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1、高高考考数数学学高高分分宝宝典典一、一、高考高考数学数学试题特点试题特点二、高考数学命题趋势二、高考数学命题趋势三三、高考、高考复习方法建议复习方法建议 数学特征及其分类数学特征及其分类 数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。 恩格斯联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过数学培养学生的逻辑思维能力是最好、最经济的方法。在学习数学知识及运用数学知识、思想和方法解决问题的过程中，能培养辨证唯物主义世界观，能培养实事求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。数学在培养人的思维能力、发展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操。”数学思维不仅有生动活泼的
2、探究过程，其中包括想象、类比、 数学可以分成两大类 纯粹数学 应用数学 20世纪产生一批应用数学的分支，例如，控制论，信息论，博弈论，规划论等等。这些数学分支涉及的问题已经成为数学重要的研究方向与课题。随着时代的发展，形成了许多新的学科方向，有许多都是与数学有关，例如生物数学，经济数学，计算化学，计量历史学等边缘学科。有人甚至说，任何一个学科加上数学就可以成为一个新的交叉学科。姜伯驹院士曾多次强调“数学已经从幕后走到台前，在很多方面为社会直接创造价值。”这是对数学变化的一个很好的概括。提丢斯数列（提丢斯）3，6，12，24，48，96，192，0，3，6，12，24，48，96，192，0.4
3、,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,水星 金星 地球 火星？木星 土星？实际距离0.39 0.721.01.52?5.29.5?计算距离0.40.71.01.62.85.210.0 19.61781年天王星（19.2）1801年谷神星（2.7）宇宙之大，宇宙之大， 粒子之微，粒子之微， 火箭之速，火箭之速， 化工之巧，化工之巧， 地球之变，地球之变， 生物之谜，生物之谜， 日用之繁，日用之繁， 无处不用数学。无处不用数学。 华罗庚华罗庚天赋兴趣最好的老师是青少年成才的途径。数学专业在许多高校的招生排行榜上位置越来越靠前，学数学很有用，各学科都用得上。数学是思想家的学问
4、，万物皆数理，没有微积分，整个近代数学就没有了。几何拓朴学的黄金时代是陈省身年代。我听美国一支垒球队的老板讲，他们雇了一位搞数学的，研究攻球次数和薪水的恰当比例，防止多花冤枉钱。在微软还有专门一个纯数学的研究室，养着一批数学家。尽管现在美国找工作不容易，华尔街还招大量的数学系毕业生，培训三个月就上岗，数学教人会思考。数学好像是抽象的，与你的生活无关。但比如买车，花同样的钱，数学家可能更会算计，可以买到更高价值的车；再比如现在普遍在用的电脑，它的发明人冯诺伊曼、图林都是数学家。一、一、高考数学试题特点高考数学试题特点对基础知识的考查：全面又突出重点对基础知识的考查：全面又突出重点. .重视知识的
5、交汇与融合重视知识的交汇与融合把握学科特点，倡导通性通法把握学科特点，倡导通性通法突出能力立意，搞好探究创新突出能力立意，搞好探究创新顺应教育改革，体现课改精神顺应教育改革，体现课改精神设置实际背景，考察数学应用设置实际背景，考察数学应用. .对基础知识的考查：全面又突出重点对基础知识的考查：全面又突出重点. 例1例例2已知已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则则ab+bc+ca的最小值为的最小值为_.选取a，b，c的符号可得ab+bc+ca的最小值重视知识的交汇与融合重视知识的交汇与融合例例3长方形的四个顶点长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1
6、),一质点从一质点从AB中点中点P0出发，沿与出发，沿与AB夹角为夹角为的方的方向射到向射到BC上的点上的点P1后，依次反射到的后，依次反射到的CD,DA,AB上的上的P2，P3，P4，设，设P4的坐标（的坐标（x4,0）,若若1x42,求求tan的取值范围的取值范围. .ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4设P1的坐标(2，m),设P2的坐标(n，1),设P3的坐标(0，p),设P4的坐标(q，0),把握学科特点，倡导通性通法把握学科特点，倡导通性通法 例例4设定义在设定义在R上的函数上的函数则关于则关于x的方程的方程xx结果c=0,b0.xy
