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1、全等三角形全等三角形（1 1）两个能够完全重合的三角形叫全等三）两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，角形，（2 2）全等三角形的对应角相等，对应边相）全等三角形的对应角相等，对应边相等。等。（3 3）判定两个三角形全等的公理或定理：）判定两个三角形全等的公理或定理： 一般三角形有一般三角形有SASSAS、SSSSSS。 千万不要将千万不要将SSA条件作为条件作为SAS条件来条件来用。用。 1。证明两个三角形全等，要结合题目的条。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法件和结论，选择恰当的判定方法2。全等三角形，是证明两条。全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相
2、等的重要方法之一，证明时相等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。能全等的三角形中。分析分析要证两个三角形全等，已有什么要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。条件，还缺什么条件。有有公共边公共边的，的，公共边公共边一定是对应边，一定是对应边，有有公共角公共角的，的，公共角公共角一定是对应角，有一定是对应角，有对对顶角顶角，对顶角对顶角也是对应角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。弯路。知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重
3、合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法1.1.如图，如图，AM=AN，BM=BN说明说明AMBANB的理由的理由解解:在在AMB和和ANB中中 （）AN已知已知BMABABABMABNSSSFEDCBA2。如图，。如图， B E，ABEF，BDEC，那么，那么 ABC与与 FED全等吗？为什么？全等吗？为什么？解：全等。解：全等。 BD=EC
4、（已知）（已知） BDCDECCD。即。即BCED在在 ABC与与 FED中中ABCFED（SAS） 小明的设计方案：先在池塘旁取一个小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达能直接到达A A和和B B处的点处的点C C，连结，连结ACAC并延长并延长至至D D点，使点，使AC=DCAC=DC，连结，连结BCBC并延长至并延长至E E点，点，使使BC=ECBC=EC，连结，连结CDCD，用米尺测出，用米尺测出DEDE的长，的长，这个长度就等于这个长度就等于A A，B B两点的距离。请你说两点的距离。请你说明理由。明理由。AC=DCACB=DCEBC=ECACBDCE(SAS)AB=DEECBA
5、D3。如图线段。如图线段AB是一个池塘的长度，是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。出来吗？想想看。解：在解：在 ACB和和 DCE中，中，（全等三角形对应边相等。）4、如图，已知、如图，已知AB=AD，AC=AE，1=2，求证：求证：BC=DEABCDE12ACEBD21如果如果ABDACE，1与与2相等吗？相等吗？解解ABDACE（已知）（已知）DAB=EAC（全等（全等三角形的对应角相等）三角形的对应角相等）DAB-BAE=E
6、AC-BAE即即1=25.如图，如图，PA=PB，PC是是PAB的的角分线，角分线，A=55求：求：B B的度数的度数解：解：PC是是APB的角平分线的角平分线APC=（三角形角平分线意义）（三角形角平分线意义）在在中中（） A=B（ ） A=55（已已知知）B=A=55（等量代换）（等量代换）PABC第12题BPCAPC和和BPCPA=PB(已知已知)BPCAPC=PC=PC(公共边公共边)APCBPCSAS全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等例例2 2：如图，已知：如图，已知ABCABC中，中，BEBE和和CDCD分别为分别为 ABCABC和和ABCABC的平分线，且的平分线，且BD
7、= CEBD = CE，1 = 1 = 22。说明。说明BE = CDBE = CD的理由。的理由。A AB BC CE ED D1 12 2解解：DBC = 21DBC = 21，ECB = 22ECB = 22 （角平分线的定义）（角平分线的定义）1 = 2DBC = ECB1 = 2DBC = ECB 在在DBCDBC和和ECBECB中中 BD = CEBD = CE（已知）（已知） DBC = ECBDBC = ECB BC = CB BC = CB（公共边）（公共边） DBCECB DBCECB（SASSAS）BE = CDBE = CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边
