参数方程的概念

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1、 第第 二二 讲讲 参参 数数 方方 程程参参 数数 方方 程程 的的 概概 念念选修选修 4 - 4华侨中学：华侨中学： 苏洁容苏洁容授课班级：高二（授课班级：高二（2 2）班）班 y问题问题1在在平面平面直角坐标系中直角坐标系中，点点P P的坐标为的坐标为 ，AOPAOP为为OP=r(rOP=r(r为定值为定值) )如图，如图，A平面中点的平面中点的坐标坐标（x,yx,y）可）可以以用同用同一个变量一个变量 来来表示表示能否用能否用 分别表示分别表示x x与与y yx1 1由相似三角形可知由相似三角形可知xyo点点P P的水平位移的水平位移点点P P的竖直位移的竖直位移 温故知新温故知新在

2、某时刻在某时刻t,t,当质点运动到当质点运动到 p点时，点点时，点P P的坐标分解如下：的坐标分解如下：所以，在平抛所以，在平抛 运动中：运动中：平抛运动平抛运动：匀变速曲线运动，可分解为水平方向的匀速直线匀变速曲线运动，可分解为水平方向的匀速直线运动运动 和竖直方向的自由落体运动和竖直方向的自由落体运动，水平方向速度大小Vx=V0 在时刻t ，水平水平位移位移大小为大小为V V0 0t t，竖直位移位移大小大小为 (t为变量)xy我我站在高地站在高地以以3m/s3m/s的水平初速度向石头抛鸡蛋的水平初速度向石头抛鸡蛋，抛出的一瞬间抛出的一瞬间鸡蛋鸡蛋离地面离地面5m5m，（不记空气阻力），（

3、不记空气阻力）（g=g=1010m/sm/s2 2）曲线上任意一点的曲线上任意一点的坐标坐标x x、y y都可以由都可以由同一个变量同一个变量t来表示来表示问题问题2xyP 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点任意一点的的坐标坐标x x，y y都是都是某个变数某个变数t t的函数的函数 （1） 反过来，对于反过来，对于t t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（1 1）所）所确定的点确定的点 M(x,y) M(x,y)都都在这条曲线上在这条曲线上， 那么方程（那么方程（1 1）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的 参数方程参数方程，变

4、数，变数t t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。在引例在引例1 1和引例和引例2 2中，这两个方程组有什么特点？中，这两个方程组有什么特点？参数方程的概念参数方程的概念都可以用相同的变量来表示都可以用相同的变量来表示x x、y,y,x x、y y都可以表示成同一个变量的函数都可以表示成同一个变量的函数课本课本P222.2.在建立曲线的参数方程时，要注明在建立曲线的参数方程时，要注明参数参数及参数的取值及参数的取值范围范围 一一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标坐标x x，y y都是某个变数都是某个变数t t的函数的函数 （1

5、） 反过来，对于反过来，对于t t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（1 1）所确定的点）所确定的点 M(x,y) M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（1 1）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的 参数方程参数方程，变数，变数t t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的概念参数方程的概念注意：注意：3.3.参数方程中，参数方程中，x、y必须用必须用相同的参数（值）相同的参数（值）来表示来表示1.1.参数方程中，必须参数方程中，必须有有除了除了x x、y y以外指定的变量来做为以外指定的变量来做为参数参数下面方程，哪些是参数方程？下面方程

6、，哪些是参数方程？参数方程的辨析参数方程的辨析例例1 1：已：已知曲线知曲线C C的参数方程是的参数方程是 （1 1）判断点）判断点M M1 1（0 0，1 1），），M M2 2（5 5，4 4）是否在曲）是否在曲线线C C上上（2 2）已知点）已知点M M3 3（6 6，a）在曲线）在曲线C C上，求上，求a的值。的值。解解：（：（1 1）将点）将点M M1 1的坐标（的坐标（0 0，1 1）代入方程组，解得）代入方程组，解得t=0=0 所以，点所以，点M M1 1在曲线在曲线C C上上（2 2）将点）将点M M2 2的坐标（的坐标（5 5，4 4）代入方程组，得到）代入方程组，得到 这个

7、方程组无解，所以，点这个方程组无解，所以，点M M1 1在不曲线在不曲线C C上上参数方程概念的深化参数方程概念的深化我我站在高地站在高地以以3m/s3m/s的初速度向石头抛鸡蛋，的初速度向石头抛鸡蛋，抛出的一瞬间抛出的一瞬间鸡蛋鸡蛋离地面离地面5m5m，为使鸡蛋准确砸到地面的石头（不记空气阻力，为使鸡蛋准确砸到地面的石头（不记空气阻力) )我我应应站在离石头站在离石头水平距离水平距离多远呢？（多远呢？（g=g=1010m/sm/s2 2）分析：在鸡蛋砸到地面的石头的时候分析：在鸡蛋砸到地面的石头的时候, , y=0 y=0，此时可以求出全程所用的时间，此时可以求出全程所用的时间t所所以，我站

