数列求和常用方法

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1、掌握一些简单数列的求和方法数列求和数列求和 常用的公式有：常用的公式有：(1)(1)等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和项和 S Sn n= = = = . .(2)(2)等比数列等比数列 a an n 的前的前n n项和项和 S Sn n= = = = ( (q q1)1)(3)1(3)12 2+2+22 2+3+32 2+n n2 2= = . .(4)1(4)13 3+2+23 3+3+33 3+n n3 3= = .na1+ dn(n+1)(2n+1)n2(n+1)21公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和常用求和方

2、法常用求和方法课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破公式法公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解 (2010年高考陕西卷年高考陕西卷)已知已知an是公差不为零是公差不为零的等差数列，的等差数列，a11，且，且a1，a3，a9成等比数列成等比数列(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)求数列求数列2an的前的前n项和项和Sn.【思路点拨思路点拨】利用利用a1，a3，a9成等比数

3、列，可求成等比数列，可求公差公差d，从而得出，从而得出an.例例例例1 1分组法分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例例例例2 2倒序相加法倒序相加法是推导等差数列的前是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到原数列相加，就可以得到n个个 .例

4、例3裂项相消法裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的和的目的. 通项分解通项分解（裂项）（裂项）如：如： 已知等差数列已知等差数列an满足：满足：a37，a5a726，an的前的前n项和为项和为Sn.(1)求求an及及Sn；例例例例4 4【思路点拨思路点拨】由由a3，a5a7的值可求的值可求a1，d，利，利用公式可得用公式可得an，Sn.对于对于bn，利用裂项变换，

5、便可，利用裂项变换，便可求得求得Tn.错位相减法错位相减法对于形如对于形如anbn的数列的前的数列的前n项和项和Sn的求法的求法(其中其中an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列是等比数列)，可采用错位，可采用错位相减法具体解法是：相减法具体解法是：Sn乘以某一个合适的常数乘以某一个合适的常数(一般情况下乘以数列一般情况下乘以数列bn的公比的公比q)后，与后，与Sn错位错位相减，使其转化为等比数列问题来解相减，使其转化为等比数列问题来解 (2010年高考课标全国卷改编年高考课标全国卷改编)设等比设等比数列数列an满足满足a12，a4128.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)

6、令令bnnan，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.【思路点拨思路点拨】利用公式求得利用公式求得an，再利用错位相，再利用错位相减法求减法求Sn.例例例例5 56.6.并项法并项法将数列的每两项将数列的每两项( (或多次或多次) )并到一起后，再并到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和求和，这种方法常适用于摆动数列的求和. .例六：Sn=12-22+32- 42 +(-1)n-1n2当当n是偶数时，是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .当当n是奇数时，是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2

7、=1+5+9+(2n-1)= .故故Sn=(-1)n-1 (nN*).1注意对以下求和方式的理解注意对以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用两项等距离的两项之和是个常数时才可以用(2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消在抵消时，有的为两个式子的差，再相加抵消在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性时要注意规律性(3)错位相减法是构造了一个新的等比数列

8、，再用错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和公式法求和方法感悟方法感悟2常见求和类型及方法常见求和类型及方法(1)anknb，利用等差数列前，利用等差数列前n项和公式直接求项和公式直接求解；解；(2)anaqn1，利用等比数列前，利用等比数列前n项和公式直接求项和公式直接求解解(但要注意对但要注意对q要分要分q1与与q1两种情况进行讨论两种情况进行讨论)；(3)anbncn，数列，数列bn，cn是等比数列或等差数是等比数列或等差数列，采用分组转化法求列，采用分组转化法求an前前n项和；项和；(4)anbncn，bn是等差数列，是等差数列，cn是等比数列，是等比数列，采用错位相减法求采用错位相减法求an前前n项和；项和；(5)anf(n)f(n1)，采用裂项相消法求，采用裂项相消法求an前前n项项和；和；(6)ankakcbn，可考虑采用倒序相加法求和，可考虑采用倒序相加法求和