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1、5.3平面向量的数量积第五章平面向量数学数学 苏（理）苏（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_叫做a和b的数量积(或内积)，记作 .规定：零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两个非零向量a与b平行的充要条件是 .2.平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.|a|b|cos ab|a|b|cos 0 ab0 ab|a|b|b|cos 3.平面向量数量积的重要性质(1)eaae
2、；(2)非零向量a，b，ab；(3)当a与b同向时，ab ；当a与b反向时，ab ，aa ，|a| ；(4)cos ；(5)|ab| |a|b|.|a|cos ab0|a|b|a|b|a|2 4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab (交换律)；(2)(a)b (为实数)；(3)(ab)c .ba(ab)a(b)acbc5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2 或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离AB| | .(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2
3、)，则ab.x1x2y1y2x2y2x1x2y1y20u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)在四边形ABCD中， 且 0，则四边形ABCD为矩形.()(5)两个向量的夹角的范围是0， .()(6)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是0.()题号答案解析12343304 8解析设向量a与向量a2b的夹角为.|a2b|2444ab88cos 6012，a(a2b)|a|a2b|cos 又a(a2b)a22ab
4、44cos 606，0，180，30.题型一平面向量数量积的题型一平面向量数量积的运算运算解析答案思维升华例1 (1)(2013湖北改编)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为 .题型一平面向量数量积的题型一平面向量数量积的运算运算例1 (1)(2013湖北改编)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为 .解析答案思维升华题型一平面向量数量积的题型一平面向量数量积的运算运算例1 (1)(2013湖北改编)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为 .解
5、析答案思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件.题型一平面向量数量积的题型一平面向量数量积的运算运算例1 (1)(2013湖北改编)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为 .解析答案思维升华解析答案思维升华例1(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为 ； 的 最大值为 .例1(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为 ； 的 最大值为 .解析 方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐
6、标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，解析答案思维升华例1(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为 ； 的 最大值为 .方法二由图知，无论E点在哪个位置，解析答案思维升华例1(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为 ； 的 最大值为 .当E运动到B点时，解析答案思维升华11解析答案思维升华例1(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为 ； 的 最大值为 .求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件.解析答
7、案思维升华11例1(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为 ； 的 最大值为 .跟踪训练1 (1)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则 的值为 .解析由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 ，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值为 .记向量2ab与a2b的夹角为，题型二求向量的模与夹角题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面
8、向量b的夹角等于 ，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值为 .又(2ab)242232423cos 13，(a2b)222432423cos 52，解析答案思维升华(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，题型二求向量的模与夹角题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 ，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值为 .即2ab与a2b的夹角的余弦值是 .解析答案思维升华(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，题型二求向量的模与夹角题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 ，|a|2，|b|3，则2ab与
9、a2b的夹角的余弦值为 .即2ab与a2b的夹角的余弦值是 .解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 ，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值为 .(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| 要引起足够重视，它是求距离常用的公式.解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 ，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值为 .(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化
10、运算的目的.解析答案思维升华解析答案思维升华例2(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab| ，则|b| .a，b的夹角为45，|a|1，例2(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab| ，则|b| .解析答案思维升华a，b的夹角为45，|a|1，例2(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab| ，则|b| .解析答案思维升华例2(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab| ，则|b| .(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| 要引起足够重视，它是求距离常用的公式.解析答案思维升华例2(2)已知向量a，b的
11、夹角为45，且|a|1，|2ab| ，则|b| .(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的.解析答案思维升华解析答案思维升华解析答案思维升华解析答案思维升华解析答案思维升华(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| 要引起足够重视，它是求距离常用的公式.解析答案思维升华(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的.解析答案思维升华跟踪训练2(1)(2013天津)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若 1，则AB的长为
12、 .解析 在平行四边形ABCD中，跟踪训练2(1)(2013天津)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若 1，则AB的长为 .(2)(2014江西)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos .(2)(2014江西)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos .题型三数量积的综合应用题型三数量积的综合应用思维点拨解析思维升华例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：AB
13、C为等腰三角形；(1)由mn可得ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由mp得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式.思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用题型三数量积的综合应用例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；证明 mn，思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用题型三数量积的综合应用asin Absin B，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形.例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a
14、，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用题型三数量积的综合应用例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；思维点拨解析思维升华例3(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.思维点拨解析思维升华例3(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.(1)由mn可得AB
15、C的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由mp得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式.解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，思维点拨解析思维升华例3(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.思维点拨解析思维升华例3(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.思维点拨解析思维升华例3(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.解 f(
16、x)mn所以f(x)2,2，即f(x)的值域是2,2.高考小考点高考小考点6 6 高考中以向量为背景的创新题高考中以向量为背景的创新题思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算；然后确定解题策略，根据题目条件进行求解.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒解答创新型问
17、题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算；然后确定解题策略，根据题目条件进行求解.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.失 误 与 防 范1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则
18、有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立.234567891011.若向量a，b满足|a|b|ab|1，则ab的值为 .解析依题意得(ab)2a2b22ab22ab1，345678910122.已知向量a(1， )，b(1,0)，则|a2b| .解析|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.2245678910133.已知在三角形ABC中，AB2，AC3，BAC，若D为BC的三等分点(靠近点B一侧)，则 的取值范围为 .24567891013235678910144.向量 与向量a(3,4)的夹角为，| |10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为 .又
19、A(1,2)，B点坐标为(7，6).(7，6)5.(2013福建改编)在四边形ABCD中， (1,2)， (4,2)，则该四边形的面积为 .234678910155234578910166.(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则| .解析ab0，ab，234568910177.(2013课标全国)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 .2234569101788.已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 .解析由ab0，即230，且6.234567810199.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)
20、求a与b的夹角；解由(2a3b)(2ab)61，解得ab6.23456781019(2)求|ab|和|ab|.解|ab|2a22abb213，|ab|2a22abb237.2345678911010.已知ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m(2sin B， )，n(cos 2B,2cos 21)，且mn.23456789110(2)如果b2，求SABC的最大值.1234512345又O为ABC的外心，AO为BC的中垂线，12345123451234512345答案512345即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.1234512345123455.已知向量p(2sin x， cos x)，q(sin x,2sin x)，函数f(x)pq.(1)求f(x)的单调递增区间；12345123451234512345
