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1、第第7章章有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器7.4利用切比雪夫逼近法设计利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器滤波器7.5IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较7.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 FIR滤滤波波器器具具有有线线性性相相位位的的特特性性，它它的的幅幅度度有有特特殊的对称性，零点和网络结构也很特别。殊的对称性，零点和网络结构也很特别
2、。1.线性相位的条件线性相位的条件对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为，传输函数为式式中中，Hg()称称为为幅幅度度特特性性，()称称为为相相位位特特性性。注注意意，这这里里Hg()不不同同于于|H(ej)|,Hg()为为的的实实函函数数，可可能能取取负负值值，而而|H(ej)|总总是是正正值值。H(ej)线线性性相相位位是是指指()是是的线性函数，即的线性函数，即()=-,为常数为常数(7.1.3)如果如果()满足下式也称为线性相位，满足下式也称为线性相位，()=0-,0是起始相位是起始相位(7.1.4)严严格格地地说说，此此时时()不不具具有有线线性性相相位位。但但以以上上两两种
3、种情情况都满足群时延是一个常数，即况都满足群时延是一个常数，即 所所以以两两种种情情况况都都称称为为线线性性相相位位。一一般般称称满满足足(7.1.3)式式是是第一类线性相位；满足第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。式为第二类线性相位。 FIR滤滤波波器器具具有有第第一一类类线线性性相相位位的的条条件件是是：h(n)是是实序列且对实序列且对(N-1)/2偶对称，即偶对称，即h(n)=h(N-n-1)FIR滤滤波波器器具具有有第第二二类类线线性性相相位位的的条条件件是是：h(n)是是实实序列且对序列且对(N-1)/2奇对称，即奇对称，即h(n)=-h(N-n-1) 2.线性相位
4、线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点 3.线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点第第一一类类和和第第二二类类线线性性相相位位的的系系统统函函数数分分别别满满足足(7.1.7)式和式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：式，综合起来用下式表示： 图图7.1.1线性相位线性相位FIR滤波器零点分布滤波器零点分布 4.线性相位线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构设设N为偶数，则有为偶数，则有令令m=N-n-1,则有则有如果如果N为奇数，则将中间项为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，单独列出，从上面的公式可以看出，线性相位从上面的公式可以
5、看出，线性相位FIR滤波器比滤波器比FIR滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相位滤波器的网络结构图如下：位滤波器的网络结构图如下：图7.1.2 第一类线性相位网络结构图7.1.3 第二类线性相位网络结构7.2利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器设设希希望望设设计计的的滤滤波波器器传传输输函函数数为为Hd(ej)，hd(n)是是它它的单位脉冲响应，因此的单位脉冲响应，因此对于理想的低通滤波器，它的传递函数为对于理想的低通滤波器，它的传递函数为相应的单位取样响应相应的单位取样响应hd(n)为为为为了了构构造造一一个个长长度度为为N的的线
6、线性性相相位位滤滤波波器器，只只有有将将hd(n)截截取取一一段段，并并保保证证截截取取的的一一段段对对(N-1)/2对对称称。设设截取的一段用截取的一段用h(n)表示，即表示，即h(n)=hd(n)RN(n)我我们们实实际际实实现现的的滤滤波波器器的的单单位位取取样样响响应应为为h(n),长长度为度为N，其系统函数为，其系统函数为H(z)，图图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗以以上上就就是是用用窗窗函函数数法法设设计计FIR滤滤波波器器的的思思路路。另另外外，我我们们知知道道Hd(ej)是是一一个个以以2为为周周期期的的函函数数，可可以以展为傅氏级数，即