7、oEABCDxyoEABCD 突出能力立意，搞好探究创新突出能力立意，搞好探究创新例例6把集合把集合2t+2s|0st,s,tZ的元素由小到大的元素由小到大排列得到数列排列得到数列an,例如例如a1=20+21=3,a2=20+22=5,a3=21+22=6,a4=20+23=9,a5=21+23=10,a6=22+23=12,把数列把数列an的项依次写成塔形的项依次写成塔形:35691012（1）写出塔形的第四、五行；写出塔形的第四、五行；（2）求求a100；35691012观察找规律观察找规律171820243334364048第一行第一行1个数，第二行个数，第二行2个数，个数，第，第n行
8、行n个数，个数，1+2+3+n1001+2+3+n-1,得得n=14,说明说明a100在第在第14行，每一行的第一个数分别为行，每一行的第一个数分别为2+1，22+1，23+1，24=1，25+1，26+1，214+1，前前13行用了行用了91个数个数.a100在第在第14行的第行的第9个数，个数，a100=214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.(s,t)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,n)(1,2)(1,3)(1,4)(1,n)(2,3)(2,4)(2,n)(3,4)(3,n)(n-1,n)171820243334364048理理性性思思维维(0,1
9、4)(1,14)(2,14)(3,14)(4,14)(5,14)(6,14)(7,14)(8,14)(9,14)(10,14)(11,14)(12,14)(13,14)a100在第在第14列对应第列对应第9个数组，个数组，(8,14)a100=214+28=16640.顺应教育改革，体现课改精神顺应教育改革，体现课改精神例例7 7 计算机常用十六进制的计数制，对应关系计算机常用十六进制的计数制，对应关系 16进制01234567 10进制01234567 16进制89ABCDEF 10进制89101112 13 14 15AB=110,11016=6余14AB=6EAB=_.(A)6E(B)7
10、2(C)5F(D)B0例例8对任意函数对任意函数f(x),xD,可按图示构造一个数可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：列发生器，其工作原理如下：输入数据输入数据x0D,经数列发生器输出经数列发生器输出x1=f(x0),若若x1D，则数列发生器结束工作；则数列发生器结束工作；若若x1D，则，则x返回输入端，再输出返回输入端，再输出x2=f(x1),将依此规律继续下去将依此规律继续下去.现定义：现定义：f输入输入打印打印输出输出X1DNoYes结束结束(1)若若x0=，则则由由数数列列发发生生器器产产生生数数列列xn，请请写写出出数数列列xn的的所所有有项；项；(2)若若数数列列发发生生器
11、器产产生生一个无穷的常数列，试一个无穷的常数列，试输入初始值输入初始值x0的值；的值；(3)若若输输入入x0时时，产产生生的的无无穷穷数数列列xn，满满足足xn0，xx10，xx20，由此得由此得a0又又y = ax (xx1)(xx2)=ax3a (x1x2)x2ax1x2xb =a(x1x2)，c= ax1x2由于，由于，|x1|x2|,且且x10,x20,x1x20，x1x20，又又a0,由此可得由此可得b0，c0选选(B) 例例例例2 2 函函函函数数数数y=y=logloga ax x在在在在x x2,+)2,+)上上上上恒恒恒恒有有有有| |y y | |1 1，则则则则a a的取
12、值范围是的取值范围是的取值范围是的取值范围是( () ) (A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D)或或或或或或【思路分析思路分析】令令令令x x = = 2 2，| |y y | | = = 1 1，求出求出求出求出a a = = 2 2或或或或a a = = 在同一坐标系内画出在同一坐标系内画出在同一坐标系内画出在同一坐标系内画出y y =和和和和 的图象的图象的图象的图象. .然后再由然后再由然后再由然后再由时时时时| | y y | |1 1，任意画出任意画出任意画出任意画出y = y = loglogm mx x 和和和和y y = = loglogn nx x的两个函数
