线性方程组的消元解法稻谷书苑

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1、1 线性方程组的 消元解法第三章第三章 线性代数初步线性代数初步2 矩阵及其运算教学运用教学运用 线性代数线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。 最古老的线性代数问题是线性方程组的求解线性方程组的求解，在中国古代的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。教学运用教学运用 线性代数线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它

2、比较容易处理；同时它也是研究理论物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。 随着研究线性方程组线性方程组和变量的线性变换变量的线性变换问题的深入，矩阵在1819世纪期间应运而生，为处理线性问题线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数线性代数的发展。教学运用教学运用本节的主要内容本节的主要内容1、线性方程组、线性方程组解的讨论及其求解方法解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。教学运用教学运用2、数表、数表的线性运算的线性运算（重要的工具）。教学运用教学运用对二元一次方程组二元一次方程组我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组，且未知量个数和方

3、程个数未必相同。1 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以将一次方程称为线性方程线性方程，将一次方程组称为线性线性方程组方程组。教学运用教学运用线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式否则称为非齐次线性方程组。则称方程组为(1)其中有 n 个未知量 ，m 个方程，是未知量的系数，是常数项。若右端常数项 均为零，齐次线性方程组；教学运用教学运用1、线性方程组是否有解？将要研究的问题将要研究的问题3、有解时，如何求出全部的解？ 2、若有解，解是否唯一？研究的思路和途径研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合具体的线性方程组，导出求解

4、一般方程组的通用方法：高斯消元法； 2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在与否的判断方法。教学运用教学运用求解线性方程组 解解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，(-2)(2)+(1)，(-4)(2)+(3) 得 例例1由该方程组比原方程组少一个未知量。教学运用教学运用由(5)-(4) 得由(-1/2)(6) 得 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3，由2(7)+(4) 得 其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，这比原方程组又少了一个未知量。教学运用教学运用由(-1/3)(8) 得将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由(-2)(7)

5、+(2)，(2)-(9) 得故原方程组的解为教学运用教学运用从上述求解过程可以看出从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直至得到便于求解的一个形式简单的方程。 为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以例例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。教学运用教学运用 解解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1，(1)-2(2)，(3)-4(2) 得求解线性方程组 例例11教学运用教学运用(1)-2(2)，(3)-4(2) 得

6、 第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，(5)-(4) 得教学运用教学运用 此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。 第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，(5)-(4) 得教学运用教学运用 第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)(6) 得 第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2(7)，(4)+2(7)教学运用教学运用 第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2(7)，(4)+2(7)(-1/3)(9) 得 第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，教学运用教学运用(-1/3)(9) 得 第六步，使(

7、9)中的 x2 的系数变为1， 第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得教学运用教学运用 第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得由此得到了方程组的解。 思考思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步对原方程组进行消元变简？教学运用教学运用用到了如下三种变换用到了如下三种变换1、交换两个方程的顺序；3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上；2、用一个非零常数乘某个方程；称上述三种变换为线性方程组的初等变换。初等变换的作用在于初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原方程组是同解方程组。用消元法求解线性方程组的实质用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系

8、列同解的初等变换，将它逐步化简以求其解。教学运用教学运用 思考思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？那和什么有关呢？没有和未知量的系数以及右端的常数项有关！ 问题问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么在运算？什么在变化？未知量的系数以及右端的常数项！ 基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表： 经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线性方程组的求解规律。教学运用教学运用此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。加上常数项得数表(1)(2) 称上述矩形表为矩阵，横的排称为行，竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元素。 矩阵(1)称为方程组

9、的系数矩阵，记为A，矩阵(2)称为方程组的增广矩阵，记为 定义定义1教学运用教学运用对于一般的线性方程组对于一般的线性方程组教学运用教学运用 增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上，1、交换矩阵的某两行，记为2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为记为称此三种变换为矩阵的行初等变换。教学运用教学运用 由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增广矩阵的行初等变换。求解线性方程组 例例1 解解：方程组的增广矩阵教学运用教学运用互换(1)与(2)的位置得(2)-2(1)，(3)-4(

