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1、2.2.1圆的标准方程圆的标准方程问题：问题： (1) 求到点求到点C(1, 2)距离为距离为2的点的轨迹方程的点的轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是表示的曲线是什么？什么？ 以点以点C(1, 2)为圆心，为圆心， 2为半径的圆为半径的圆.1.圆的定义：圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的点的集平面内与定点的距离等于定长的点的集合合(轨迹轨迹)叫做圆叫做圆. 2.圆的标准方程圆的标准方程: 求圆心为求圆心为C(a, b), 半径为半径为r的圆的方程的圆的方程. (x a)2 + ( y b)2 = r2
2、 称之为称之为圆的标准方程圆的标准方程.3. 特殊位置的圆的方程特殊位置的圆的方程: 圆心在原点圆心在原点: x2 + y2 = r2 圆心在圆心在x轴上轴上: (x a)2 + y2 = r2 圆心在圆心在y轴上轴上: x2+ (y b)2 = r2 回答问题：回答问题： 1. 说出下列圆的方程说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点圆心在原点,半径为半径为3. (2) 圆心在点圆心在点C(3, 4), 半径为半径为7. 2. 说说出出下下列列方方程程所所表表示示的的圆圆的的圆圆心坐标和半径：心坐标和半径：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 圆心圆心C(2， 5), r =
3、 1(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 圆心圆心C( 7, 4), r = 6 (3) (x a)2 + y 2 = m2 圆心圆心C(a, 0), r = |m| 例例1(1)已已知知两两点点P1(4, 9)和和P2(6, 3)，求求以以P1P2为直径的圆的方程为直径的圆的方程.5. 圆的方程的求法圆的方程的求法: 代入法代入法 待定系数法待定系数法 (2) 判断点判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3)是在圆是在圆上，在圆内，还是在圆外上，在圆内，还是在圆外. (x 5)2 + ( y 6)2 = 10 M在圆上，在圆上，N在圆外，在圆外，Q在圆内在圆内
4、 点和圆之间存在有三种位置关系：点和圆之间存在有三种位置关系： 若若已已知知圆圆的的半半径径为为r，点点P(x0，y0)和和圆圆心心C 之间的距离为之间的距离为d，则，则 P在圆上在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 P在圆外在圆外 dr (x0 a)2 +(y0 b)2 r2 P在圆内在圆内 dr (x0 a)2 +(y0 b)2 r2 小结：小结： 例例2 求满足下列条件的圆的方程：求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在圆心在 x 轴上，半径为轴上，半径为5，且过点，且过点A(2， 3). 练练习习：点点(2a, 1 a)在在圆圆x2 + y2 = 4的的内内部部
5、，求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.(x 6)2 + y2 = 25或或(x + 2)2 + y2 = 25 a 1 (3)求求以以点点C(1，3)为为圆圆心心，并并且且和和直直线线3x 4y 7 = 0相切的圆的方程相切的圆的方程. (2) 过过点点A(3，1)和和B( 1，3)，且且圆圆心心在在直线直线3x y 2 = 0上上. (x 2)2 + ( y 4)2 = 10 (x 1)2 + ( y 3)2 =求满足下列条件的圆的方程：求满足下列条件的圆的方程： (1) 经过点经过点A(3，5)和和B( 3，7)，并且圆，并且圆心在心在 x 轴上轴上. (2) 经过点经过点A(3，5)
6、和和B( 3，7)，并且圆，并且圆心在心在 y 轴上轴上. (3) 经过点经过点P(5，1)，且圆心在，且圆心在C(8， 3).练习练习(x + 2)2 + y2 = 50x2 + ( y 6)2 = 10(x 8)2 + ( y + 3)2 = 25 例例3 求圆心在求圆心在C(1， 2)，半径为，半径为 的圆的圆被被x 轴所截得的弦长轴所截得的弦长 .法法1(方程法方程法) 圆的方程为圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20，令令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为，可得弦长为8. 法法2(几几何何法法) 根根据据半半弦弦、半半径径、弦弦心心距距组组成成直直角角三三角角
7、形形求求(这这里里，弦弦心心距距等等于于圆圆心心C的的纵纵坐坐标标的绝对值的绝对值) 例例4 (教教材材P76.例例3)如如图图表表示示某某圆圆拱拱桥桥的的一一孔孔圆圆拱拱的的示示意意图图. 该该圆圆拱拱跨跨度度AB = 20m， 拱拱高高OP = 4m，在在建建造造时时每每隔隔4m需需用用一一个个支支柱柱支支撑撑，求求支支柱柱A2P2的的长长度度(精精确确到到0.01m). A1A2A3A4ABOPP2xy约为约为3.86m 例例5 已已知知圆圆的的方方程程x2 + y2 = r2，求求经经过过圆上一点圆上一点M(x0，y0)的切线方程的切线方程 一般地，过圆一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2上一点上一点M(x0，y0)的切线方程为的切线方程为 (x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2小结小结: : 本本课课研研究究了了圆圆的的标标准准方方程程推推导导过过程程，对对于于这这个个方方程程必必须须熟熟记记并并能能灵灵活活应应用用. 从从三三道道例例题题的的解解题题过过程程，我我们们不不仅仅仅仅要要理理解解和和掌掌握握解解题题的的思思想想方方法法，也也要要学学会会从从中中发发现现和和总总结结出出规规律律性性的内在联系的内在联系.