13、图的两个函数图的两个函数图的两个函数图象象象象, ,它们与直线它们与直线它们与直线它们与直线y y = = 1 1交点交点交点交点的横坐标即为的横坐标即为的横坐标即为的横坐标即为m m、n n 的值的值的值的值从图可直观得到取值范围从图可直观得到取值范围从图可直观得到取值范围从图可直观得到取值范围为为为为或或或或1 1 a a22 选选选选(A)(A)例例3已知两点已知两点A(2，0)，B(0，2)，点点C是是圆圆x2y22x=0上上的的任任意意一一点点，则则ABC面积的最小值是面积的最小值是()(A)(B)(C)(D)2强化特殊化思想的训练强化特殊化思想的训练例例4已已 知知 函函 数数 f
14、 (x)对对任任意意实实数数 x 都都 有有 f (3x)=f (2x)，它它的的一一个个单单调调递递增增区区间间是是1,2，则函数，则函数y =f (1x)在在()(A)4,3上上单单调调递递增增，2,1上上单单调递减调递减(B)3,2上上单单调调递递增增，1,0上上单单调递减调递减(C)4,3上上单单调调递递减减，2,1上上单单调递增调递增(D)3,2上上单单调调递递减减，1,0上上单单调递增调递增【思路分析思路分析】由由f (3x)=f (2x)得得y =f (x)的图象的的图象的对称轴为对称轴为.又又f (x)在在1,2上单调递增上单调递增,可令可令则则.从图中可直观得到正确答案从图中
15、可直观得到正确答案(B).例例5已已知知三三棱棱锥锥ABCD中中,E、F、G、H分分别别为为AB、AC、CD、BD的的中中点点，则则截截面面EFGH把把三三棱棱锥锥ABCD分分成成两两部部分分的的体体积比为积比为()(A)11(B)12(C)23(D)34使使AD平面平面BCD，且，且BCCD设设BC = CD = AD = 2，则则，选，选(A)【思路分析思路分析】(一一)【思路分析思路分析】(二二) 使使三三棱棱锥锥变变为为各各条条棱棱长长皆皆相相等等的的正正四四面面体体，认认真真观观察察后后会会发发现现, ,被被截截面面所所截截的的两两个个多多面面体体是是完完全全相相同同的的, ,所所以
16、以它它们们的的体积比为体积比为11, ,选选(A)3强化估值法的训练强化估值法的训练例例6已知已知、都是锐角都是锐角,且且，,则则的值等于的值等于()(A)(B)(C)或或(D)或或画出单位圆画出单位圆画出单位圆画出单位圆, ,由由由由， 及及及及， 、 为锐角为锐角为锐角为锐角, ,可大致确定出可大致确定出可大致确定出可大致确定出 、 及及及及终边所在的终边所在的终边所在的终边所在的 位置位置位置位置. . 由图，显然由图，显然由图，显然由图，显然 + + ， 也不会两解，所以选也不会两解，所以选也不会两解，所以选也不会两解，所以选(B)(B) 【思路分析思路分析】4适当进行新题型的训练适当
17、进行新题型的训练例例7已知三个函数已知三个函数y1，y2，y3以及对应的以及对应的函数图象函数图象C1，C2，C3将将C1向左平移向左平移2个单个单位得到位得到C2，将，将C2关于原点对称得到关于原点对称得到C3，若三若三个函数解析式从以下三式中选取：个函数解析式从以下三式中选取：，,则则y1=_,y2=_,y3=_.【思路分析思路分析】变换的顺序与方法是确定的变换的顺序与方法是确定的第一次变换第一次变换第二次变换第二次变换x x +2y yx xy y观观察察三三个个解解析析式式的的特特点点，尤尤其其是是x的的符符号号特特点点，先先确确定定出出y3，然然后后再再确确定定y1和和y2，最后进行
18、验证最后进行验证，.例例8原原市市话话资资费费为为每每3分分钟钟0.18元元,现现调调整整为为前前3分分钟钟资资费费为为0.22元元,超超过过3分分钟钟,每每分分钟钟按按0.11元元计计费费,与与调调整整前前相相比比，一一次次通通话话提提价价的的百分比百分比()(A)不会高于不会高于70%(B)会高于会高于70%而不会高于而不会高于90%(C)不会低于不会低于10%(D)高于高于30%而低于而低于100%特殊值排除特殊值排除通话通话4分钟时，分钟时，原话费：原话费：0.182=0.36现话费：现话费：0.220.11=0.33提价为负值提价为负值排除排除(C)(D)通话通话30分钟时分钟时原话