7、展为傅氏级数，即根据复卷积定理，得到：根据复卷积定理，得到：式中，式中，Hd(ej)和和RN(ej)分别是分别是hd(n)和和RN(n)的傅里叶变换，即的傅里叶变换，即RN()称为矩形窗的幅度函数；将称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ej)写成下式：写成下式：按照按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为为将将Hd(ej)和和RN(ej)代入代入(7.2.4)式，得到：式，得到：将将H(ej)写成下式：写成下式：其卷积结果用图表示比较直观。其卷积结果用图表示比较直观。图图7.2.2矩形窗对理想低通矩形窗对理想低通幅度特性的影响幅度特性的影响通通过过以以上上
8、分分析析可可知知，对对hd(n)加加矩矩形形窗窗处处理理后后，H()和原理想低通和原理想低通Hd()差别有以下两点：差别有以下两点：(1)在在理理想想特特性性不不连连续续点点=c附附近近H()有有过过渡渡带带。过渡带的宽度，近似等于过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/N。(2)通通带带内内H()有有波波动动，最最大大的的峰峰值值在在c-2/N处处。阻带内阻带内H()有余振，最大的负峰在有余振，最大的负峰在c+2/N处。处。下面介绍几种常用的窗函数。设下面介绍几种常用的窗函数。设h(n)=hd(n)w(n)式中式中w(n)表示窗函数。表示窗函数。1.矩形窗矩形窗(Recta
9、ngleWindow)2.三角形窗三角形窗(BartlettWindow)3.汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗4.哈明哈明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 5.布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗图图7.2.4常用的窗函数常用的窗函数图图7.2.5常常用用窗窗函函数数的的幅幅度度特特性性(a)矩矩形形窗窗；(b)巴巴特特利利特窗特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗图图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三
10、角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗下面介绍用窗函数设计下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。滤波器的步骤。(1)根根据据技技术术要要求求确确定定待待求求滤滤波波器器的的单单位位取取样样响响应应hd(n)。如如果果给给出出待待求求滤滤波波器器的的频频响响为为Hd(ej)，那那么么单单位位取取样样响应用下式求出：响应用下式求出：(2)根根据据对对过过渡渡带带及及阻阻带带衰衰减减的的要要求求，选选择择窗窗函函数数的的形形式式，并并估估计计窗窗口口长长度度N。设设待待求求滤滤波波器器的的过过渡渡带带用用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。表示，它近似
11、等于窗函数主瓣宽度。(3)计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)(4)验验算算技技术术指指标标是是否否满满足足要要求求。设设计计出出的的滤滤波波器器频频率率响应用下式计算：响应用下式计算：例例7.2.1用用矩矩形形窗窗、汉汉宁宁窗窗和和布布莱莱克克曼曼窗窗设设计计FIR低低通通滤滤波器，设波器，设N=11,c=0.2rad。解：解：用理想低通作为逼近滤波器，按照用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有式，有用汉宁窗设计：用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：用布莱克曼窗设计：它们的幅频特性如图它们的幅频特性如图所示。所示。图图7.2.7例例7
12、.2.1的低通幅度特性的低通幅度特性7.5IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较首首先先，从从性性能能上上来来说说，IIR滤滤波波器器传传输输函函数数的的极极点点可可位位于于单单位位圆圆内内的的任任何何地地方方，因因此此可可用用较较低低的的阶阶数数获获得得高高的的选选择择性性，所所用用的的存存贮贮单单元元少少，所所以以经经济济而而效效率率高高。但但是是这这个个高高效效率率是是以以相相位位的的非非线线性性为为代代价价的的。FIR滤波器可得到线性相位，阶数较高。滤波器可得到线性相位，阶数较高。从从结结构构上上看看，IIR滤滤波波器器必必须须采采用用递递归归结结构构，极极点点位位置置必必须须在在单单位位圆圆内内，否否则则系系统统将将不不稳稳定定。FIR滤滤波波器采用非递归结构。器采用非递归结构。从从设设计计工工具具看看，IIR滤滤波波器器可可以以借借助助于于模模拟拟滤滤波波器器的的成成果果，因因此此一一般般都都有有有有效效的的封封闭闭形形式式的的设设计计公公式式可可供供准准确确计计算算，计计算算工工作作量量比比较较小小，对对计计算算工工具具的的要要求求不不高高。FIR滤滤波波器器的的没没有有封封闭闭形形式式的的设设计计公公式式，较较复复杂。杂。