8、在离石头水平距离以，我站在离石头水平距离3m3m处抛鸡蛋，处抛鸡蛋，才能准确砸到石头才能准确砸到石头参数方程的应用参数方程的应用求参数方程步求参数方程步骤骤: :（1 1）建建立直角坐标立直角坐标系系, , 设设曲线上任一曲线上任一点点P P坐标为坐标为(x,y) (x,y) （2 2）确）确定定适当适当的的参参数数（3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, , 物理意物理意义义, , 建建立立点点P P坐标与参数坐标与参数的的关系式关系式， 确确定定参数的取值参数的取值范围范围如如图图, ,飞飞机在机在离岛屿地离岛屿地面面500m500m高高处以处以100m/s1

9、00m/s的速度作水的速度作水平直线飞行平直线飞行. . 为使投放救援物资准确落为使投放救援物资准确落于岛屿指于岛屿指定的定的地地面，面，飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资资？（？（如如何确定投何确定投放时机）放时机）( (不记空气阻力不记空气阻力) )？救援点救援点投放点投放点建立如图所示直角坐标系后，建立如图所示直角坐标系后，可知物可知物资投出机舱资投出机舱后，后，它它的运动由下列两种运动合成：的运动由下列两种运动合成：（1 1）沿沿oxox作初作初速为速为100m/s100m/s的的 匀匀速直线运动；速直线运动；（2 2）沿沿oyo

10、y反方反方向作自由向作自由落体运动。落体运动。参数方程的应用参数方程的应用分析：物资投出机舱后，做什么运动？由哪两种运动合成？分析：物资投出机舱后，做什么运动？由哪两种运动合成？以谁为参数？以谁为参数？所所以，我站在离石头水平距离以，我站在离石头水平距离3m3m处抛鸡蛋，才能准确砸到石头处抛鸡蛋，才能准确砸到石头我我站在高地站在高地以以3m/s3m/s的初速度向石头抛鸡蛋，的初速度向石头抛鸡蛋，抛出的一瞬间抛出的一瞬间鸡蛋鸡蛋离地面离地面5m5m，为使鸡蛋准确砸到地面的石头（不记空气阻力，为使鸡蛋准确砸到地面的石头（不记空气阻力) )我我应应站在离石头站在离石头水平距离水平距离多远呢？（多远呢

11、？（g=g=1010m/sm/s2 2）xy500o 如图如图, ,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处以高处以100m/s100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. . 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面( (不记空气阻力不记空气阻力),),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？所以，飞行员在离救援点的水平距离为所以，飞行员在离救援点的水平距离为1000m1000m时投放物资时投放物资可以使其准确落在指定位置可以使其准确落在指定位置xyM（x,y）xy解：建立如图所示平面直角坐标系，物资出

12、仓后，解：建立如图所示平面直角坐标系，物资出仓后，设在时刻设在时刻t t, ,水平位移为水平位移为x x，垂直高度为，垂直高度为y y，则，则参数方程的应用参数方程的应用 在引例在引例1 1中，若中，若OPOP= = r ( r为常数为常数),),点点P P的坐标的坐标x x、y y可用可用 表示为：表示为：A结论：结论：点点p的参数方程为的参数方程为 时，轨迹是圆时，轨迹是圆所以，所以，圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程可以用上式表示。可以用上式表示。回顾：回顾：r若将点若将点P P看做运动中的质点，则参数看做运动中的质点，则参数 的几何意义是什么？的几何意义

13、是什么？AXyO探究探究能否用参数方程能否用参数方程将他的运动轨迹将他的运动轨迹表示出来？表示出来？ 弧度弧度/ /秒秒参数方程的应用参数方程的应用参数参数t t的物理意义是什么？的物理意义是什么？AyxoP所以，圆的参数方程可以表示为所以，圆的参数方程可以表示为或或 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上. 求求常常数数a解：将点解：将点M M的坐标（的坐标（5 5，4 4）代入方程组，得到）代入方程组，得到 解得解得 t=2，a=1巩固训练巩固训练1 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 求曲线与求曲线与x轴的交点坐标轴的交点坐标解：将点解：将点M M的坐标（的坐标（5 5，4 4）代入方程组，得到）代入方程组，得到 解得解得 t=2，a=1变式训练变式训练11、参数方程的定义、参数方程的定义2、参数方程的辨析、参数方程的辨析3、参数、参数的应用的应用作业：作业：课本课本P P2626习题习题2.1 2.1 第第1 1、2 2题题 表示什么图形？表示什么图形？思考思考1： 表示什么图形？表示什么图形？（ 为参数）为参数）思考思考2 2：参数方程的小结参数方程的小结