19、费：原话费：0.1810=1.80现话费：现话费：0.220.1127=3.19排除排除(A)而选而选(B)【思路分析思路分析】(一一)【思路分析思路分析】(二二)可表示为：可表示为：所以提价所以提价.解好中等解答题的对策解好中等解答题的对策例例9 9 已知函数已知函数（）求）求f(x)的最小正周期和值域；的最小正周期和值域；（）求）求f(x)的单调增区间的单调增区间 解：解：由于由于 （）易知周期）易知周期T=，值域为值域为3，5 （）由）由，得，得因此，因此，f(x)的单调增区间是的单调增区间是 例例例例1010已知已知已知已知ABCABC的三个内角的三个内角的三个内角的三个内角A A，B
20、 B，C C 满足：满足：满足：满足： A AC=2BC=2B，求求求求的值的值的值的值 解解解解:由由由由A AC=2BC=2B及及及及A AB BC=180C=180 ，知知知知 B=60B=60 ，A AC=120C=120 故故 上式可化为上式可化为 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为.代入上式，得代入上式，得 由于由于 ， ， 将将 代入上式代入上式 整理得，整理得，例例11某海军基地的三艘舰艇在某海域的某海军基地的三艘舰艇在某海域的A、B、C三处定点执行任务已知三处定点执行任务已知A在在B的正东的正东方向，且方向，且A、B相距相距6千米千米
21、C在在B的北偏西的北偏西30，B、C相距相距4千米某时刻千米某时刻A处舰艇收到处舰艇收到该海域内该海域内P处一渔船以每秒处一渔船以每秒1千米的传播速度千米的传播速度发出的发出的“由于机器故障无法航行急需救助由于机器故障无法航行急需救助”的信号，的信号，4秒钟后秒钟后B、C两处的舰艇才同时收两处的舰艇才同时收到这一信号现到这一信号现A处舰艇奉命前去救助，求处舰艇奉命前去救助，求A处舰艇前去救助时航向的方位角处舰艇前去救助时航向的方位角解解：以以BA所所在在直直线线为为x轴轴，线线段段BA的的中中点点为为原原点点，正正东东、正正北北方方向向分分别别为为x轴轴、y轴的正方向建立直角坐标系（如图），轴
22、的正方向建立直角坐标系（如图）， 则则A（3，0），B（3，0），=4 过过C作作CMx轴轴于于M，由由于于C在在B的的北北偏西偏西 30，故，故CBM = = 60 ， ，于是得于是得 由由由由于于于于B B处处处处舰舰舰舰艇艇艇艇收收收收到到到到信信信信号号号号比比比比A A处处处处舰舰舰舰艇艇艇艇收收收收到到到到信信信信号号号号迟迟迟迟4 4秒秒秒秒，且且且且信信信信号号号号传传传传播播播播速速速速度度度度为为为为每秒每秒每秒每秒1 1千米，千米，千米，千米， 故故故故| |PB|PB| |PA|PA|=4 4 因此，因此，P点在以点在以A、B为焦点的双曲为焦点的双曲 线的右支上，且线的
23、右支上，且 2a =4，2c =6，从而，从而 a =2，c =3，b2=c2a2=5 所以，双曲线的方程为所以，双曲线的方程为 因因因因为为为为B B、C C两两两两处处处处舰舰舰舰艇艇艇艇同同同同时时时时收收收收到到到到P P处处处处渔渔渔渔船船船船发发发发出出出出的的的的呼呼呼呼救救救救信信信信号号号号，所所所所以以以以| |PB|PB|=|=|PC|PC|，于于于于是点是点是点是点P P必在线段必在线段必在线段必在线段BC BC 的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上 由点斜式得直线由点斜式得直线PQ 的方程为的方程为 整理，得整理，得 过过P作作PQBC于于Q，则，
24、则Q必为必为BC的中的中 点故得点故得 ， 联立联立、，注意到，注意到x2，解得，解得x = 8= 8， ，于是得于是得 设设PA的倾斜角为的倾斜角为，则，则 故故 因此所求的方位角为因此所求的方位角为30解好解答题中综合性难题的对策解好解答题中综合性难题的对策一、一、“翻译翻译”转化，弄清已知，明确转化，弄清已知，明确目标，理顺思路目标，理顺思路二、辨别题型，设计方案，寻求最二、辨别题型，设计方案，寻求最佳解法佳解法三、解前估测猜想，解后检验思考，三、解前估测猜想，解后检验思考，总结经验教训，分析错误原因总结经验教训，分析错误原因 例例12已知函数，已知函数，f(x)=ax21(aR，xR)
