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1、第第7章章 估计理论估计理论7-3 P-型分布参数的估计型分布参数的估计回顾复习回顾复习参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计矩法矩法极大似然法极大似然法非参数估计非参数估计估估计计理理论论适线法适线法 矩法与极大似然法 矩法的优点是寻求总体数字特征等的估计量时无须知道随机变量的分布函数，而应用极大似然法时必须知道总体的概率分布；估计量质量方面，极大似然估计量的性质要比矩估计量好，在数理统计中，极大似然法被认为是最好的方法。7-3 P-7-3 P-型分布参数的估计型分布参数的估计一、一、 P-型分布型分布 在水文频率曲线线型选择上，世界各地差异很大，在水文频率曲线线型选择上，世界各地差异
2、很大，常用线型达常用线型达2020多种。我国多种。我国2020世纪世纪6060年代以来，通过对洪年代以来，通过对洪水极值资料的验证，水极值资料的验证，认为认为P-P-型能较好拟合我国大多数型能较好拟合我国大多数河流的洪水系列，因此我国水利水电工程水文计算规范河流的洪水系列，因此我国水利水电工程水文计算规范推荐采用该分布。推荐采用该分布。P-P-型分布的密度函数：型分布的密度函数：一、经验频率曲线与理论频率曲线一、经验频率曲线与理论频率曲线 1. 经验频率计算公式经验频率计算公式 经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是水文频率经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是水文频率计算的基础，具有一定的实用性
3、。计算的基础，具有一定的实用性。 设某水文要素（如年径流量）的实测系列共设某水文要素（如年径流量）的实测系列共n项，按项，按由由大到小大到小的次序排列为的次序排列为x1、x2、.、xm、.、xn。经验经验频率就是在系列中大于及等于样本频率就是在系列中大于及等于样本xi的出现次数与样本容的出现次数与样本容量之比值，即量之比值，即 当当m=n时，时，p=100%，即样本的末项即样本的末项 xn是总体中是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年数的增多，的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年数的增多，总会出现更小的数值。总会出现更小的数值。对上式进行修正，有：对上式进行修正，有：数学期望公式
4、数学期望公式切哥达也夫公式切哥达也夫公式海森公式海森公式2. 2. 经验频率曲线经验频率曲线水文上常用水文上常用“重现期重现期”来代替来代替“频率频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般当研究暴雨或洪水时（一般p50%） 例如，当某一洪水的频率为例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则时，则T=100年，称此洪年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100年会遇到年会遇到一次。一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般当研究枯水或年径流时（一般p50%） 例如，对于例如，对于p=90%的枯水流量，则的枯水流量，则T=10年，称此为十年一年，称
5、此为十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会遇到一次。年会遇到一次。3、理论频率曲线、理论频率曲线 P型分布型分布 水文计算中，一般需求出指定频率水文计算中，一般需求出指定频率p p所对所对应的随机变量取值，例如，频率为应的随机变量取值，例如，频率为1%1%（百年一（百年一遇）的设计洪峰流量。遇）的设计洪峰流量。令令 是均值为零，标准差为是均值为零，标准差为1 1的标准化变量的标准化变量 （离均系数）（离均系数） 则有则有 该式包含该式包含 CsCs、P P与与p p的关系，查附表的关系，查附表4 4，由已知的由已知的CsCs值，查表可得不同值
6、，查表可得不同P P的的 p p值，然后值，然后利用已知的利用已知的 和和CvCv值，通过下式即可求出与值，通过下式即可求出与各种各种P P相应的相应的x xp p值，从而可绘出值，从而可绘出理论频率曲线理论频率曲线。例例3-2 3-2 已知某站年最大洪峰流量系列的平均已知某站年最大洪峰流量系列的平均x=825m3/s，Cv=0.4，Cs=1.0，求求p=1%的设计的设计值。值。 解：由解：由Cs=1.0，查附表查附表4 4，得，得p=1%的的 p=3.02，则则 = =825(0.43.02+1)=18227-3 P-7-3 P-型分布参数的估计型分布参数的估计二、二、 适线法适线法 研究发
7、现：极大似然法用于估计P型分布参数时，需要试算，而且有时似然方程无解，因此，在我国水文计算工作中并不常用。对P分布，我国常采用适线法估计其参数。 四、现行水文频率计算方法四、现行水文频率计算方法适线法适线法 用有限的样本观测资料估计总体分布线型用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参数，如中的参数，如P型的型的 、CvCv、 CsCs。1 1、P型的分布参数初估方法型的分布参数初估方法 （1 1）矩法）矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关系，来估计频率曲线的参数。间的关系，来估计频率曲线的参数。均值均值 的无偏估计：的无偏估计：CvCv的无偏估
8、计量：的无偏估计量：Cs Cs 的无偏估计量：的无偏估计量： 模比系数模比系数 2. 现行水文频率计算现行水文频率计算适线法适线法 适线法（或称配线法）是以经验频率点据为基础，适线法（或称配线法）是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条理论频率曲线。率曲线参数，得到一条理论频率曲线。 目估适线法、优化适线法目估适线法、优化适线法目估适线法：目估适线法：（1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量取值，横在频率格纸
9、上点绘经验点据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率）。坐标为对应的经验频率）。（2）选定水文频率分布线型（一般选用选定水文频率分布线型（一般选用P型）。型）。（3）假定一组参数假定一组参数 、CvCv、 CsCs。为了使假定值大致为了使假定值大致接近实际，可用矩法求出接近实际，可用矩法求出3 3个参数，作为个参数，作为3 3个参数第一个参数第一次的假定值。估计时，因次的假定值。估计时，因Cs Cs 的抽样误差太大，的抽样误差太大，一般不计算一般不计算CsCs，而是根据经验假定而是根据经验假定 CsCs为为 CvCv的某一的某一倍数（如倍数（如 Cs=2CvCs=2Cv）。）。（4 4）根
10、据假定的根据假定的 、CvCv、CsCs，查查附表附表4 4，计算，计算x xp p值，值，以以x xp p为纵坐标，为纵坐标，p p为横坐标，即可得到频率曲线。为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参数（配合的情况，若不理想，则修改参数（样本均值样本均值估计误差小，一般不做调整；估计误差小，一般不做调整；主要调整主要调整 CvCv、CsCs）再次进行计算。再次进行计算。（5 5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作
11、为采从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。的估值。（6 6）求指定频率的水文变量设计值。求指定频率的水文变量设计值。3. 统计参数对频率曲线的影响：统计参数对频率曲线的影响：（1）均值）均值 对频率曲线的影响对频率曲线的影响（2）Cv对频率曲线的影响对频率曲线的影响（3）Cs对频率曲线的影响对频率曲线的影响二、优化适线法二、优化适线法 在一定的适线准则（即目标函数）下，求解在一定的适线准则（即目标函数）下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方法。法。优化适线法准则：优化适线法准则：离差平方和最小准则（离差平方和最小准则（OLS）（）（最小二乘法）最小二乘法）: 使使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差的平方经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到最小。和达到最小。 离差绝对值和最小准则（离差绝对值和最小准则（ABS）
