《高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件理（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8讲解三角形应用举例1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求 b 与 c.在有解时只有一解1.解三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如 a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出角A 或 B；再由 ABC180求另一角.在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理
2、由余弦定理求角 A，B；再由 ABC180求角 C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B；再由 ABC180，求角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解(续表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题等.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角如图 3-8-1(1).(1)(2)图 3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，
3、北偏西 45等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为如图 3-8-1(2).(4)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数.2.如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为()A3.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距()图 D2430 m.答案：D4.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看
4、见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是()图 D25答案：C考点测量问题考向 1 测量距离问题例 1：某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图3-8-3所示，其中ABC60，BCD135，AB80 nmile，BC4050 nmile/h 的速度向 D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市 C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是_nmile.图 3-8-3答案：100【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.
5、1.(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-4，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为()图 3-8-4【互动探究】解析：由题意，可知BDC904545，又BCD90，BCCD40 海里.在ADC 中，ADC105，ACD906030，答案：A考向 2 测量高度问题例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-5，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在
6、西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 3-8-5(2)(2014 年新课标)如图3-8-6，为测量山高 MN，选择点A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角为MAN60，点C的仰角为CAB45，以及MAC75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN _m.图 3-8-6答案：150【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦或余弦定理.【互动探究】2.在 200 m
7、高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30，60，则塔高为_m.图 D26考向 3 测量角度问题例 3：如图 3-8-7，在一个坡度一定的山坡 AC 的山顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B 处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得 cos _.图 3-8-7【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡角等.【互动探究】B3.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔 B
8、在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A.北偏东 10C.南偏东 10B.北偏西 10D.南偏西 10难点突破三角函数在解三角形中的应用例题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(1)求角 B 的大小；(2)若 M 为 AB 的中点，且 AMAC，求 sinBAC.(2)方法一，如图 3-8-8，取线段 MC 的中点 D，连接 AD，AMAC，ADMC.设 CDx，则 BD3x.图 3-8-8方法二，设 BMx，则 ABc，【互动探究】4.(2014 年新课标)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 和 BD；(2)求四边形 ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C， BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C. (2)四边形 ABCD 的面积
