《中南大学概率论与数理统计课件1.5事件的独立性与独立试验概型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中南大学概率论与数理统计课件1.5事件的独立性与独立试验概型（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 事件的独立性事件的独立性 解解一、事件的独立性引例一、事件的独立性引例 一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概第二次摸到黑球的概率。率。例例A=A=第一次摸到黑球第一次摸到黑球 ，B=B=第二次摸到黑球第二次摸到黑球 则则 定义定义1.81.8 设有事件与事件，如果设有事件与事件，如果则称则称A A与与B B是相互独立的。是相互独立的。 实际问题中，事件的独立性可根据问题实际问题中，事件的独立性可根据
2、问题的实际意义来判断的实际意义来判断 如，甲乙两人射击，如，甲乙两人射击，“甲击中甲击中”与与“乙击中乙击中”可可以以 认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立事件的独立性事件的独立性 independence 设设、为任意两个随机事件，且为任意两个随机事件，且P(A)0.则则定理定理1.41.4事件的独立性事件的独立性 判别判别证证例如例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩一个家庭中有男孩、又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩，对
3、下列两种情形，对下列两种情形，讨论讨论A与与B的独立性：（的独立性：（1）家庭中有两个小孩；）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。解解 情形（情形（1）的样本空间为）的样本空间为 =（男男），（男女），（女男），（女女）男男），（男女），（女男），（女女） 此种情形下，此种情形下，事件事件A、B是不独立的是不独立的。 例如例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩一个家庭中有男孩、又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形，对下列两种情形，
4、讨论讨论A与与B的独立性：（的独立性：（1）家庭中有两个小孩；）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。解解 情形（情形（2）的样本空间为）的样本空间为 =（男男男），（男男男男），（男男男女），（女），（男男女男），（女女男），（女男男男男） （男男女女），（女女女），（女男女），（女女男），（女女女）男女），（女女男），（女女女） 此种情形下，此种情形下，事件事件A、B是独立的是独立的。 n定理定理1.5 1.5 下列四组事件，有相同的独立性：下列四组事件，有相同的独立性： 证明证明 若若A、B独立，则独立，则 所以，所以， 独立。独立。 n概念辨析概念辨析事件与事件
5、独立事件与事件独立事件与事件互不相容事件与事件互不相容事件与事件为对立事件事件与事件为对立事件例例甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为率为0.6，乙击中目标的概率为，乙击中目标的概率为0.5。试计算。试计算 1）两人都击中目标的概率；）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击）恰有一人击中目标的概率；中目标的概率；3）目标被击中的概率。）目标被击中的概率。解解 设设A表示表示“甲击中目标甲击中目标”，B表示表示“乙击中目标乙击中目标” 则则 定义定义1.9 如果事件如果事件A，B，C满足满足P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)P(B
6、C)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件则称事件A，B，C相互独立。相互独立。注注意意事件事件A，B，C相互独立与事件相互独立与事件A，B，C两两独两两独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之不一定。不一定。有限多个事件的独立性有限多个事件的独立性 例例设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一个四面体标有号码一个四面体标有号码1 1，2 2，3 3，4 4。令。令A=A=第一个四面体的触地面为偶数第一个四面体的
7、触地面为偶数 B=B=第二个四面体第二个四面体的触地面为的触地面为奇数奇数 C=C=两个四面体两个四面体的触地面的触地面同时同时为为奇数，或者同奇数，或者同时为偶数时为偶数 试讨论试讨论A A、B B、C C的相互独立性。的相互独立性。A=第一个第一个为偶数为偶数；B=第二个第二个为奇数为奇数C=两个两个同时为奇数，或者同时为偶数同时为奇数，或者同时为偶数解解 试验的样本空间为试验的样本空间为 所以，所以，A、B、C两两独立两两独立，但，但总总起来讲不独立起来讲不独立。定义定义1.10共有（共有（2n-n-1）个等式个等式 对满足相互独立的多个事件，有对满足相互独立的多个事件，有 例例 加工某
8、一种零件需要经过三道工序，设三道工序的加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为次品率分别为2%2%，1%1%，5% 5% ，假设各道工序是互不影响，假设各道工序是互不影响的求加工出来的零件的次品率的求加工出来的零件的次品率 解解 设设1 1 ，2 2 ，3 3 分别表示第一、第二、第三道工分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：序出现次品，则依题意：1 ,1 ,2 ,2 ,3 3 相互独立，且相互独立，且 （1）2 % , （2）1% , （3）5% 又设表示加工出来的零件是次品又设表示加工出来的零件是次品, , 则则 A A1 12 23 3 方法方法 （用对立事件
9、的概率关系）（用对立事件的概率关系） 1(1 0.02)(1 0.01)(1 0.05) 0.0783 例例1.261.26 现有现有1010张彩票，其中有张彩票，其中有5 5张张“发发”，3 3张张“财财”，其余都是其余都是“白白”规定一个人只有同时摸到规定一个人只有同时摸到“发发”和和“财财”才算中奖。才算中奖。 （1 1）甲、乙两人依次不放回地连续抽取两张，求）甲、乙两人依次不放回地连续抽取两张，求甲、乙两人都中奖的概率；甲、乙两人都中奖的概率； （2 2）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求甲乙两人至少有一人中奖的概率。甲乙两人至少有一人中奖的