10、1) 得教学运用教学运用(2)-2(1)，(3)-4(1) 得(3)-(2) 得教学运用教学运用(3)-(2) 得（行阶梯形矩阵）（阶梯形方程组）(-1/2)(3) 得教学运用教学运用(-1/2)(3) 得(1)-2(3)，(2)+2(3) 得教学运用教学运用(1)-2(3)，(2)+2(3) 得(-1/3)(2) 得教学运用教学运用(-1/3)(2) 得(1)-(2) 得教学运用教学运用(1)-(2) 得（行最简阶梯形矩阵）阶梯上第一个元素为1，同列的其它元素都为零。从而原方程组的解为教学运用教学运用 上述解法的基本思路和步骤上述解法的基本思路和步骤 反复利用矩阵的行初等变换，逐步将线性方程

11、组的增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵，从而求出方程组的解。 此种方法称为高斯消元法，它是解线性方程组的最一般、最有效的方法。将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步 化行阶梯形：从上到下，从左到右； 化行最简阶梯形：从下到上，从右到左。教学运用教学运用 在我国古代数学经典著作九章算术(约公元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式是自上而下

12、，从右到左)： 例习例习上禾秉数中禾秉数下禾秉数斗数 试列出此问题的方程组，并用高斯消元法求出其解。教学运用教学运用上禾秉数中禾秉数下禾秉数斗数教学运用教学运用教学运用教学运用 上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。教学运用教学运用 讨论下列线性方程组解的情况，并从几何上给以说明。 思考思考 (1) 无解，平行但不重合； (2) 无穷多解，平行且重合； (3) 唯一解，相交但不重合； (4) 同(2) 。教学运用教学运用解线性方程组 例例2 解解：方程组的增广矩阵教学运用教学运用有何特点？教学运用教学运用则同解方程组为，即则原方程组的解为有何特点？令 x

13、3 = k，显然方程组有无穷多解，称上述含任意常数的解为方程组的通解通解。教学运用教学运用解线性方程组 例例3 解解：方程组的增广矩阵教学运用教学运用教学运用教学运用教学运用教学运用 同解方程组最后一个方程 0 =2 是矛盾方程！所以方程组无解， 此时称该方程组是不相容的或矛盾的。有何特点？教学运用教学运用 由以上由以上3例思考例思考 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗？ 2. 如何判断解的各种情况？不一定！唯一解无穷多解无解教学运用教学运用 线性方程组解的判定方法线性方程组解的判定方法将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后： 1. 若出现 (0, , 0, d) 0 的非零行，

14、则无解； 2. 若不出现 (0, , 0, d) 0 的非零行，则有解，且 . 非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； . 非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。无解唯一解无穷多解教学运用教学运用求解齐次线性方程组 解解：对系数矩阵施行行初等变换化为行最简阶梯形齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况 例例4教学运用教学运用齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况有何特点？教学运用教学运用齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况有何特点？写出等价方程组并移项教学运用教学运用齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况写出等价方程组并移项则方程组的通解为 事实上，齐次线性方程组总有

15、零解，称其为平凡解平凡解。令教学运用教学运用 齐次线性方程组解的判定方法齐次线性方程组解的判定方法将线性方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵后： 1. 若非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； 2. 若非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。教学运用教学运用线性方程组的解题步骤线性方程组的解题步骤线性方程组线性方程组增广矩阵增广矩阵行最简形行最简形同解方程组同解方程组得其解得其解判断是否有解判断是否有解 有有解解行变换行变换 无解无解结束结束教学运用教学运用 讨论下面的线性方程组何时无解，何时有无穷多解。 思考思考 d30 时无解； d30 时有无穷多解。教学运用教学运用 小小 结结 本节主要围绕解一般线性方程组的问题，从运用加减消元法去求解特殊的线性方程组入手，一步一步的提出问题，分析问题，逐步探索出求解任意线性方程组的一般方法：高斯消元法。 高斯消元法的基本思想：逐步将原方程组化简，直至易于求解的形式； 使用的手段：施行矩阵的行初等变换，将增广矩阵化为行最简阶梯形矩阵； 理论依据：变形后的方程组与原方程组同解。教学运用教学运用作业作业 P120线性方程组的消元解法：1，2，3教学运用教学运用