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1、示范教学（示范教学（1 1）圆轴扭转的应力分析圆轴扭转的应力分析 新体系材料力学的教学内容与体系新体系材料力学的教学内容与体系（3 3）预备知识预备知识扭转变形扭转变形截面法求扭矩截面法求扭矩应力理论（包括应力状态分析，应力边界条件）应力理论（包括应力状态分析，应力边界条件）应变理论应变理论纯切应力状态胡克定律纯切应力状态胡克定律超静定的概念和基本解法超静定的概念和基本解法6-1 圆轴扭转的应力与变性分析圆轴扭转的应力与变性分析6-2 有关扭转变形问题的讨论有关扭转变形问题的讨论6-1 6-1 圆轴扭扭转的的应力与力与变性分析性分析1 1）微段的平衡方程微段的平衡方程从扭转的圆轴中用从扭转的圆
2、轴中用 x 截面和截面和 x+dx 截面截取截面截取 dx 微段微段选取柱坐标系选取柱坐标系 x扭矩扭矩T是作用在截面上各点处分布内力系的合力矩是作用在截面上各点处分布内力系的合力矩1 1）微段的平衡方程微段的平衡方程扭矩扭矩T是作用在截面上各点处分布内力系的合力矩是作用在截面上各点处分布内力系的合力矩横截面上的各个点处只作用有横截面上的各个点处只作用有切应力切应力1 1）微段的平衡方程微段的平衡方程列列 dx 微段的平衡方程（空间任意力系）微段的平衡方程（空间任意力系）取微面积元的面积为取微面积元的面积为dA其余其余5个方程皆为个方程皆为函数未知，函数未知，切应力随截面点的变化规律未知切应力
3、随截面点的变化规律未知高次超静定问题，需要研究变形，建立补充方程高次超静定问题，需要研究变形，建立补充方程2 2）几何几何方程方程变形观察，平面假设变形观察，平面假设横横截截面面变形前变形前平面平面变形后变形后仍为平面仍为平面圆截面直径不变圆截面直径不变两截面间距不变两截面间距不变截面刚截面刚性转动性转动2 2）几何几何方程方程变形观察，平面假设变形观察，平面假设平面假设合理性的简单证明平面假设合理性的简单证明2 2）几何几何方程方程变形观察，平面假设变形观察，平面假设2 2）几何几何方程方程3 3）物理物理方程方程3 3）物理物理方程方程纯切应力状态胡克定律纯切应力状态胡克定律（切应力不超过
4、材料剪切比例极限）（切应力不超过材料剪切比例极限）3 3）物理物理方程方程纯切应力状态胡克定律纯切应力状态胡克定律式（式（2）代入式（）代入式（1）会知晓横截面上应力分布规律）会知晓横截面上应力分布规律应应 力力 分分 量量 满满 足足 边边 界界 条条 件件（另另外外 5个个应应力力分分量量是是零零）物理物理方程方程联立求解满足应力边界条件的这三个方程的解联立求解满足应力边界条件的这三个方程的解几何几何方程方程平衡方程平衡方程式中式中极惯性矩极惯性矩式（式（6-1）是变形公式，式中）是变形公式，式中 是单位扭是单位扭转角。转角。愈大，单位扭转角就愈小，即变形量愈小。愈大，单位扭转角就愈小，即
5、变形量愈小。抗扭刚度抗扭刚度将式（将式（6-1）改为）改为dx 微段微段的扭转角的扭转角整个杆的扭转角整个杆的扭转角若整个杆内扭矩不变若整个杆内扭矩不变变形公式变形公式变形公式变形公式式（式（6-2）是横截面应力公式，讨论如下：）是横截面应力公式，讨论如下：1 ）以平面假设为前提条件以平面假设为前提条件不能用于非圆截面杆不能用于非圆截面杆2 ）小变形，几何方程是线性（几何线性问题）小变形，几何方程是线性（几何线性问题）3 ）应力不超过材料的比例极限应力不超过材料的比例极限 应力应力应变是线性关系（物理线性问题）应变是线性关系（物理线性问题） 若应力若应力应变是非线性关系（应变是非线性关系（物理
6、非线性问题物理非线性问题）若大变形，几何方程非线性（若大变形，几何方程非线性（几何非线性问题几何非线性问题）非线性力学非线性力学非线性力学4 ）横截面上最大应力横截面上最大应力式（式（6-2）是横截面应力公式，讨论如下：）是横截面应力公式，讨论如下：4 ）横截面上最大应力横截面上最大应力令令则则最大应力发生在截面周边各个点上最大应力发生在截面周边各个点上截面抗扭模量截面抗扭模量式（式（6-2）是横截面应力公式，讨论如下：）是横截面应力公式，讨论如下：5 ）圆筒的扭转圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转式中式中 为筒截面平均圆直为筒截面平均圆直径径6-2 6-2 有关扭转变形问题的讨论有关扭转
7、变形问题的讨论1.1. 材料非线性弹性圆杆的扭转材料非线性弹性圆杆的扭转平衡方程（和材料无关）平衡方程（和材料无关）物理方程（应力状态不变）物理方程（应力状态不变）几何方程（平面假设仍成立，小变形）几何方程（平面假设仍成立，小变形）1.1. 材料非线性弹性圆杆的扭转材料非线性弹性圆杆的扭转平衡方程平衡方程物理方程物理方程几何方程几何方程式（式（2 2）代入式（）代入式（3 3）中）中1.1. 材料非线性弹性圆杆的扭转材料非线性弹性圆杆的扭转联立求解式（联立求解式（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）2. 2. 理想弹塑性材料圆杆的弹塑性扭转理想弹塑性材料圆杆的弹塑性扭转周边各点屈服周边各点屈服时的极限扭矩时的极限扭矩弹塑性扭转弹塑性扭转2. 2. 理想弹塑性材料圆杆的弹塑性扭转理想弹塑性材料圆杆的弹塑性扭转截面各点均屈截面各点均屈服时极限扭矩服时极限扭矩2. 2. 理想弹塑性材料圆杆的弹塑性扭转理想弹塑性材料圆杆的弹塑性扭转残余应力残余应力此时卸载此时卸载
