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1、非线性有限元非线性有限元第第7 7章章 任意的任意的LagrangianLagrangian和和EulerianEulerian公式公式 计算固体力学计算固体力学第第7 7章章 任意的任意的LagrangianLagrangian和和EulerianEulerian公式公式 1 1引言引言2 2ALEALE连续介质力学连续介质力学3 3ALEALE守恒规则守恒规则4 4ALEALE控制方程控制方程5 5弱形式弱形式6 6网格更新算法网格更新算法7 7Petrov-GalerkinPetrov-Galerkin方法方法1 引言引言解解决决：在在发发生生严严重重大大变变形形的的模模拟拟中中，重重新
2、新划划分分网网格格是是不不可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。提出提出：许多问题应用：许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。网格不能有效地解决。问问题题：当当材材料料严严重重变变形形时时，LagrangianLagrangian单单元元同同样样发发生生严严重重的的扭扭曲曲，因因为为它它们们随随材材料料一一起起变变形形，从从而而恶恶化化了了这这些些单单元元的的近近似似精精度度，特特别别是是对对于于高高阶阶单单元元。因因此此，在在积积分分点点的的JacobianJacobian行行列列式式可可能能成成为为负负值值，从从而而使
3、使计计算算中中止止或或者者引引起起严严重重的的局局部部误误差差。此此外外，也也恶恶化化了了线线性性化化牛牛顿顿方方程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。 一一个个Lagrangian网网格格像像在在材材料料上上的的蚀蚀刻刻：当当材材料料变变形形时时，蚀蚀刻刻(和和单单元元)随着变形。随着变形。 一一个个Eulerian网网格格像像放放在在材材料料前前面面一一薄薄片片玻玻璃璃上上的的蚀蚀刻刻：当当材材料料变变形形时时，蚀蚀刻刻不不变变形形，而而材材料横穿过网格。料横穿过网格。1 引言引言Lagrangian网格，材料点与网网格，材料点与网格点保持重合
4、，单元随材料变格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。形，但容易严重扭曲。解决方法：解决方法：ALE网格网格(Arbitrary Lagrangian Eulerian) 节点能够有序地任意运动，在节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭动，内部的节点运动使网格扭曲最小化。曲最小化。1 引言引言1 引言引言Mesh adaptivity is based on solution variables as well as minimum element distortion
5、Elements concentrate in areas where they are needed Adaptation is based on boundary curvature Deformation of a rubber sealInitial configurationUniform adaptivitySolution-dependent adaptivity1 引言引言 在在某某些些问问题题中中，LagrangianLagrangian方方法法是是根根本本不不适适用用的的。例例如如，对对于于高高速速流流动动的的流流体体力力学学问问题题，如如围围绕绕机机翼翼的的区域，喷射等。
6、区域，喷射等。 在在EulerianEulerian有有限限元元中中，网网格格与与物物质质是是相相互互独独立立的的，网网格格在在空空间间上上是是固固定定的的，材材料料从从网网格格中中流流过过。这这样样EulerianEulerian有有限限元元不不会会随随着着材材料料运运动动而而扭扭曲曲；但但是是，由由于于材材料料通通过过单单元元对对流流，本本构构方方程程的的处处理理和和更更新新是是复复杂杂的。的。 应用应用EulerianEulerian单元单元处理移动边界和相互作用问题处理移动边界和相互作用问题是困难的，因此，发展了是困难的，因此，发展了ALEALE。2 ALE连续介质力学连续介质力学材料
