取圆筒上下(B、D)两点两点0o应应

92、变片接成半桥线路变片接成半桥线路薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形3)扭矩扭矩Tn引起剪应变的测量引起剪应变的测量：取圆筒前后取圆筒前后(A、C)两点两点- -45o、 45o四个应变片接成全桥线路四个应变片接成全桥线路BADCR3R1R7R9R3R1AR7R9CQTnAC薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形由虎克定律得由虎克定律得薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形4)剪力剪力Q引起剪应变的测量引起剪应变的测量：仍取仍取A、C两点两点- -45o、 45o四个四个应变片接成全桥线路，与应变片接成全桥线路，与3)不不同在于同在于R9、R7换位换位BADCR3R1R9R7R3R1AR7R9CQTn1)II截面内力增量：截面内力增量：薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形6相关理论值计算：相关理论值计算：2)II截面应力增量：截面应力增量：3)应变增量：应变增量：aa6纯剪切应力状态纯剪切应力状态g g 与与e e 1关系的另一推导：关系的另一推导：薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形薄壁圆管弯扭组合变形g gxD D l