8、相等）分析：分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于相等。至于D，因为，因为AD和和BC是对应边，因此是对应边，因此ADBC。C符合题意。符合题意。说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角错对应角。例题精析：例题精析：连接例题分析：分析：本题利用边角边公理证明两个三本题利用边角边公理证明两个三角形全等角形全等.由题目已知只要证明由题目已知只要证明AFCE，AC例例2如图如图2，AECF，AD BC，ADC
9、B，求证：求证：说明：本题的解题关键是证明说明：本题的解题关键是证明AFCE，AC，易错点是将，易错点是将AE与与CF直接作为对应边，而错误地写直接作为对应边，而错误地写为：为：又因为又因为AD BC，（？）（？）分析：分析：已知已知 ABCA1B1C1，相当于已知，相当于已知它们的对应边相等它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系选取其中一部分相等关系.例例3已知：如图已知：如图3， ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是分别是 ABC和和 A1B1C1的高的高.求证：求证：AD=A1D1图图3证明：证明：ABCA1B1C1（已知）（已知
10、） AB=A1B1， B= B1（全等三角形的对应边、对（全等三角形的对应边、对应角相等）应角相等） AD、A1D1分别是分别是 ABC、 A1B1C1的高（已知）的高（已知）ADB= A1D1B1=90.在在 ABC和和 A1B1C1中中 B= B1（已证）（已证） ADB= A1D1B1（已证）（已证）AB=A1B（已证）（已证）ABCA1B1C（AAS） AD=A1D1（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）说明：本题为例说明：本题为例2的一个延伸题目，关键是利用三角的一个延伸题目，关键是利用三角形全等的性质及判定找到相等关系形全等的性质及判定找到相等关系.类似的题目还有类似
11、的题目还有角平分线相等、中线相等角平分线相等、中线相等.说明：本题的解题关键是证明说明：本题的解题关键是证明，易，易错点是忽视证错点是忽视证OEOF，而直接将证得的，而直接将证得的AOBO作为证明作为证明的条件的条件.另外注意格式书写另外注意格式书写.分析：分析：AB不是全等三角形的对应边，不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为但它通过对应边转化为ABCD，而使，而使AB+CDADBC，可利用已知的，可利用已知的AD与与BC求得。求得。说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。得到对应边相等。例例6：求证：有一条直角边和斜边上
12、的高对应相等的：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。两个直角三角形全等。分析：分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。已知：已知：如图，在如图，在Rt ABC、Rt 中，中， ACB= =Rt ，BC=，CD AB于于D， 于于，CD=求证：求证：Rt ABC Rt 证明：在证明：在Rt CDB和和Rt 中中 Rt CDB Rt （HL）由此得由此得 B= 在在 ABC与与 中中ABC（ASA）说明：说明：文字证明题文字证明题的的书写格式
13、要标准书写格式要标准。1.如图如图1： ABF CDE， B=30， BAE= DCF=20.求求 EFC的度的度数数.练习题：练习题：2、如图、如图2，已知：，已知：AD平分平分 BAC，AB=AC，连接，连接BD，CD，并延长相，并延长相交交AC、AB于于F、E点则图形中有点则图形中有（）对全等三角形）对全等三角形.A、2B、3C4D、5C图图1图图2（800）3、如图、如图3，已知：，已知： ABC中，中，DF=FE，BD=CE，AF BC于于F，则此图中全等三角形共有（，则此图中全等三角形共有（）A、5对对B、4对对C、3对对D2对对4、如图、如图4，已知：在，已知：在 ABC中，中，
14、AD是是BC边上的高，边上的高，AD=BD，DE=DC，延长，延长BE交交AC于于F，求证：求证：BF是是 ABC中边上的高中边上的高.提示：提示：关键证明关键证明 ADCBFCB5、如图、如图5，已知：，已知：AB=CD，AD=CB，O为为AC任一点，过任一点，过O作直线作直线分别交分别交AB、CD的延长线于的延长线于F、E，求，求证：证： E= F.提示：提示：由条件易证由条件易证 ABCCDA从而得知从而得知 BAC DCA，即：，即：AB CD.6、如图、如图6，已知：，已知： A90，AB=BD，ED BC于于D.求证：求证：AEED提示：提示：找两个全等三角形，需连结找两个全等三角形，需连结BE.图图6(2009年牡丹江市)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAASDSSS ODPCABACEBD