7、坐标与空间坐标材料坐标与空间坐标 空间坐标与空间坐标与ALE坐标坐标 在在Lagrangian、Eulerian和和ALE域之间的映射域之间的映射 ALE坐标（参考）坐标（参考） ALE坐标与材料坐标坐标与材料坐标 相对运动关系相对运动关系2 ALE连续介质力学连续介质力学在在ALE算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。 网格位移网格位移 网格速度网格速度 网格加速度网格加速度 ALE ALE网格的加速度和速度没有任何物理意义。当网格是网格的加速度和速度没有任何物理意义。当网格是LagrangianLagrangian 时，它们对应于材
8、料速度和加速度。时，它们对应于材料速度和加速度。定义定义传递速度传递速度 c，作为材料速度和网格速度之间的差，作为材料速度和网格速度之间的差 c0，为，为L格式；格式；cv，( ) 为为E格式。格式。 2 ALE连续介质力学连续介质力学考虑一个指定的函数考虑一个指定的函数 为为ALE坐标坐标 和时间和时间t 的函数的函数 参考质点速度参考质点速度w 材料速度和网格速度的差材料速度和网格速度的差 对于材料速度对于材料速度2 ALE连续介质力学连续介质力学利用空间梯度建立材料时间导数的表达式利用空间梯度建立材料时间导数的表达式 代入代入f 若代表是速度，上式为加速度若代表是速度，上式为加速度 坐标
9、之间的转换关系见例坐标之间的转换关系见例7.1。(7.2.17)3 ALE守恒规则守恒规则 守守恒恒规规则则，在在形形式式上上与与在在第第3 3章章EulerianEulerian描描述述中中的的那那些些几几乎乎相相同同，唯唯一一的的修修改改是是用用材材料料时时间间导导数数的的ALEALE形形式式(7.2.17)(7.2.17)代代替替所所有有的的材材料料时时间间导导数数，其其结结果果是是在在更更新新的的L L格格式式中中的的EulerianEulerian描描述述和和ALEALE描述之间的描述之间的唯一唯一区别是材料时间导数项。区别是材料时间导数项。 与与在在第第4 4章章中中建建立立的的L
10、agrangianLagrangian格格式式的的主主要要区区别别是是，现现在在需需要要以以偏偏微微分分方方程程( (即即连连续续方方程程) )的的形形式式考考虑虑质质量量守守恒恒方方程程，因因为为域随时间变化，质量亦随时间变化域随时间变化，质量亦随时间变化。 因因此此，我我们们几几乎乎总总是是在在处处理理两两个个系系统统的的偏偏微微分分方方程程：标标量量连连续续方方程程和和向向量量动动量量方方程程。当当它它们们与与热热交交换换或或者者其其它它能能量量转转换换耦合时，还必须包括耦合时，还必须包括能量方程能量方程。4 ALE控制方程控制方程连续方程连续方程( (质量守恒质量守恒) )或者或者动量
11、方程动量方程能量方程能量方程自然边界条件自然边界条件在在 上上在在 上上基本位移边界基本位移边界在在 上上在在 上上初始条件初始条件5 弱形式弱形式有限元近似有限元近似 对于单元对于单元e，ALE坐标给出为坐标给出为 单元单元e坐标坐标 网格运动给出为网格运动给出为 节点的运动节点的运动 这代表两个映射复合：从母单元到这代表两个映射复合：从母单元到ALE的映射和网格运动的映射的映射和网格运动的映射 网格速度为网格速度为 节点节点I 的网格速度的网格速度 Lagrangian、Eulerian、ALE和自然坐标域之间的映射和自然坐标域之间的映射 5 弱形式弱形式有限元近似有限元近似 即单元坐标、
12、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射即单元坐标、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射 5 弱形式弱形式有限元近似有限元近似 在在ALE格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数 速度的材料时间导数速度的材料时间导数 在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度v,t表示，表示，通过积分和插值，给出通过积分和插值，给出材料速度材料速度为为应用类似的插值，得到应用类似的插值，得到传递速度传递速度为为 5 弱形式弱形式有限元近似