25、，集集合合且且A=B求求a的取值范围的取值范围 抛物线抛物线y=ax21 与直线与直线y=x的交点的横坐标的交点的横坐标 方程方程ax21=x的实根的实根 方程a (ax21)21=x的实根 方程组方程组的解中的解中x的值的值 曲线曲线y=ax21与曲线与曲线x=ay21的的公共点的横坐标公共点的横坐标 A=B 集合集合A、B中元素都相同且不是空集中元素都相同且不是空集 方程方程ax21=x有实根，且与方程有实根，且与方程a (ax21)21=x同解同解 曲线曲线y=ax21与与y =x有交点，且有交点，且交点就是曲线交点就是曲线y=ax21与与x=ay21的交点的交点 (1)由由A，得到得到
26、a的一个范围；的一个范围；(2)证明证明；解题方案一解题方案一(3)由于由于，说明四次方程，说明四次方程 a (ax21)21x=0左边的四次式必能因式分解，分解左边的四次式必能因式分解，分解出一个出一个二次式二次式ax21x与另一个二次式的乘积；与另一个二次式的乘积；(4)利用利用A=B再得出再得出a的另一个范围的另一个范围(5)解：解：(1)由由A，知知方程方程ax2x1=0有实根，有实根，当当a=0时，该方程有实根；时，该方程有实根；当当a0时，由时，由10，得，得1+4a0，即即(a0)，综上，得综上，得(2)ff(x)=x即即a(ax21)21x=0a3x42a2x2x+a1=0(a
27、x2x1)(a2x2+axa+1)=0A=B当且仅当方程当且仅当方程a2x2+axa+1=0无实根或方程无实根或方程的实根都是方程的实根都是方程ax2x1=0的实根，的实根，方程方程与与的实根不都相同的实根不都相同 当当2=a24a2(a+1)0，即即时方程时方程无实根；无实根；当当2=0，即，即时，方程时，方程有有重根重根，恰是方程，恰是方程的两根之一；的两根之一；当且仅当当且仅当时时A=B综上，综上，A=B时时a的取值范围是的取值范围是 (1)Ay=ax21与与y=x有公共点；有公共点；解题方案二解题方案二(2)A=B曲线曲线y= ax21上不存在两个上不存在两个不同点关于直线不同点关于直
28、线y=x对称对称曲线曲线y= ax21上斜率为上斜率为1的平的平行弦中点轨迹与行弦中点轨迹与y = x 没有公共点没有公共点解题方案二解题方案二练习题练习题1函数函数y =ax22的图像上存在的图像上存在不同两点关于直线不同两点关于直线y =x对称，求对称，求a的取值范围的取值范围例例13已知无穷数列已知无穷数列an的每一项都是正的每一项都是正整数，且整数，且，an0)(1)证明：证明：anan+1 (nN)；(2)是否存在自然数是否存在自然数m，当，当nm时，时，an恒为一个常数？恒为一个常数？分析： (1)假设存在自然数假设存在自然数k，那那么么，于是于是，数列各项都是自然数，数列各项都是
29、自然数，设设，则，则，这与已，这与已知矛盾知矛盾(2)如果存在自然数如果存在自然数n，那么那么又因为又因为，从而从而如果对于任意自然数如果对于任意自然数n，都有都有，那么因为已知此数列每一项都是自然数，那么因为已知此数列每一项都是自然数，所以所以，从而，从而设设M 的整数部分是的整数部分是t，则则，这与数列每一项都小于这与数列每一项都小于M 是矛盾的是矛盾的综上可知，存在自然数综上可知，存在自然数m，当当nm 时时an恒为一常数恒为一常数 已已知知无无穷穷数数列列an的的每每一一项项都都是是正正整整数数，且且(nN)，集集合合P=(x，y)|x=n，y=an，nN求求证证：集集合合P 中中有有
30、无无穷穷多多个个点点在在一一直直线线上上练习题练习题2例例14已知抛物线顶点在已知抛物线顶点在x轴上，轴上，以以y轴为准线，点轴为准线，点A(4，0)到此抛到此抛物线上动点物线上动点P的距离的最小值为的距离的最小值为2，求此抛物线的方程，求此抛物线的方程解解：设设所所求求抛抛物物线线顶顶点点为为(a，0)，那那么么方方程为程为y2=4a(xa)设抛物线上动点设抛物线上动点P的坐标为的坐标为(x，y)，解得，解得，抛物线方程为抛物线方程为或或代数解法所得结论与解前估测的结代数解法所得结论与解前估测的结果不符，孰对孰错？果不符，孰对孰错？，当当42aa即即时，时，得得；分分析析当当，则，则x=a时时|PA|最小，最小，得得a=2或或a=6综上，所求抛物线方程为综上，所求抛物线方程为，y2 =8(x2)，y2=24(x6)是否存在同时满足下列条件的双曲是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出方程；若不存在，说线，若存在，求出方程；若不存在，说明理由：明理由：(1)渐近线方程为渐近线方程为x+2y=0 及及x2y=0 ；(2)点点A(5，0)到双曲线上动点到双曲线上动点P 的距离的距离最小值为最小值为练习题练习题3愿数学给你一双慧眼
