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1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 逆矩阵逆矩阵2矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵阶方阵. 从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地在同阶方阵中的地位类似于位类似于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数 a1可以可以用等式用等式 a a1 = 1
2、来刻划来刻划. 类似地，我们引入类似地，我们引入对于对于 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵以及同阶的方阵 A，都有，都有3定义：定义： n 阶方阵阶方阵 A 称为称为可逆的可逆的，如果有，如果有 n 阶方阵阶方阵 B，使得，使得这里这里 E 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的对于任意的 n 阶方阵阶方阵 A，适合上述等式的矩阵，适合上述等式的矩阵 B 是唯是唯一的（如果有的话）一的（如果有的话）.定义：定义： 如果矩阵如果矩阵 B 满足上述等式，那么满足上述等式，那么 B 就称为就称
3、为 A 的的逆矩阵逆矩阵，记作记作 A1 .4下面要解决的问题是：下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵在什么条件下，方阵 A 是可逆的？是可逆的？如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A1 ？5结论：结论： ，其中，其中定理：定理：若若 ，则方阵，则方阵A可逆，而且可逆，而且推论：推论：若若 ，则，则 .元素元素 的代数的代数余子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列6例：例：求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.7例：例：求求3阶方阵阶方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解：| A | = 1，则则8方阵方阵A可逆可逆 此时，称矩阵此时，称矩阵A为为非奇异矩阵非奇异矩阵容易看出：对于容易
4、看出：对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果 那么那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.定理：定理：若方阵若方阵A可逆，则可逆，则 9推论：推论： 如果如果 n 阶方阵阶方阵A、B可逆，那么可逆，那么 、 、 与与AB也可逆，且也可逆，且10线性变换线性变换 的系数矩阵是一个的系数矩阵是一个n 阶方阵阶方阵 A ，若记，若记 则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y = AX . 11例：例：设线性变换的系数矩阵是一个设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵阶方阵 记记则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y = AX 求变量求变量 y1, y2,
5、y3 到变量到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵的逆矩阵. 12已知已知 ，于是，于是 ，即，即13 矩阵分块法矩阵分块法14前言n由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?n这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.n家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？15问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.这是这是2阶阶方阵吗？方阵吗？
6、16思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵17问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.18分块矩阵的加法19若矩阵若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有则有形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！20分块矩阵的数乘21若若l l 是数，且是数，且 则有则有形式上看成形式上看成是普通的数是普通的数乘运算！乘运算！22分块矩阵的乘法一般地，设一般地，设 A为为ml 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵
7、矩阵 ，把，把 A、B 分块如下：分块如下：23按行分块以及按列分块mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作 若将第 j 列记作则24于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵，若把 A 按行分块，把 B 按列块，则25分块矩阵的转置若 ，则例如：分块矩阵不仅形分块矩阵不仅形式上进行转置，式上进行转置，而且每一个子块而且每一个子块也进行转置也进行转置26分块对角矩阵定义：设 A 是 n 阶矩阵，若1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，2.其余子块都为零矩阵，3.对角线上的子块都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵例如：27分块对角矩阵的性质n| A | = | A1 |
8、 | A2 | | As | n若| As | 0，则 | A | 0，并且28例例:设设，求，求 A1 解：解：29例：例：往证往证 Am n = Om n的充分必要条件是方阵的充分必要条件是方阵ATA = On n 证明：证明：把把 A 按列分块，有按列分块，有于是于是那么那么即即 A = O 30克拉默法则31二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 (方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为32一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即33其中其中是把系数行列式是把系数行列式中第
9、中第列的元素用方程组右端的常数列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的项代替后所得到的阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成34定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式(2)给出给出.这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等
10、于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论.35关于克拉默法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解线性方程组一定有解,而且解是唯一的而且解是唯一的 .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零数行列式必为零.设设36例例解线性方程组解线性方程组解解373839线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线
11、性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0, 0)就是一个解，就是一个解，称为称为零解零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解. 40齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解.定理定理5 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线
12、性方程组有非零解,则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为零零. 备注备注1.1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件零解的必要条件. 2.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即：即：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零系数行列式等于零41练习题：练习题：问问取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解如果齐次方程组有非零解，则必有如果齐次方程组有非零解，则必有.所以所以时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.42思考题思考题当线性
13、方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.431. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于它主要适用于理论推导理论推导三、小结44