13、有限元近似 由传递速度公式由传递速度公式 得到得到 材料速度的材料速度的ALE时间导数时间导数 结论是，在弱形式中的材料速度的时间导数为结论是，在弱形式中的材料速度的时间导数为 对于密度的材料时间导数，应用同样的过程，给出对于密度的材料时间导数，应用同样的过程，给出5 弱形式弱形式有限元矩阵有限元矩阵 连续方程连续方程 容量、转换和散度矩阵分别为容量、转换和散度矩阵分别为 动量方程动量方程 M和和L分分别是广是广义质量和量和传递矩矩阵，对应于在参考构形下的速度于在参考构形下的速度 5 弱形式弱形式有限元矩阵有限元矩阵 动量方程动量方程 注注意意到到除除了了它它们们是是以以变变分分形形状状函函数
14、数的的形形式式定定义义之之外外，内内部部和和外外部部节节点点力力与与更更新新的的Lagrangian格格式式（框框4.3）中中的的对对应应项项是是一一致致的的。质量矩阵不是时间的常量，因为密度和域随时间变化质量矩阵不是时间的常量，因为密度和域随时间变化。 6 网格更新算法网格更新算法 在在ALEALE中中，网网格格可可以以任任意意移移动动给给出出了了大大变变形形的的可可能能性性。通通过过ALEALE移移动动边边界界（指指物物理理表表面面）能能够够利利用用LagrangianLagrangian的的精精确确特特性性来来循循迹迹，内内部部网网格格也也可可以以移移动动以以避避免免过过渡渡的的单单元元
15、扭扭曲曲。然然而而这这需需要要一一种种有有效效的的算算法法来来更更新新网网格格，即即网网格格速速度度 必必须须给给定定，以以避避免免网格扭曲和保证边界和接触面至少局部地保持网格扭曲和保证边界和接触面至少局部地保持LagrangianLagrangian 。 对对应应于于域域边边界界在在每每一一时时刻刻均均已已知知的的分分析析，预预先先给给定定网网格格运运动动。当当域域边边界界有有一一个个已已知知的的运运动动时时，网网格格随随这这一一边边界界的的运运动动可可以以预预先先给定。给定。 6 网格更新算法网格更新算法建立材料和网格速度的关系，只有给定其中一个，自动建立材料和网格速度的关系，只有给定其中
16、一个，自动确定确定另一个另一个1 如果给定如果给定，可以计算位移，可以计算位移 和加速度和加速度 。应用显式积分算法和中心差分算法，而不需要计算相对速度应用显式积分算法和中心差分算法，而不需要计算相对速度w 。2 如果如果 未知，给定了未知，给定了 w ，在更新网格前求解上式计算，在更新网格前求解上式计算 。 发展发展ALE的核心问题是给定这些速度的最佳选择和更新网格的核心问题是给定这些速度的最佳选择和更新网格的算法。的算法。3 给定给定 和和 w 的分量形式，混合算法的分量形式，混合算法 。1.当当域域边边界界有有一一个个已已知知的的运运动动时时，网网格格随随这这一一边边界界的的运运动动可以
17、预先给定。可以预先给定。 6 网格更新算法网格更新算法2. Lagrange-Euler 矩阵方法，任意定义相对速度（参考）矩阵方法，任意定义相对速度（参考） Lagrange-Euler 参数矩阵参数矩阵如果如果 ，则，则 ， 可以是时间和空间的函数。可以是时间和空间的函数。由上式，相对速度是材料速度的线性函数，由上式，相对速度是材料速度的线性函数，如果如果 ，则，则 ，Lagrangian网格描述。网格描述。如果如果 ，则，则 ，Eulerian网格描述。网格描述。6 网格更新算法网格更新算法由传递速度和相对速度由传递速度和相对速度得到得到 在参考域边界上必须满足后一个方程。得到一个网格再
18、分区的在参考域边界上必须满足后一个方程。得到一个网格再分区的基本方程：基本方程：在二维情况下的显式格式如下：在二维情况下的显式格式如下： 问问：或或分别对应什么格式？分别对应什么格式？ 6 网格更新算法网格更新算法 带有网格更新的带有网格更新的ALE技术基于技术基于L-E参数，对参数，对表面波动表面波动问题是问题是非常有用的。我们假设自由表面相对于总体坐标是有导向的，非常有用的。我们假设自由表面相对于总体坐标是有导向的，曲面方程可以写为曲面方程可以写为 欧拉坐标用于欧拉坐标用于 方向，方向， 自由表面通过一个空间坐标定义，它对其余两个空间坐标和自由表面通过一个空间坐标定义，它对其余两个空间坐标