10、概率。 解解设设A A表示事件表示事件“甲中奖甲中奖”，B B表示事件表示事件“乙中奖乙中奖”。（1 1）由于是不放回地抽样，故有）由于是不放回地抽样，故有 （2 2）由于是有放回地抽样，故）由于是有放回地抽样，故A A与与B B是相互独立的，是相互独立的， 所以所以 例例1.271.27 图中有图中有5 5个继电器接点，假使每一继电器接个继电器接点，假使每一继电器接点闭合的概率为点闭合的概率为p p，且个继电器接点闭合与否相互独，且个继电器接点闭合与否相互独立，求自左至右是通路的概率。立，求自左至右是通路的概率。12345解解(k =2,3,4,5)所以所以补例（练习补例（练习1.5第一题）
11、第一题）证证 将试验将试验E E重复进行重复进行n n次次, ,若各次试验的结果互不若各次试验的结果互不影响影响, ,则称这则称这n n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复进行重复进行n n次独立试验次独立试验, ,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重贝努利试验重贝努利试验，简称贝努利试简称贝努利试验验( (Bernoulli trialsBernoulli trials).).贝努利试验贝努利试验Bernoulli trialsB
12、ernoulli trialsn 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努利试验(略略略略)例例 一批产品的次品率为一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，检验后放回，再取一个， 连取连取 4 次求次求 4 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率 设设 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到次品, , 取到次品，取到次品， 则则 取到正品取到正品 n分析分析n = 4 n = 4 的的 Bernoulli Bernoulli 试验试验i i=第第i i次抽样抽到次品次抽样抽到次品 因为因为1 1，2 2，3 3，4 4 相互独立
13、，所以相互独立，所以 四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有 贝努利定理贝努利定理 设在一次试验中事件发生的概率为设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p0）的平行线，的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求的针，求针与直线相交的概率。针与直线相交的概率。d2al解解 设针的中点离较近直线的距离设针的中点离较近直线的距离为为d，针与较近直线的交角为针与较近直线的交角为。则则d与与的可取值为的可取值为 0da , 0所求概率为所求概率为 针与直线相交针与直线相交 0dlsin da 将线
14、段将线段ABAB任意分成三段任意分成三段ACAC、CDCD、DBDB，试求这试求这三段可构成三角形的概率。三段可构成三角形的概率。n 讨论讨论A C D B 解解 如图，设如图，设AB长为长为1，AC长为长为x，CD长为长为y，则则 DB长为长为1-x-y 于是于是x，y应满足应满足 设设A表示表示“三段可构成三角形三段可构成三角形” 则则A发生的充分必要条件是发生的充分必要条件是 所以，所求概率为所以，所求概率为0.25 发报台分别以概率发报台分别以概率 0.6 0.6 和和 0.40.4发出信号发出信号“ ”和和“ ”， 由于通信系统受到干扰，当发出信由于通信系统受到干扰，当发出信号号“
15、”时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率 0.8 0.8 及及 0.2 0.2 收收到信号到信号 “ ”和和“ ”，同样，当发报台发，同样，当发报台发出信号出信号“ ”时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率 0 .9 0 .9 和和0.1 0.1 收到信号收到信号“ ”和和“ ”求求(1) (1) 收报台收到信号收报台收到信号“ ”的概率的概率(2(2） 当收报台收到信号当收报台收到信号“ ”时，发报台确系时，发报台确系发出信号发出信号“ ”的概率（的概率（P26P26练习练习2424）n 讨论讨论设设“发出信号发出信号.”为事件为事件A，“接收信号接收信号.”为为B 则则 爱滋病普查：使
16、用一种血液试验来检测人体内是爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒否携带爱滋病病毒. .设这种试验的设这种试验的假阴性假阴性比例为比例为5%5% （即在携带病毒的人中，有（即在携带病毒的人中，有5%5%的试验结果为阴的试验结果为阴 性），性），假阳性假阳性比例为比例为1%1%（即在不携带病毒的人中，（即在不携带病毒的人中， 有有1%1%的试验结果为阳性）的试验结果为阳性）. .据统计人群中携带病毒据统计人群中携带病毒者约占者约占1 1，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率人携带爱滋病毒的概率. .（P27P27练习练习
17、3333）n 讨论讨论（贝叶斯公式）（贝叶斯公式） 符号引入：符号引入：“携带病毒携带病毒”为为A，“实验呈阳性实验呈阳性”为为B，则则 求求 2 2， 在一盒子中装有在一盒子中装有1515个乒乓球，其中有个乒乓球，其中有9 9个新球。个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二次取出的三个球均为新球的概率。二次取出的三个球均为新球的概率。解解 设第一次取出的球为设第一次取出的球为“3新新”、“2新新1旧旧”、“1新新2旧旧” “3旧旧”分别为事件分别为
18、事件A1、A2、A3、A4；“第二次取第二次取 出三个新球出三个新球”为事件为事件B，则则 某工人照看三台机床，一个小时内某工人照看三台机床，一个小时内1号，号，2号，号，3号号机床需要照看的概率分别为机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之。设各机床之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没）没有一台机床需要照看的概率；有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照）至少有一台不需要照看的概率；看的概率；3）至多有一台需要照看的概率）至多有一台需要照看的概率。解解 设设Ai表示表示“第第i台机床需要照看台机床需要照看”，（，（i=1，2，3）则则 P（A1）=0.3； P（A2）=0.2； P（A3）=0.1；
