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1、复变函数复变函数第第15讲讲本文件可从网址http:/上下载1复变函数讲到今天结束2分式线性映射公式:3现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况. 根据前面的讨论可知:(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域;(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.4x1-ii-1C1C2y(z)O5解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交. 交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域
2、经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于p/2.此点在第三象限的分角线C1上. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.6映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)7例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式线性映射.解 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6.3.2)得因为故有14从而得所求的映射为15例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆
3、|w|1的分式线性映射.x1y(z)OOuv(w)1a16解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与17由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点z=1代入上式, 得所以|k|=1, 即k=eij.这里j是任意实数.18因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq (q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0
4、.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.解 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w-2i|2且满足条件w(2i)=2i, arg w(2i)=-p/2的分式线性映射.解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为222i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)23244 几个初等函数所构成的映射251. 幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导, 它的导数是因而当z0时, 所以, 在z平面内除去原点外, 由w=zn所构成的映射处处共形.映射的
5、特点是: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成了原来的n倍26O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn27例1 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1的一个映射.解 z=z4将所给角形域0arg z0. 又从上节的例2知, 映射28(z)OO(z )1(w)z = z429例2 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii30aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii131解 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0
6、与z=, 并使月牙域映射成角形域0argzp;再把这角形域通过映射w=exp(ij0)z转过一角度j0, 即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射.将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:其中k为待定的复常数.3233例3 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a-h a a+hBCD34xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a-h a a+hBCDO(z1)CB Dih-h2CO BD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2
7、+h2w=z4+a35解 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a.第二, 再应用映射z2=z12, 便得到一个具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面.第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面.36372. 指数函数 w=ez 由于在z平面内w=(ez)=ez0所以, 由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射. 设z=x
8、+iy, w=reij, 则r = ex,j = y,(6.4.2)由此可知: z平面上的直线x=常数, 被映射成w平面上的圆周r=常数; 而直线y=常数, 被映射成射线j=常数.带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特别是带形域0Im(z)2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的.38aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw39由指数函数w=ez所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa. 因此, 如果要把带形域映射成角形域, 常常利用指数函数.40例4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|0. 而根据(6.3.4)又知:41例5 求把带形域aRe(z)0的一个映射.解 带形域aRe(z)b经过映射后可映射成带形域0Im(z)p. 再用映射w=ez, 就可把带形域0Im(z)0. 因此所求映射为42O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ez43作业 第六章习题第246页开始第12题 第14题44