19、和时间是连续可微的函数，时间是连续可微的函数，L-E矩阵只有一个非零项矩阵只有一个非零项 一般等于一般等于1称为累计率函数，表示在自由表面得到或失去的质量。称为累计率函数，表示在自由表面得到或失去的质量。 自由表面是物质表面；沿着表面累计率必须为零；所以自由表面是物质表面；沿着表面累计率必须为零；所以 等于等于16 网格更新算法网格更新算法在贮箱内的液体晃动在贮箱内的液体晃动自由表面的液体晃动自由表面的液体晃动Coupled equationsCoupled equations Free surface Free surface Fluid-structure interfaceFluid-s
20、tructure interface S Sf fS Sww 1 On 1 On S Sw w: : the geometrical the geometrical compatibility conditionscompatibility conditions ( (slipping slipping boundary boundary conditioncondition)are)are applied applied: : 2 On 2 On S Sw w: : the equilibrium conditionsthe equilibrium conditions are applie
21、dare applied: : 6 网格更新算法网格更新算法Elephant foot bulging (EFB) Diamond shape bulging (DSB)流体流体/结构耦合分析结构耦合分析6 网格更新算法网格更新算法流体流体/结构耦合分析结构耦合分析程序平台：程序平台：ABAQUS/用户单元附加质量用户单元附加质量例：动力作用下的液体贮箱例：动力作用下的液体贮箱Elephant foot bulging Diamond shape bulgingEFB and DSBEFB and DSBEFB and DSBEFB and DSB6 网格更新算法网格更新算法程序平台：程序平台
22、：ABAQUS/ALE流体单元流体单元例例2：动力作用下的液体贮箱：动力作用下的液体贮箱Elephant foot bulgingElephant foot bulgingDeformation between test data and FEM by added mass and ALE流体流体/结构耦合分析结构耦合分析6 网格更新算法网格更新算法6 网格更新算法网格更新算法 由于由于 方法对表面的单元跟踪很好，但是很难保证流体域内部的方法对表面的单元跟踪很好，但是很难保证流体域内部的单元扭曲。由于这个缺点，引入了一种混和方法，变形梯度法，一旦单元扭曲。由于这个缺点，引入了一种混和方法，变形
23、梯度法，一旦边界已知，通过给定网格的位移或者速度，避免单元缠结和扭曲。边界已知，通过给定网格的位移或者速度，避免单元缠结和扭曲。3. 3. 变形梯度法混合算法变形梯度法混合算法 由于网格位移和速度直接控制单元的形状，由于网格位移和速度直接控制单元的形状，沿着域边界给定沿着域边界给定 ，在内部给定节点位移或者速度在内部给定节点位移或者速度，混合算法。，混合算法。ALE网格，边界处，网格，边界处，Lagrangian化；化； 在内部，在内部，Eulerian化。化。 作作为为一一个个使使用用修修正正的的弹弹性性方方程程的的ALEALE网网格格更更新新的的例例子子，考考虑虑一一个个位位于于一一个个矩
24、矩形形流流体体域域中中的的圆圆柱柱绕绕流流的的有有限限元元网网格格。在在圆圆柱柱沿沿着着y y方方向向移移动动了了一一个个位位移移0.25w0.25w后后的的网网格格见见图图b b。矩矩形形域域的的边边界界保保持持固固定定。由由图图可可见见，圆圆柱柱附附近近的的网网格格精精度度在在更更新新后后的的网网格格中中得得以以保保持持，并并且且无无明明显的单元扭曲发生。显的单元扭曲发生。网格更新的例子网格更新的例子 6 网格更新算法网格更新算法7 Petrov-Galerkin方法方法 伽辽金伽辽金( (GalerkinGalerkin) )方法，是利用满足位移和应力边界条件方法，是利用满足位移和应力边
25、界条件的函数寻求积分方程的解答。的函数寻求积分方程的解答。 关键问题是关键问题是增加粘性增加粘性，消除不稳定项，保证数值稳定性。，消除不稳定项，保证数值稳定性。 建建立立Petrov-Galerkin方方法法的的迎迎风风流流线线(Streamline Upwind Petrov-GalerkinSUPG)公公式式。对对流流扩扩散散方方程程是是一一个个有有用用的的方方法法，它它对对应应于于动动量量方方程程的的线线性性化化。对对于于离离散散的的稳稳态态对对流流扩扩散散方方程程，将将得得到到闭闭合合解解答答。将将证证明明当当网网格格参参数数(已已知知的的Peclet数数)超超过过临临界界值值时时，这
