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1、2 第二型曲线积分第二型曲线积分1一、问题的提出实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割2求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值3二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义4类似地定义类似地定义52.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式64.4.推广推广75.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.8三、对坐标的曲线积分的计算定理定理9特殊情形特殊情形10(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）11可用向量表示可用向量表示有向曲线元
2、；有向曲线元；12例例1解解13例例2解解14问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.15例例3解解1617问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.18例例4 计算第二型曲线积分 解 =19解）=20=） =注注：这里不同路径积分值不同 21例例6 计算曲线积分22则 23或 24注注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于25同理 故 26方法方法1 利用球面的参数方程27注注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的. 28上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的.29方法方法2 利用柱面的参数方程 代入球面方程 取方法2中的参数方程进行计算略. 30四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系作业 P209 1, 2, 3.31思考题思考题32思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.33