26、这个个解解答答在在空空间间是是振振荡荡的的。通通过过建建立立P-G方法以消除这些振荡，即纠正不稳定性。方法以消除这些振荡，即纠正不稳定性。 在一维中，离散方程类似于标准迎风方程。然而在多维中，在一维中，离散方程类似于标准迎风方程。然而在多维中，它们提供了沿着流线引导迎风项的一致理论框架。它们提供了沿着流线引导迎风项的一致理论框架。 迎迎风风格格式式的的基基本本思思想想：当当用用差差分分方方程程求求解解偏偏微微分分方方程程时时，利利用用特特征征线线方方向向一一侧侧的的单单边边差差商商来来代代替替空空间间偏偏导导数数。目目的的是是保保证数值稳定性。如一阶线性常系数双曲型方程：证数值稳定性。如一阶线
27、性常系数双曲型方程：7 Petrov-Galerkin方法方法在特征线方向一侧的单边差商来代替偏导数，迎风格式为：在特征线方向一侧的单边差商来代替偏导数，迎风格式为：j-1n+1a0njj+1j-1n+1a0njj+1 中中心心差差分分格格式式需需要要加加入入非非线线性性人人工工粘粘性性项项以以去去掉掉激激波波前前振振荡，同时加入荡，同时加入线性数值粘性项线性数值粘性项以确保计算稳定。以确保计算稳定。 迎迎风风格格式式依依据据EulerEuler方方程程中中波波传传播播的的信信息息构构造造格格式式，无无需需添添加加人人工工粘粘性性项项，迎迎风风格格式式为为空空间间差差分分格格式式( (偏偏心心
28、差差分分格格式式) )，理理论上比中心差分格式扎实。论上比中心差分格式扎实。7 Petrov-Galerkin方法方法 如如果果差差分分格格式式( (所所用用的的网网格格点点) )与与微微分分方方程程的的特特征征线线方方向向一一致致，那那么么网网格格比比 在在满满足足一一定定条条件件下下是是稳稳定定的的，否否则则，差差分格式是不稳定的。分格式是不稳定的。双曲线型微分方程的特征线双曲线型微分方程的特征线存在交叉，导数不连续。存在交叉，导数不连续。7 Petrov-Galerkin方法方法稳态线性对流扩散方程为稳态线性对流扩散方程为运动粘度运动粘度 给定速度给定速度 对于一维问题，偏微分方程成为常
29、微分方程对于一维问题，偏微分方程成为常微分方程 应用边界条件应用边界条件这是在这是在0xL 域上的两点边值问题，容易证明公式的精确解答是域上的两点边值问题，容易证明公式的精确解答是空间非独立变量空间非独立变量 7 Petrov-Galerkin方法方法应用线性形状函数建立应用线性形状函数建立Galerkin离散，并在全域上积分离散，并在全域上积分 变分函数变分函数 分部积分并且应用散度原理，对流扩散方程的弱形式是分部积分并且应用散度原理，对流扩散方程的弱形式是将域（将域（0，L）划分成相同尺寸的单元）划分成相同尺寸的单元 在每个单元上的离散方程给出为在每个单元上的离散方程给出为 有限元的形状函
30、数有限元的形状函数 对于第对于第j个节点的内部方程为个节点的内部方程为 7 Petrov-Galerkin方法方法上式上式恰好是中心差分方程，可以方便地重写成为恰好是中心差分方程，可以方便地重写成为1 如果如果Peclet数小于数小于1， 则离散解答是类似于精确解答；则离散解答是类似于精确解答； 2 如果如果Peclet数大于数大于1， 则离散解答是正或者负而振荡。则离散解答是正或者负而振荡。 这种不稳定是数值离散的空间不稳定。这种不稳定是数值离散的空间不稳定。 Peclet数数 精确解精确解离散解离散解将上式中的变分函数将上式中的变分函数重写为重写为式中式中选择选择 是为了消除振荡，期望得到精确解。是为了消除振荡，期望得到精确解。 如如简化成为中心差分方法简化成为中心差分方法 是一个完全的迎风公式是一个完全的迎风公式 7 Petrov-Galerkin方法方法应用线性形状函数建立应用线性形状函数建立Galerkin离散，并在全域上积分离散，并在全域上积分 逆逆P-G项项G项项总结总结 ALE网格，调整网格运动的相对速度。网格，调整网格运动的相对速度。 边界处，边界处，Lagrangian化；化； 在内部，在内部，Eulerian化；化； 稳定性，增加粘性。稳定性，增加粘性。
